[obm-l] Morgado, Guilherme e a todos amigos
Por favor companheiros preciso dessas respostas até quarta feira dia da minha aula, agradeço antecipadamente. 1) Uma pastelaria vende pastéis de palmito, carne, queijo e espinafre. de quantas maneiras uma pessoa pode comprar 8 pastéis sendo pelo menos 2 de queijo? 2)Uma livraria vai doar 25 livros iguais a 5 bibliotecas municipais. Cada biblioteca deve receber pelo menos 3 livros. qual o nr de maneiras distintas que esta livraria poderá repartir os livros dessa doação? 3) quantas são as soluções inteiras não negativas de x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7 =15 nas quais exatamente duas incógnitas são nulas? Yahoo! Acesso Grátis - navegue de graça com conexão de qualidade!
Re: [obm-l] Morgado, Guilherme e a todos amigos
= De:nilton rr [EMAIL PROTECTED] Para:[EMAIL PROTECTED] Assunto:[obm-l] Morgado, Guilherme e a todos amigos Por favor companheiros preciso dessas respostas até quarta feira dia da minha aula, agradeço antecipadamente. 1) Uma pastelaria vende pastéis de palmito, carne, queijo e espinafre. de quantas maneiras uma pessoa pode comprar 8 pastéis sendo pelo menos 2 de queijo? Seja p o número de pastéis de palmito, y o número de pastéis de carne, z o número de pastéis de queijo e w o número de pastéis de espinafre. p + y + z + w = 8. Ainda devemos ter p maior que 2, portanto faremos p = x + 2 e dessa forma mesmo q x seja zero p será pelo menos 2. A pergunta agora será: Quantas soluções naturais tem a equação x + y + z + w = 6? Para repartir 6 unidades (u) em 4 grupos são necessários 3 separadores (s) Por exemplo: s u u s u u u s u seria o equivalenbte a x = 0, y = 2, z = 3 e w = 1 Cada permutação dessas 9 letras será uma resposta nova, portanto a minha resposta será igual ao número de permutações da palavra acima (formada por s e u) Resposta: 9!/(3!*6!) 2)Uma livraria vai doar 25 livros iguais a 5 bibliotecas municipais. Cada biblioteca deve receber pelo menos 3 livros. qual o nr de maneiras distintas que esta livraria poderá repartir os livros dessa doação? Repetindo o processo acima vc tem: X1+X2+X3+X4+X5 = 25 e faça X1 = 2+A1, ... X5 = 3+A5 resolva igual ao primeiro exercício. 3) quantas são as soluções inteiras não negativas de x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7 =15 nas quais exatamente duas incógnitas são nulas? Aqui vc tem q escolher 2 entre 7 para serem nulas C7, 2 Vão sobrar 5 incógnitas: A1, A2, ...,A5 substitua cada uma delas por B1+1, B2+1, ..B5 + 1 e resolva igual ao primeiro exercicio encontrando um resultardo R a resosta será R* C7,2 no livro Do Morgado (Que pra alegria de muita gente está numa edição nova com os exercícios resolvidos) Há uma parte da teoria bastante util em exercicios como esse das combinações completas (ou com repetição). Resumidamente, se vc quer escolher p objetos dentre n disponíveis sendo que nesses p vc pode repetir a sua escolha o número de maneiras de faze-lo é CRn,p. A relação entre o núemro de combinações completas e o número de combinações simples (onde vc deve necesariamente fazer escolhas de objetos distintos) é: CRn,p = C(n+p-1),p Espero não ter confundido tudo.. []'s MP = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] PARADOXO DA UNIDADE!
Olá! Pessoal! Esta questão é bem antiga, mas ressurge com incrível freqüencia, o que atesta o interesse por ela provocado. Para dar idéia de sua popularidade, ela ocupa lugar de destaque na lista de paradoxos publicada pela revista britânica Mathematical Spectrum. -1 = i . i = (-1)^(1/2) . (-1)^(1/2) = (-1) . (-1)^(1/2) = (1)^(1/2) = 1 A propósito, por que o círculo trigonométrico tem raio igual a 1? Por que todo número elevado à zero é igual a 1? Por que -1 multiplicado por -1 é igual a 1? Sendo a0 por que, quando n cresce indefinidamente, (a)^(1/n) tende a 1??? Divirtam-se! __ WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] GEOMETRIA E IMAGINAÇÃO!
PASMEM! Este problema de geometria, proposto numa prova para mais de um milhão de alunos, teve somente um único acertador, Daniel Lowen, de 17 anos da Escola Cocoa Beach Seja ABCDE uma pirâmide de base quadrada, cujas faces laterais são triângulos equiláteros; e seja FGHI um tetaedro regular cujas faces sejam (triângulos equiláteros) congruentes às faces laterais da pirâmide. Suponhamos que se juntem os sólidos de maneira que a face ADE da pirâmide coincida com a face GIH do tetaedro, o resultado sendo o poliedro ABCDEF. Quantas faces tem este poliedro? (Educational Testing Service-EUA) NOTA: Meus amigos, sem nenhum exagero, este é um problema fascinante. Nunca vi nada igual. (CAMPEÃO!). __ WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Morgado, Guilherme e a todos amigos
Acrescentei as respostas. == Mensagem enviada pelo CIP WebMAIL - Nova Geração - v. 2.1 CentroIn Internet Provider http://www.centroin.com.br Tel: (21) 2542-4849, (21) 2295-3331Fax: (21) 2295-2978 Empresa 100% Brasileira - Desde 1992 prestando servicos online -- Original Message --- From: Marcos Paulo [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: 9 Aug 2004 18:58:57 -0300 Subject: Re: [obm-l] Morgado, Guilherme e a todos amigos Por favor companheiros preciso dessas respostas até quarta feira dia da minha aula, agradeço antecipadamente. 1) Uma pastelaria vende pastéis de palmito, carne, queijo e espinafre. de quantas maneiras uma pessoa pode comprar 8 pastéis sendo pelo menos 2 de queijo? Seja p o número de pastéis de palmito, y o número de pastéis de carne, z o número de pastéis de queijo e w o número de pastéis de espinafre. p + y + z + w = 8. Ainda devemos ter p maior que 2, portanto faremos p = x + 2 e dessa forma mesmo q x seja zero p será pelo menos 2. A pergunta agora será: Quantas soluções naturais tem a equação x + y + z + w = 6? Para repartir 6 unidades (u) em 4 grupos são necessários 3 separadores (s) Por exemplo: s u u s u u u s u seria o equivalenbte a x = 0, y = 2, z = 3 e w = 1 Cada permutação dessas 9 letras será uma resposta nova, portanto a minha resposta será igual ao número de permutações da palavra acima (formada por s e u) Resposta: 9!/(3!*6!) 2)Uma livraria vai doar 25 livros iguais a 5 bibliotecas municipais. Cada biblioteca deve receber pelo menos 3 livros. qual o nr de maneiras distintas que esta livraria poderá repartir os livros dessa doação? Repetindo o processo acima vc tem: X1+X2+X3+X4+X5 = 25 e faça X1 = 3+A1, ... X5 = 3+A5 resolva igual ao primeiro exercício. A resposta é 1001 3) quantas são as soluções inteiras não negativas de x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7 =15 nas quais exatamente duas incógnitas são nulas? Aqui vc tem q escolher 2 entre 7 para serem nulas C7, 2 Vão sobrar 5 incógnitas: A1, A2, ...,A5 substitua cada uma delas por B1+1, B2+1, ..B5 + 1 e resolva igual ao primeiro exercicio encontrando um resultado R = 1001 a resposta será R* C7,2 = 21 021 no livro Do Morgado (Que pra alegria de muita gente está numa edição nova com os exercícios resolvidos) Há uma parte da teoria bastante util em exercicios como esse das combinações completas (ou com repetição). Resumidamente, se vc quer escolher p objetos dentre n disponíveis sendo que nesses p vc pode repetir a sua escolha o número de maneiras de faze-lo é CRn,p. A relação entre o núemro de combinações completas e o número de combinações simples (onde vc deve necesariamente fazer escolhas de objetos distintos) é: CRn,p = C(n+p-1),p Espero não ter confundido tudo.. []'s MP = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = --- End of Original Message --- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] PARADOXO DA UNIDADE!
-1 = i . i ...OK = (-1)^(1/2) . (-1)^(1/2) ... OK = (-1) . (-1)^(1/2) ...epa! = ( i ) .(-1)^(1/2) = (1)^(1/2) = 1 A propósito, por que o círculo trigonométrico tem raio igual a 1? preguica... se o raio fosse h... ao invez de sen(x) = y teriamos ki escrever sen(x) = y/h Por que todo número elevado à zero é igual a 1? a^n/a^n = a^(n-n) = a^0 = 1 Por que -1 multiplicado por -1 é igual a 1? Porque n . -1 = - n para qualquer n, -(-1)=1 Sendo a0 por que, quando n cresce indefinidamente, (a)^(1/n) tende a 1??? porque 1/n tende a 0 e como ja vimos a^0 eh 1 ... Por favor nao deixem que a alta formalidade das respostas em conjunto com a aplicacao impecavel de teoria da matematica iniba vcs de responderem tambem. Um dia vcs tb chegam la. _ Express yourself instantly with MSN Messenger! Download today - it's FREE! hthttp://messenger.msn.click-url.com/go/onm00200471ave/direct/01/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] PARADOXO DA CRIAÇÃO!
A propósito, quem nasceu primeiro, o ovo ou a galinha? Engana-se quem pensa que trata-se de alguma piada, ou mesmo desrespeito à lista. PASMEM! foi uma questão do vestibular da UNESP que dava como resposta correta o ovo. Existe um dito popular que perguntava: 'Quem nasceu primeiro, o ovo ou a galinha'? Sendo a galinha uma ave, do ponto de vista biológico e evolutivo, a alternativa correta para responder a essa questão é: Apresentava quatro alternativas de resposta, das quais a mais correta era: O ovo, pois aves descendem dos répteis, que também põem ovos. Portanto, mesmo antes de a galinha surgir, seus ancestrais já botavam ovos. A resposta dada pela Revista Superinteressante foi mais específica ao acatar a afirmação de Hermann Weyl , um dos maiores matemáticos do século XX, a galinha nasceu antes que o ovo de galinha, pois, um organismo tem que existir, para poder transmitir suas características genéticas aos seus descendentes. Outra famosa afirmação de sua autoria é que Deus existe porque certamente a Matemática é consistente; e o demônio existe porque somos incapazes de provar essa consistência. E como nem só de integrais e derivadas se ocupa um bom matemático, qual o ser vivo de maior longevidade? (Essa é boa!) A propósito, em todo planeta, desde sempre, o número de tartarugas que acasalaram um número ímpar de vezes é par ou ímpar? __ WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Morgado, Guilherme e a todos amigos
Por favor companheiros preciso dessas respostas até quarta feira dia da minha aula, agradeço antecipadamente. 1) Uma pastelaria vende pastéis de palmito, carne, queijo e espinafre. de quantas maneiras uma pessoa pode comprar 8 pastéis sendo pelo menos 2 de queijo? 2)Uma livraria vai doar 25 livros iguais a 5 bibliotecas municipais. Cada biblioteca deve receber pelo menos 3 livros. qual o nr de maneiras distintas que esta livraria poderá repartir os livros dessa doação? 3) quantas são as soluções inteiras não negativas de x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7 =15 nas quais exatamente duas incógnitas são nulas? Yahoo! Acesso Grátis - navegue de graça com conexão de qualidade!__Do You Yahoo!?Tired of spam? Yahoo! Mail has the best spam protection around http://mail.yahoo.com
Re: [obm-l] GEOMETRIA E IMAGINAÇÃO!
= De:[EMAIL PROTECTED] Para:[EMAIL PROTECTED] Assunto:[obm-l] GEOMETRIA E IMAGINAÇÃO! PASMEM! Este problema de geometria, proposto numa prova para mais de um milhão de alunos, teve somente um único acertador, Daniel Lowen, de 17 anos da Escola Cocoa Beach Seja ABCDE uma pirâmide de base quadrada, cujas faces laterais são triângulos equiláteros; e seja FGHI um tetaedro regular cujas faces sejam (triângulos equiláteros) congruentes às faces laterais da pirâmide. Suponhamos que se juntem os sólidos de maneira que a face ADE da pirâmide coincida com a face GIH do tetaedro, o resultado sendo o poliedro ABCDEF. Quantas faces tem este poliedro? Há Uma face quadrangular e 6 faces trîangulares. (Educational Testing Service-EUA) NOTA: Meus amigos, sem nenhum exagero, este é um problema fascinante. Nunca vi nada igual. (CAMPEÃO!). __ WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.h tml = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] gavetas
Obrigado pela ajuda.Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet [EMAIL PROTECTED] wrote:
Traduza e divirta-se!
Problem B3
An international society has its members from six different countries. The list of members has 1978 names, numbered 1, 2, ... , 1978. Prove that there is at least one member whose number is the sum of the numbers of two members from his own country, or twice the number of a member from his own country.
Solution
The trick is to use differences.
At least 6.329 = 1974, so at least 330 members come from the same country, call it C1. Let their numbers be a1 a2 ... a330. Now take the 329 differences a2 - a1, a3 - a1, ... , a330 - a1. If any of them are in C1, then we are home, so suppose they are all in the other five countries.
At least 66 must come from the same country, call it C2. Write the 66 as b1 b2 ... b66. Now form the 65 differences b2 - b1, b3 - b1, ... , b66 - b1. If any of them are in C2, then we are home. But each difference equals the difference of two of the original ais, so if it is in C1 we are also home.
So suppose they are all in the other four countries. At least 17 must come from the same country, call it C3. Write the 17 as c1 c2 ... c17. Now form the 16 differences c2 - c1, c3 - c1, ... , c17 - c1. If any of them are in C3, we are home. Each difference equals the difference of two bis, so if any of them are in C2 we are home. [For example, consider ci - c1. Suppose ci = bn - b1 and c1 = bm - b1, then ci - c1 = bn - bm, as claimed.]. Each difference also equals the difference of two ais, so if any of them are in C1, we are also home. [For example, consider ci - c1, as before. Suppose bn = aj - a1, bm = ak - a1, then
ci - c1 = bn - bm = aj - ak, as claimed.]
So suppose they are all in the other three countries. At least 6 must come from the same country, call it C4. We look at the 5 differences and conclude in the same way that at least 3 must come from C5. Now the 2 differences must both be in C6 and their difference must be in one of the C1, ... , C6 giving us the required sum.
Jesualdo [EMAIL PROTECTED] wrote:
Saudações,
Eu sou novo no grupo e gostaria de saber se alguém pode me ajudar a resolver o seguinte problema:
Prove que se o conjunto {1, 2, ... , 1978} é partido em 6 subconjuntos, em algum desses subconjuntos existe um elemento que é igual à soma de dois elementos, não necessariamente distintos, do mesmo subconjunto.
Não consegui resolver e já procurei em alguns livros e também na internet mas não encontrei nada.
Este problema se encontra no livro Análise Combinatória e probabiblidade da Coleção do professor de Matemática.
Atenciosamente
Jesualdo Gomes
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TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRI CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields)
N.F.C. (Ne Fronti Crede)
__Do You Yahoo!?Tired of spam? Yahoo! Mail has the best spam protection around http://mail.yahoo.com ___Jesualdo Gomes das ChagasUniversidade Federal de Campina Grande Departamento de Matemática e Estatística
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Re[2]: [obm-l] PARADOXO DA UNIDADE!
= De:Qwert Smith [EMAIL PROTECTED] Para:[EMAIL PROTECTED] Assunto:RE: [obm-l] PARADOXO DA UNIDADE! -1 = i . i ...OK = (-1)^(1/2) . (-1)^(1/2) ... OK = (-1) . (-1)^(1/2) ...epa! = ( i ) .(-1)^(1/2) = (1)^(1/2) = 1 Eu acho q não dá pra substituir i por (-1)^1/2 porque (-1)^1/2 = 1^1/2 cis (pi/2 + kpi) = i ou = -i por isso é bom tomarmos cuidado quando formos definir i acho mais interessante definir i^2 = -1 do que i = SQRT(-1) A propósito, por que o círculo trigonométrico tem raio igual a 1? preguica... se o raio fosse h... ao invez de sen(x) = y teriamos ki escrever sen(x) = y/h Acho que não é preguiça não .. a resposta talvez seja: Porque é permitido. Quando vamos estudar um problema qualquer é permitido que escolhamos a unidade de comprimento. No caso de estudar o círculo é permitido tomarmos o raio como unidade de comprimento. Obviamente essa é uma boa escolha porque facilita algumas contas. mas o principal é deixar claro que não há roubo em escolher unidades convenientes no estudo de uma situação. Por que todo número elevado à zero é igual a 1? a^n/a^n = a^(n-n) = a^0 = 1 Qualquer número elevado a zero é um por definição. Definimos dessa forma se queremos que valha a propriedade q o Qwert citou. Por que -1 multiplicado por -1 é igual a 1? Porque n . -1 = - n para qualquer n, -(-1)=1 Esse assunto (talvez os outros tb) já estiverma na berlinda nessa lista há um tempo atras .. talvez fose uma boa olhar nos arquivos.. Sendo a0 por que, quando n cresce indefinidamente, (a)^(1/n) tende a 1??? porque 1/n tende a 0 e como ja vimos a^0 eh 1 ... Por favor nao deixem que a alta formalidade das respostas em conjunto com a aplicacao impecavel de teoria da matematica iniba vcs de responderem tambem. Um dia vcs tb chegam la. _ Express yourself instantly with MSN Messenger! Download today - it's FREE! hthttp://messenger.msn.click-url.com/go/onm00200 471ave/direct/01/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.h tml = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Auda para OBM
Estou na segunda fase da obm nível 3 (EM) e gostariade saber quais as materias mas provaveis de cair, pois sei muito pouco, o que me ajudou foi a logica necesaria para as questões.__Do You Yahoo!?Tired of spam? Yahoo! Mail has the best spam protection around http://mail.yahoo.com
[obm-l] Obrigado
Marcos Paulo muito obrigado pela sua ajuda e pela atenção. Forte abraço.Marcos Paulo [EMAIL PROTECTED] wrote: =De:nilton rr <[EMAIL PROTECTED]>Para:[EMAIL PROTECTED]Assunto:[obm-l] Morgado, Guilherme e a todos amigosPor favor companheiros preciso dessas respostasaté quarta feira dia da minha aula, agradeçoantecipadamente.1) Uma pastelaria vende pastéis de palmito,carne, queijo e espinafre. de quantas maneirasuma pessoa pode comprar 8 pastéis sendo pelomenos 2 de queijo?Seja p o número de pastéis de palmito, y o número de pastéis de carne, z o número de pastéis de queijo e w o número de pastéis de espinafre.p + y + z + w = 8. Ainda devemos ter p maior que 2, portanto faremos p = x + 2 e dessa forma mesmo q x seja zero p será pelo menos 2.A pergunta agora será: Quantas soluções naturais tem a equaçãox + y + z + ! w = 6?Para repartir 6 unidades (u) em 4 grupos são necessários 3 separadores (s)Por exemplo:s u u s u u u s u seria o equivalenbte a x = 0, y = 2, z = 3 e w = 1Cada permutação dessas 9 letras será uma resposta nova, portanto a minha resposta será igual ao número de permutações da palavra acima (formada por s e u)Resposta:9!/(3!*6!)2)Uma livraria vai doar 25 livros iguais a 5bibliotecas municipais. Cada biblioteca devereceber pelo menos 3 livros. qual o nr demaneiras distintas que esta livraria poderárepartir os livros dessa doação?Repetindo o processo acima vc tem:X1+X2+X3+X4+X5 = 25 e faça X1 = 2+A1, ... X5 = 3+A5resolva igual ao primeiro exercício.3) quantas são as soluções inteiras nãonegativas de x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7 =15 nas quaisexatamente duas incógnitas são nulas?Aqui vc tem q escolher 2 entre 7 para serem nulas C7, 2Vão sobrar 5 inc! ógnitas: A1, A2, ...,A5 substitua cada uma delas por B1+1, B2+1, ..B5 + 1 e resolva igual ao primeiro exercicio encontrando um resultardo R a resosta será R* C7,2no livro Do Morgado (Que pra alegria de muita gente está numa edição nova com os exercícios resolvidos) Há uma parte da teoria bastante util em exercicios como esse das combinações completas (ou com repetição). Resumidamente, se vc quer escolher p objetos dentre n disponíveis sendo que nesses p vc pode repetir a sua escolha o número de maneiras de faze-lo é CRn,p. A relação entre o núemro de combinações completas e o número de combinações simples (onde vc deve necesariamente fazer escolhas de objetos distintos) é:CRn,p = C(n+p-1),pEspero não ter confundido tudo..[]'s MP=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= Yahoo! Acesso Grátis - navegue de graça com conexão de qualidade!
[obm-l] Valeu Morgado
Valeu Morgado Vcé dez.Augusto Cesar de Oliveira Morgado [EMAIL PROTECTED] wrote: Acrescentei as respostas.==Mensagem enviada pelo CIP WebMAIL - Nova Geração - v. 2.1CentroIn Internet Provider http://www.centroin.com.brTel: (21) 2542-4849, (21) 2295-3331 Fax: (21) 2295-2978Empresa 100% Brasileira - Desde 1992 prestando servicos online-- Original Message ---From: "Marcos Paulo" <[EMAIL PROTECTED]>To: <[EMAIL PROTECTED]>Sent: 9 Aug 2004 18:58:57 -0300Subject: Re: [obm-l] Morgado, Guilherme e a todos amigos Por favor companheiros preciso dessas respostas até quarta feira dia da minha aula, agradeço antecipadamente. 1) Uma pastelaria vende pastéis de palmito, carne, queijo e espinafre. de quantas maneiras uma pessoa pode comprar 8 pastéis sendo pelo menos 2 de queijo? Seja p o número de pastéis de palmito, y o número de pastéis de carne, z o número de pastéis de queijo e w o número de pastéis de espinafre. p + y + z + w = 8. Ainda devemos ter p maior que 2, portanto faremos p = x + 2 e dessa forma mesmo q x seja zero p será pelo menos 2. A pergunta agora será: Quantas soluções naturais tem a equação x + y + z + w = 6? Para repartir 6 unidades (u) em 4 grupos são necessários 3 separadores (s) Por exemplo: s u u s u u u s u seria o equivalenbte a x = 0, y = 2, z = 3 e w = 1 Cada permutação dessas 9 letras será uma resposta nova, portanto a minha resposta será igual ao número de permutações da palavra acima (formada por s e u) Resposta: 9!/(3!*6!) 2)Uma livraria vai doar 25 livros iguais a 5 bibliotecas municipais. Cada biblioteca deve receber pelo menos! 3 livros. qual o nr de maneiras distintas que esta livraria poderá repartir os livros dessa doação? Repetindo o processo acima vc tem: X1+X2+X3+X4+X5 = 25 e faça X1 = 3+A1, ... X5 = 3+A5 resolva igual ao primeiro exercício. A resposta é 1001 3) quantas são as soluções inteiras não negativas de x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7 =15 nas quais exatamente duas incógnitas são nulas? Aqui vc tem q escolher 2 entre 7 para serem nulas C7, 2 Vão sobrar 5 incógnitas: A1, A2, ...,A5 substitua cada uma delas por B1+1, B2+1, ..B5 + 1 e resolva igual ao primeiro exercicio encontrando um resultado R = 1001 a resposta será R* C7,2 = 21 021 no livro Do Morgado (Que pra alegria de muita gente está numa edição nova com os exercícios resolvidos) Há uma parte da teoria bastante util em exercicios como esse das combinações complet! as (ou com repetição). Resumidamente, se vc quer escolher p objetos dentre n disponíveis sendo que nesses p vc pode repetir a sua escolha o número de maneiras de faze-lo é CRn,p. A relação entre o núemro de combinações completas e o número de combinações simples (onde vc deve necesariamente fazer escolhas de objetos distintos) é: CRn,p = C(n+p-1),p Espero não ter confundido tudo.. []'s MP = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =--- End of Original Message ---=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= Yahoo! Acesso Grátis - navegue de graça com conexão de qualidade!
[obm-l] Morgado, Guilherme e a todos os amigos
Por favor companheiros preciso dessas respostas até quarta feira dia da minha aula, agradeço antecipadamente. 1) Uma pastelaria vende pastéis de palmito, carne, queijo e espinafre. de quantas maneiras uma pessoa pode comprar 8 pastéis sendo pelo menos 2 de queijo? 2)Uma livraria vai doar 25 livros iguais a 5 bibliotecas municipais. Cada biblioteca deve receber pelo menos 3 livros. qual o nr de maneiras distintas que esta livraria poderá repartir os livros dessa doação? 3) quantas são as soluções inteiras não negativas de x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7 =15 nas quais exatamente duas incógnitas são nulas? Yahoo! Acesso Grátis - navegue de graça com conexão de qualidade!
[obm-l] combinatória
Agradeço pela ajuda Obtenha, de forma simplificada, o valor da soma C(n,1) + 2C(n,2) + 3C(n,3) +...+nC(n,n)__Do You Yahoo!?Tired of spam? Yahoo! Mail has the best spam protection around http://mail.yahoo.com
[obm-l] RES: [obm-l] GEOMETRIA E IMAGINAÇÃO!
5 faces! É muito interessante mesmo! Um abração, Guilherme. -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de [EMAIL PROTECTED] Enviada em: segunda-feira, 9 de agosto de 2004 20:07 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: [obm-l] GEOMETRIA E IMAGINAÇÃO! PASMEM! Este problema de geometria, proposto numa prova para mais de um milhão de alunos, teve somente um único acertador, Daniel Lowen, de 17 anos da Escola Cocoa Beach Seja ABCDE uma pirâmide de base quadrada, cujas faces laterais são triângulos equiláteros; e seja FGHI um tetaedro regular cujas faces sejam (triângulos equiláteros) congruentes às faces laterais da pirâmide. Suponhamos que se juntem os sólidos de maneira que a face ADE da pirâmide coincida com a face GIH do tetaedro, o resultado sendo o poliedro ABCDEF. Quantas faces tem este poliedro? (Educational Testing Service-EUA) NOTA: Meus amigos, sem nenhum exagero, este é um problema fascinante. Nunca vi nada igual. (CAMPEÃO!). __ WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RES: [obm-l] combinatória
Title: Mensagem Olá, Nilton! Cheguei agora... Acho que dá pra fazer da seguinte forma: Soma1 = C(n,1) + 2C(n,2) + 3C(n,3) +...+nC(n,n) = = C(n,1) + C(n,2) + C(n,3) + ... + C(n,n) + + C(n,2) + C(n,3) + ... + C(n,n) + + C(n,3) + ... + C(n,n) + . . . + C(n,n) Mas a Soma 1 é exatamente igual a esta (pelo teorema das taxas complementares, que diz que C(n,p) = C(n,n-p) ): Começe de baixo para cima: Soma2 = C(n,0) + + C(n,0) + C(n,1) + + C(n,0) + C(n,1) + C(n,2) + . . . + C(n,0) + C(n,1) + C(n,2) + ... + C(n,n-1) Mas como Soma1 + Soma2 = n.(C(n,0) + C(n,1) + C(n,2) + ... + C(n,n)) Então Soma1 + Soma2 = n.(2^n) Logo, sabendo que Soma1=Soma2, temos: Soma1 = n . 2^(n-1) Um abração, Guilherme. -Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de nilton rrEnviada em: segunda-feira, 9 de agosto de 2004 22:46Para: [EMAIL PROTECTED]Assunto: [obm-l] combinatória Agradeço pela ajuda Obtenha, de forma simplificada, o valor da soma C(n,1) + 2C(n,2) + 3C(n,3) +...+nC(n,n) __Do You Yahoo!?Tired of spam? Yahoo! Mail has the best spam protection around http://mail.yahoo.com
Re: [obm-l] RES:_[obm-l]_combinatória
Valeu grande Guilherme, forte abraço amigo.Guilherme [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá, Nilton! Cheguei agora... Acho que dá pra fazer da seguinte forma: Soma1 = C(n,1) + 2C(n,2) + 3C(n,3) +...+nC(n,n) = = C(n,1) + C(n,2) + C(n,3) + ... + C(n,n) + + C(n,2) + C(n,3) + ... + C(n,n) + + C(n,3) + ... + C(n,n) + . . . + C(n,n) Mas a Soma 1 é exatamente igual a esta (pelo teorema das taxas complementares, que diz que C(n,p) = C(n,n-p) ): Começe de baixo para cima: Soma2 = C(n,0) + + C(n,0) + C(n,1) + + C(n,0) + C(n,1) + C(n,2) + . . . + C(n,0) + C(n,1) + C(n,2) + ... + C(n,n-1) Mas como Soma1 + Soma2 = n.(C(n,0) + C(n,1) + C(n,2) + ... + C(n,n)) Então Soma1 + Soma2 = n.(2^n) Logo, sabendo que Soma1=Soma2, temos: Soma1 = n . 2^(n-1) Um abração, Guilherme. -Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de nilton rrEnviada em: segunda-feira, 9 de agosto de 2004 22:46Para: [EMAIL PROTECTED]Assunto: [obm-l] combinatória Agradeço pela ajuda Obtenha, de forma simplificada, o valor da soma C(n,1) + 2C(n,2) + 3C(n,3) +...+nC(n,n) __Do You Yahoo!?Tired of spam? Yahoo! Mail has the best spam protection around http://mail.yahoo.com Yahoo! Acesso Grátis - navegue de graça com conexão de qualidade!
[obm-l] RES: [obm-l] GEOMETRIA E IMAGINAÇÃO!
Marcos, acho que você se equivocou na resposta. Realmente Jorge, o problema é interessantíssimo e nunca tinha me deparado com algo similar. Se fizerem um esboço do poliedro resultante vão ver que existe a junção de dois ângulos poliédricos. Fazendo os pontos A=G, D=I, E=H. Vamos encontrar o valor destes ângulos. No Tetraedro: l^2 = 2(l*sqrt(3)/2)^2 - 2[(l*sqrt(3)/2)^2]* cos(T) Resolvendo temos que cos(T) = 1/3 Na Pirâmide: [L*sqrt(2)]^2 = 2(l*sqrt(3)/2)^2 - 2[(l*sqrt(3)/2)^2]* cos(P) Resolvendo temos que cos(P) = -1/3 Com isso descobrimos que estes ângulos são suplementares, e a junção deles forma um plano perfeito! Isto ocorre com a junção de duas faces do tetraedro com a pirâmide, e o sólido resultante possui duas faces triangulares e três faces quadrangulares. Belíssima questão de Geometria Jorge! Se tiver mais dessas mande! =) Um abraço, Douglas Ribeiro Silva -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Marcos Paulo Enviada em: segunda-feira, 9 de agosto de 2004 20:50 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: Re: [obm-l] GEOMETRIA E IMAGINAÇÃO! = De:[EMAIL PROTECTED] Para:[EMAIL PROTECTED] Assunto:[obm-l] GEOMETRIA E IMAGINAÇÃO! PASMEM! Este problema de geometria, proposto numa prova para mais de um milhão de alunos, teve somente um único acertador, Daniel Lowen, de 17 anos da Escola Cocoa Beach Seja ABCDE uma pirâmide de base quadrada, cujas faces laterais são triângulos equiláteros; e seja FGHI um tetaedro regular cujas faces sejam (triângulos equiláteros) congruentes às faces laterais da pirâmide. Suponhamos que se juntem os sólidos de maneira que a face ADE da pirâmide coincida com a face GIH do tetaedro, o resultado sendo o poliedro ABCDEF. Quantas faces tem este poliedro? Há Uma face quadrangular e 6 faces trîangulares. (Educational Testing Service-EUA) NOTA: Meus amigos, sem nenhum exagero, este é um problema fascinante. Nunca vi nada igual. (CAMPEÃO!). __ WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.h tml = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] RES: [obm-l] GEOMETRIA E IMAGINAÇÃO!
É verdade .. quando o Guilherme mandou a resposta eu fui fazer as contas tb ... Não me admiro que tanta gente tenha errado. []'s MP At 00:02 10/8/2004, you wrote: Marcos, acho que você se equivocou na resposta. Realmente Jorge, o problema é interessantíssimo e nunca tinha me deparado com algo similar. Se fizerem um esboço do poliedro resultante vão ver que existe a junção de dois ângulos poliédricos. Fazendo os pontos A=G, D=I, E=H. Vamos encontrar o valor destes ângulos. No Tetraedro: l^2 = 2(l*sqrt(3)/2)^2 - 2[(l*sqrt(3)/2)^2]* cos(T) Resolvendo temos que cos(T) = 1/3 Na Pirâmide: [L*sqrt(2)]^2 = 2(l*sqrt(3)/2)^2 - 2[(l*sqrt(3)/2)^2]* cos(P) Resolvendo temos que cos(P) = -1/3 Com isso descobrimos que estes ângulos são suplementares, e a junção deles forma um plano perfeito! Isto ocorre com a junção de duas faces do tetraedro com a pirâmide, e o sólido resultante possui duas faces triangulares e três faces quadrangulares. Belíssima questão de Geometria Jorge! Se tiver mais dessas mande! =) Um abraço, Douglas Ribeiro Silva -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Marcos Paulo Enviada em: segunda-feira, 9 de agosto de 2004 20:50 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: Re: [obm-l] GEOMETRIA E IMAGINAÇÃO! = De:[EMAIL PROTECTED] Para:[EMAIL PROTECTED] Assunto:[obm-l] GEOMETRIA E IMAGINAÇÃO! PASMEM! Este problema de geometria, proposto numa prova para mais de um milhão de alunos, teve somente um único acertador, Daniel Lowen, de 17 anos da Escola Cocoa Beach Seja ABCDE uma pirâmide de base quadrada, cujas faces laterais são triângulos equiláteros; e seja FGHI um tetaedro regular cujas faces sejam (triângulos equiláteros) congruentes às faces laterais da pirâmide. Suponhamos que se juntem os sólidos de maneira que a face ADE da pirâmide coincida com a face GIH do tetaedro, o resultado sendo o poliedro ABCDEF. Quantas faces tem este poliedro? Há Uma face quadrangular e 6 faces trîangulares. (Educational Testing Service-EUA) NOTA: Meus amigos, sem nenhum exagero, este é um problema fascinante. Nunca vi nada igual. (CAMPEÃO!). __ WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.h tml = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- Este e-mail está livre de vírus. Verificado por AVG Anti-Vírus (http://www.avgbrasil.com.br). Versão: 7.0.262 / Banco de dados de Vírus: 264.5.0 Data de Lançamento: 9/8/2004 -- Mensagens enviadas estão livres de vírus. Verificado por AVG Anti-Vírus (http://www.avgbrasil.com.br). Versão: 7.0.262 / Banco de dados de Vírus: 264.5.0 Data de Lançamento: 9/8/2004 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] GEOMETRIA E IMAGINAÇÃO!
São 5 faces. De fato, considere a pirâmide ABCDE nos termos do enunciado. Agora, construa outra pirâmide congruente, ABXYZ, tal que ABCD e ABXY estejam no mesmo plano pi. Repare que a inclinação das faces das pirâmides com relação a pi é a mesma, logo, se preenchêssemos os triângulos AZE e BZE, teríamos um poliedro CDYXZE de 5 faces. Se tirássemos a pirâmide ABXYZ, continuaríamos com um poliedro de 5 faces. Logo, se mostrarmos que ZE = AB, virá que ABZE será tetraedro, e neste caso, ABZE faz o papel de FGHI. Ora, mas é trivial ver que ZE = AB, basta considerar as projeções de Z e E sobre pi; elas correspondem aos centros das bases ABXY e ABCD. Ainda, ZE é paralelo a pi, pois as pirâmides são congruentes. Logo, ZE = AB, e estamos feitos. []s, Daniel [EMAIL PROTECTED] escreveu: PASMEM! Este problema de geometria, proposto numa prova para mais de um milhão de alunos, teve somente um único acertador, Daniel Lowen, de 17 anos da Escola Cocoa Beach Seja ABCDE uma pirâmide de base quadrada, cujas faces laterais são triângulos equiláteros; e seja FGHI um tetaedro regular cujas faces sejam (triângulos equiláteros) congruentes às faces laterais da pirâmide. Suponhamos que se juntem os sólidos de maneira que a face ADE da pirâmide coincida com a face GIH do tetaedro, o resultado sendo o poliedro ABCDEF. Quantas faces tem este poliedro? (Educational Testing Service-EUA) NOTA: Meus amigos, sem nenhum exagero, este é um problema fascinante. Nunca vi nada igual. (CAMPEÃO!). __ WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] combinatória
nilton rr said: Agradeço pela ajuda Obtenha, de forma simplificada, o valor da soma C(n,1) + 2C(n,2) + 3C(n,3) +...+nC(n,n) [...] Use absorção: C(n;k) = n/k * C(n-1;k-1). []s, -- Fábio ctg \pi Dias Moreira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
