[obm-l] Princípio da Boa Ordenação

[Robÿffffe9rio Alves]

Complete os detalhes da seguinte demonstração do princípio de Boa Ordenação: Seja A está contido em N um conjunto que não possui um menor elemento. Considere o conjunto X formado pelos números naturais n tais que 1, 2, ... n não pertence a A. Observe que 1 pertence a X e, alem disso, n pertence a X então todos os elementos de A são maiores do que n + 1. Como n + 1 não pode ser o menor elemento de A. Conclua que n + 1 pertence a X, logo, por indução, segue – se que X = N, portanto A é vazio.

Como faz ?
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[obm-l] análise (ou cálculo).

[Lista OBM]

Gostaria de uma ajuda no exercício abaixo:

Seja f: R^3 -- R^3 dada por f(x,y,z) = (x - xy, xy -
xyz, xyz). Prove que f é injetora em U = {(x,y,z) em
R^3 ;  xy  0} e ache f(U) = W. Mostre que a inversa
g = f^(-1): W -- R^3 é diferenciável e calcule
det[Jg(w)], w em W.

Notação:é o mesmo que diferente;
 Jg(w) é a matriz Jacobiana de g em w.

Obs.: Consegui resolver alguma coisas dele, mas mesmo
assim estou com dúvida em alguns passos. Estava usando
o teorema da aplicação inversa.

Grato desde já, Éder. 

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[obm-l] Duvidas

[matduvidas48]

Qual é resto da divisão de (99)^2 por 50 ? como resolveria esta questão sem usar congruencias?


Agradeço desde de já.


Ary Queiroz

Re: [obm-l] Duvidas

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

Acho que é só ver que 99 = 100 - 1 = (100a - 1). Eleve ao
quadrado, os termos serão 1a^2 - 2*100a + 1. Ora, 1 e 100 são
divisíveis por 50, logo o resto é 1. Isso é sem congruências, mas
tem que saber que os restos somam, que nem congruências... Mais uma
vez a velha questão de utilizar ou não uma ferramenta: acho que sim
(eu só vi esta solução porque sei congruências!)

Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa


On Wed, 30 Mar 2005 07:39:00 -0300, matduvidas48
[EMAIL PROTECTED] wrote:
 
 
 
 Qual é resto da divisão de  (99)^2 por 50 ? como resolveria esta
 questão sem usar congruencias?
 
  
 
  
 
 Agradeço desde de já.
 
  
 
  
 
 Ary Queiroz

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Re: [obm-l] Duvidas

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

Ha dois modos:
1) Usando um computador :)
2) Usando congruencias:
99^2 = 
(10^6-1)^2 = 
(10^12-2*10^6 +1)= 1 + 50*(um cara bem grande).



--- matduvidas48 [EMAIL PROTECTED] wrote:
 Qual é resto da divisão de  (99)^2 por
 50 ? como resolveria esta questão sem usar
 congruencias?
 
 
 Agradeço desde de já.
 
 
 Ary Queiroz
  

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[obm-l] Princípio das gavetas

[Marcio M Rocha]

Olá, pessoal!
Antes de mais nada, obrigado ao Cláudio e ao Qwert pela solução do problema.
Como estou com um tempinho livre, vou escrever uns pensamentos muito 
rápido. Vejam se tem algum fundamento.

Em 39 números consecutivos, formo 13 conjuntos disjuntos, cada qual com 
3 números consecutivos. Obviamente, um deles é múltiplo de 3, o que 
implica que a soma dos algarismos de um elemento de cada um dos 13 
conjuntos é igual a 3k.

Tomando esse elemento de cada um dos 13 conjuntos, tenho 13 múltiplos 
consecutivos de 3, ou seja, 13 números cuja soma dos algarismos é um 
múltiplo de 3. Como são 13 números e todos são consecutivos, tô pensando 
se existe um meio de garantir que uma dessas somas também é múltiplo de 11.

O que vocês acham?
[]s,
Márcio.

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Re: [obm-l] Princípio das gavetas

[Marcio M Rocha]

Marcio M Rocha escreveu:
Em 39 números consecutivos, formo 13 conjuntos disjuntos, cada qual 
com 3 números consecutivos. Obviamente, um deles é múltiplo de 3, o 
que implica que a soma dos algarismos de um elemento de cada um dos 13 
conjuntos é igual a 3k.

Tomando esse elemento de cada um dos 13 conjuntos, tenho 13 múltiplos 
consecutivos de 3, ou seja, 13 números cuja soma dos algarismos é um 
múltiplo de 3. Como são 13 números e todos são consecutivos, tô 
pensando se existe um meio de garantir que uma dessas somas também é 
múltiplo de 11.

O que vocês acham?
[]s,
Márcio.

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Eu respondo a mim mesmo: o fato dos números serem múltiplos consecutivos 
de 3 não significa que as somas dos algarismos sejam números consecutivos.

Desculpem-me.
[]s,
Márcio.
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] questãp de física

[Brunno]

Agora bateu
deu tudo certo
valeu pela forca
essa é uma escola da academia da forca aerea
Um abraco
brunno

- Original Message -
From: Murilo Rebouças Fernandes de Lima [EMAIL PROTECTED]
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Wednesday, March 30, 2005 1:23 AM
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] questãp de física


Realmente. Me atentei ao fato de estar conta a gravidade (-10 m/s^2) e
querer lançar-se a 20 m/s^2 e nessessario assim a aparentes 30m/s^2.
resultando os almejados 180kg/s de propuçlção. Valeus obrigado pela dica ai
abraços!
- Original Message -
From: Brunno [EMAIL PROTECTED]
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Tuesday, March 29, 2005 1:52 PM
Subject: [obm-l] questãp de física


 Ola pessoal do grupo
 poderiam me ajudar nesta questão?
 Um foguete de massa 6 TONELADAS é colocado em posição vertical para
 lançamento. Se a velocidade de escape dos gases vale 1km/s, a quantidade
 de
 gases expelida por segundo, a fim de proporcionar o empuxo necessário para
 dar ao foguete uma aceleração para cima de 20 m/s^2
 é

 Obrigado

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Checked by AVG Anti-Virus.
Version: 7.0.308 / Virus Database: 266.8.1 - Release Date: 23/3/2005


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RE: [obm-l] Quest�o de PA

[Qwert Smith]

Faltou definir se 0 pertence a N ou nao.
Se vc inclui o zero a resposta e n^2 - n.
Se vc nao inclui o 0 a resposta e n^2 + n
Fica facil de testar escolhendo um n pequeno como 1 ou 2.
AAcho que o gabarito esta errado

From: Brunno [EMAIL PROTECTED]
Se P(x) x^a -1   é divisível por ( x+ 1) e a [pertence a] N, podemos 
afirmar que a soma dos n primeiros números a que satisfazem esta 
condição é

no gabarito indica n^2

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[obm-l] questão de geometria

[Brunno]

Boa tarde
Poderiam me ajudar nesta questão


Dois segmentos de uma reta AB e CD interceptam-se 
interiormente no ponto O. 
Sabe-se que as medidas de AO e CB 
são 
respectivamente,3cm e 4 cm 
e que as medidas de CO e OD são, 
respectivamente, 2cm e 6cm. 
Qual o número de pontos do plano, determinado por AB e CD 
que eqüidistam dos pontos A, B, C e D
Obrigado

Re:[obm-l] Teo. Riez

[claudio.buffara]

De:
[EMAIL PROTECTED]




Para:
"OBM lISTA" obm-l@mat.puc-rio.br




Cópia:





Data:
Wed, 30 Mar 2005 14:34:22 -0300 (ART)




Assunto:
[obm-l] Teo. Riez
 Sendo A uma matriz nxnsimetrica, positiva definida entao x´Ay (x´ é x transposto ) define um produto interno de x por y . Queria saber se vale a volta: dado um produto  ,  interno em R^n existe uma matriz A como acima tal que x,y=xAy
 
 Ou seja caracteriza produto interno em R^n
 
 Vou dar uma olhada no livro do Elon de Algebra Linear. 
 Um amigo falou pra eu olhar sobre o Teorema de Riez que sob certa condicoes,caracteriza operadores lineares , achei num livro de Analise Funcional mas viajei um pouco, alguem sabe um bom livroonde encontro esse Teorema 
 

Seja {u_1, u_2, ..., u_n} uma base do R^n.

Um produto interno no R^n é totalmente caracterizado pelos n(n+1)/2 valores de u_i,u_j com 1 = i = j = n.

Sejam x = x_1*u_1 + ... + x_n*u_n e y = y_1*u_1 + ... + y_n*u_n dois vetores arbitrários do R^n.

Então x,y = SOMA(1=i,j=n) x_i*y_j*u_i,u_j.

Seja a matriz A(nxn) cujo elemento A_i,j =é igual a u_i,u_j.

É fácil ver que, neste caso, x,y = [x]'*A*[y], onde:
[x] = (x_1, x_2, ..., x_n)' e [x]' = transposto de x (idem para [y]).
 
Obviamente A é simétrica, pois u_i,u_j = u_j,u_i

Se u_i é o i-ésimovetor da base, então:
[u_i]' = (0, ..., 0, 1, 0, ..., 0) (i-ésima coordenada igual a 1) ==
[u_i]'*A*[u_i] = A_i,i = u_i,u_i  0==
A é positiva definida

Em suma, dado um produto interno e uma base do R^n, existe uma única matriz simétrica positiva definida A tal que x,y = [x]'*A*[y].

Aliás, isso vale para qualquer espaço vetorial de dimensão finita sobre R (sobre C também, mas nesse caso, a definição de produto interno é ligeiramente diferente e a matrizé hermitiana)

[]s,
Claudio.

Re: [obm-l] análise (ou cálculo).

[Lista OBM]

Olá gente,

consegui verificar que f é um difeomorfismo local em U
e além disso que é injetora em todos os pontos de U.
Verifiquei também que exite pontos de R^3 [por
exemplo, (1,-1,0)] que não pertencem a f(U), ou seja,
f não é sobrejetiva sobre U. Daí a gente pode concluir
que f: U -- f(U) é difeomorfismo (global). Porém, não
estou conseguindo achar uma cara para f(U) = W.
Podemos concluir que a inversa g: W -- R^3 é
diferenciável pelo simples fato de f: U -- W ser um
difeomorfismo???

Sem mais, Éder. 

--- Lista OBM [EMAIL PROTECTED] wrote:
 Gostaria de uma ajuda no exercício abaixo:
 
 Seja f: R^3 -- R^3 dada por f(x,y,z) = (x - xy, xy
 -
 xyz, xyz). Prove que f é injetora em U = {(x,y,z) em
 R^3 ;  xy  0} e ache f(U) = W. Mostre que a
 inversa
 g = f^(-1): W -- R^3 é diferenciável e calcule
 det[Jg(w)], w em W.
 
 Notação:é o mesmo que diferente;
  Jg(w) é a matriz Jacobiana de g em w.
 
 Obs.: Consegui resolver alguma coisas dele, mas
 mesmo
 assim estou com dúvida em alguns passos. Estava
 usando
 o teorema da aplicação inversa.
 
 Grato desde já, Éder. 
 
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Re: [obm-l] Dois de desenho geometrico

[Eduardo Wilner]

  Bem lembrado, Claudio !

  Obrigado
  Wilner 
--- claudio.buffara [EMAIL PROTECTED]
wrote:
 Oi, Wilner:
 
 Bem legal esta solução!
 Mas faltou dizer que O está entre A e E.
 
 []s,
 Claudio.
 
 
 De:[EMAIL PROTECTED]
 
 Para:obm-l@mat.puc-rio.br
 
 Cópia:
 
 Data:Tue, 29 Mar 2005 20:41:41 -0300 (ART)
 
 Assunto:Re: [obm-l] Dois de desenho geometrico
 
 
  Oi Bruno
 
  Parece que nlnguém encarou o problema 1)...
  Se eu estiver enganado, por favor me indique onde
  está a respectiva Re, porque vou propor uma
 solução
  mas não sei se há alguma pré-exitente:
 
  De posse das retas paralelas trace uma
  perpendicular, w, que cruza r no vértice A e t no
  ponto O, centro de um arco de circunferência de
 ângulo
  central 60°, raio 1 e com uma extremidade no ponto
 E
  da reta w.
  A tangente ao arco na outra extremidade encontra a
  reta t no vértice B (essencialmente, contrua o
  segmento OB igual à cossec 60°).
  A reta EB cruza areta s no vértice C .
  O triângulo ABC é a solução.
 
  Abraços
 
  Wilner
 
 
 
  --- Bruno França dos Reis wrote:
   Ola
  
   Estou com 2 problemas de DG que não consigo
 matar.
   Aqui vão:
  
   1) Dadas as retas r, s, t paralelas, tais que
 d(r,s)
   = 2, d(s,t) = 4,
   d(r,t) = 6, construir um triângulo equilátero
 com um
   vértice em cada
   uma das 3 retas.
  
   2) É dada uma medida m, uma circunferência e um
   ponto P externo à
   circunferência. Determinar a reta secante à
   circunferência, que passa
   por P, e que determina, na circunferência, uma
 corda
   de medida m.
  
  
   Abraço
   Bruno
  
   --
   Bruno França dos Reis
   email: bfreis - gmail.com
   gpg-key:
  
 

http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key
   icq: 12626000
  
   e^(pi*i)+1=0
  
  
 





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Re: [obm-l] Teo. Riez

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

Bom, eu não sei se é algo que você vá gostar, mas tem o livro (na
verdade são vários, mas para você é o primeiro) Methods of Modern
Mathematical Physics, Reed  Simon, que explica bastante bem Análise
Funcional, e acho que ele prova o Teorema de Riesz, que na sua forma
geral é:
Se f(x) é um funcional linear, então f(x) = x, a para algum a e ,
é um produto interno, que por definição é uma forma bilinear simétrica
positiva definida (aqui não dá para falar de matriz, já que pode ter
base infinita!). E daí, para ter o que você quer, acho que basta fazer
uma demonstração de mudança de base.

Abraços
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa


On Wed, 30 Mar 2005 14:34:22 -0300 (ART), Bruno Lima
[EMAIL PROTECTED] wrote:
 Sendo A uma matriz nxn simetrica, positiva definida entao x´Ay   (x´ é x
 transposto ) define um produto interno de x por y . Queria saber se vale a
 volta: dado um produto  ,  interno em R^n existe uma matriz A como acima
 tal que x,y=xAy 
   
 Ou seja caracteriza produto interno em R^n 
   
 Vou dar uma olhada no livro do Elon de Algebra Linear. 
 Um amigo falou pra eu olhar sobre o Teorema de Riez que sob certa condicoes,
 caracteriza operadores lineares , achei num livro de Analise Funcional mas
 viajei um pouco, alguem sabe um bom livro onde encontro esse Teorema 
   
 Valeu, abraco
 
  
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[obm-l] Problema 1 do primeiro nível da X Olimpíada de Maio

[Daniel S. Braz]

Pessoal,

Uma dúvida no problema 1 do primeiro nível da X Olimpíada de Maio
(Eureka! número 20)

Xavier multiplica quatro dígitos, não necessariamente distintos, e obtém um
número terminado em 7. Determine quanto pode valer a soma dos quatros dígitos
multiplicados por Xavier. Dê todas as possibilidades.

então devemos ter algo do tipo: a.b.c.d = xxx7

A dúvida é: Qualquer número terminado em 9 multiplicado por 3 dará um
número terminado em 7

1.1.1.7 = 7 - 10
1.1.3.9 = 27 - 14
1.1.3.19 = 57 - 24
1.1.3.29 = 87 - 34
1.1.3.39 = 117 - 44

Então...como calcular todas as possibilidades...não entendi...

-- 
A essência da Matemática reside na sua liberdade. (G. Cantor)

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[obm-l] Re: [obm-l] Re:[obm-l] Re: [obm-l] Questão de PA

[Brunno]

Mas claudio pq P(x) tem que ser igual a 
zero???

  - Original Message - 
  From: 
  claudio.buffara 
  To: obm-l 
  Sent: Wednesday, March 30, 2005 4:25 
  PM
  Subject: [obm-l] Re:[obm-l] Re: [obm-l] 
  Questão de PA
  
  x + 1 divide x^a - 1 == -1 é raiz de x^a - 1 == a é par, 
  pois: 
  (-1)^a - 1 = 0 se a é par e (-1)^a - 1 = -2 se a é ímpar
  
  Se 0 for natural, então os n primeiros valores de a são:
  0, 2, 4, ..., 2(n-1) == soma = n(n-1)
  
  Caso contrário: 2, 4, 6, ..., 2n == soma =n(n+1)
  
  
  
  


  De:
  [EMAIL PROTECTED]
  
  


  Para:
  obm-l@mat.puc-rio.br
  
  


  Cópia:
  
  
  


  Data:
  Wed, 30 Mar 2005 
15:58:05 -0300
  
  


  Assunto:
  [obm-l] Re: [obm-l] 
Questão de PA
   Como vc pode provar isto?
   Um abraco
   
   - Original Message -
   From: "Qwert Smith" <[EMAIL PROTECTED]>
   To: 
   Sent: Wednesday, March 30, 2005 3:34 PM
   Subject: RE: [obm-l] Questão de PA
   
   
Faltou definir se 0 pertence a N ou nao.
   
Se vc inclui o zero a resposta e n^2 - n.
Se vc nao inclui o 0 a resposta e n^2 + n
   
Fica facil de testar escolhendo um n pequeno como 1 ou 2.
AAcho que o gabarito esta errado
   
   
From: "Brunno" <[EMAIL PROTECTED]>

Se P(x) x^a -1 é divisível por ( x+ 1) e a [pertence a] N, 
  podemos
afirmar que a soma dos "n" primeiros números "a" que 
  satisfazem esta
condição é

no gabarito indica n^2
   
   

  =
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  =
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   http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
   
  =
   

[obm-l] + duvida

[matduvidas48]

Voltando ao mesmo estilo de questão, qual seria o resto de (99)^3 por 50?

Desculpe pelas perguntas , estou estudando para as olimpíadas , estou ainda na 6ª série, e nunca estudei esse tipo de questão.

Fico agradecido.

Ary Queiroz

RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re:[obm-l] Re: [obm-l] Quest�o de PA

[Qwert Smith]

Vc esta confundindo as coisas.  P(x) = x^a - 1.  P(-1) = 0
Se  (x+1) divide P(x) entao a raiz de (x+1) tb e raiz de P(x)
-1 e raiz de (x+1) e consequentemente raiz de P(x)
Ser raiz significa que substituindo x por -1 o polinomio se anula.
em (x+1) = ( -1+1) = 0
em P(x) = P(-1) = 0 = -1^a -1 = 0
Melhorou?
From: Brunno [EMAIL PROTECTED]
Mas claudio pq P(x) tem que ser igual a zero???
  From: claudio.buffara
  x + 1 divide x^a - 1 == -1 é raiz de x^a - 1 == a é par, pois:
  (-1)^a - 1 = 0 se a é par e (-1)^a - 1 = -2 se a é ímpar
  Se 0 for natural, então os n primeiros valores de a são:
  0, 2, 4, ..., 2(n-1) == soma =  n(n-1)
  Caso contrário: 2, 4, 6, ..., 2n == soma = n(n+1)

=
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Re: [obm-l] Inequaçao

[Eduardo Wilner]

  Oi Daniel.

  Só se x for inteiro, quando então seria melhor usar
n, já que foi emitido oconjunto ao qual ele pertence.

  []'s
   
  Wilner

 
--- Daniel Wanzeller [EMAIL PROTECTED] wrote:
 Como resolver esta:
 
 Se x  2, prove que 02x+1 4.
  x^2+x  5
 

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Re: [obm-l] Problema 1 do primeiro nível da X Olimpíada de Maio

[Marcio M Rocha]

Daniel S. Braz escreveu:
Pessoal,
Uma dúvida no problema 1 do primeiro nível da X Olimpíada de Maio
(Eureka! número 20)
Xavier multiplica quatro dígitos, não necessariamente distintos, e obtém um
número terminado em 7. Determine quanto pode valer a soma dos quatros dígitos
multiplicados por Xavier. Dê todas as possibilidades.
então devemos ter algo do tipo: a.b.c.d = xxx7
A dúvida é: Qualquer número terminado em 9 multiplicado por 3 dará um
número terminado em 7
1.1.1.7 = 7 - 10
1.1.3.9 = 27 - 14
1.1.3.19 = 57 - 24
1.1.3.29 = 87 - 34
1.1.3.39 = 117 - 44
Então...como calcular todas as possibilidades...não entendi...
 

Oi, Daniel
Veja que o enunciado diz que ele multiplica quatro dígitos, ou seja, 
algarismos. Assim, as 3 últimas possibilidades que você mostrou estão 
descartadas.

[]s,
Márcio.
=
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[obm-l] Re: [obm-l] análise (ou cálculo).

[claudio.buffara]

f(x,y,z) = (a,b,c) == (x-xy,xy-xyz,xyz) = (a,b,c)

Resolvendo o sistema sem levar em conta o risco de se dividir por zero, obtemos:
x = a+b+c
y = (b+c)/(a+b+c)
z = c/(b+c)

Isso só não será factível se a + b + c = 0 ou b + c = 0 (ou ambos).

Mas se nos restringirmos a U, teremos:
xy  0 == 
x  0 e y  0 ==
a + b + c  0 e b + c  0 ==

Assim, W = f(U) = {(a,b,c) em R^3 | a + b + c  0 e b + c  0}


[]s,
Claudio.





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Data:
Wed, 30 Mar 2005 16:21:14 -0300 (ART)




Assunto:
Re: [obm-l] análise (ou cálculo).
 Olá gente,
 
 consegui verificar que f é um difeomorfismo local em U
 e além disso que é injetora em todos os pontos de U.
 Verifiquei também que exite pontos de R^3 [por
 exemplo, (1,-1,0)] que não pertencem a f(U), ou seja,
 f não é sobrejetiva sobre U. Daí a gente pode concluir
 que f: U -- f(U) é difeomorfismo (global). Porém, não
 estou conseguindo achar uma "cara" para f(U) = W.
 Podemos concluir que a inversa g: W -- R^3 é
 diferenciável pelo "simples" fato de f: U -- W ser um
 difeomorfismo???
 
 Sem mais, Éder. 
 
 --- Lista OBM <[EMAIL PROTECTED]>wrote:
  Gostaria de uma ajuda no exercício abaixo:
  
  Seja f: R^3 -- R^3 dada por f(x,y,z) = (x - xy, xy
  -
  xyz, xyz). Prove que f é injetora em U = {(x,y,z) em
  R^3 ; xy  0} e ache f(U) = W. Mostre que a
  inversa
  g = f^(-1): W -- R^3 é diferenciável e calcule
  det[Jg(w)], w em W.
  
  Notação: "  " é o mesmo que diferente;
  Jg(w) é a matriz Jacobiana de g em w.
  
  Obs.: Consegui resolver alguma coisas dele, mas
  mesmo
  assim estou com dúvida em alguns passos. Estava
  usando
  o teorema da aplicação inversa.
  
  Grato desde já, Éder. 
  

[obm-l] Re:[obm-l] Re: [obm-l] Re:[obm-l] Re: [obm-l] Questão de PA

[claudio.buffara]

Não entendi a sua dúvida.

Enfim, eu usei o fato de que se P(x) é divisível por Q(x) então cada raiz de Q(x) deve também ser raiz de P(x) (contando multiplicidade).

Você conhece divisão de polinômios?





De:
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Data:
Wed, 30 Mar 2005 16:46:27 -0300




Assunto:
[obm-l] Re: [obm-l] Re:[obm-l] Re: [obm-l] Questão de PA



 Mas claudio pq P(x) tem que ser igual a zero???

- Original Message - 
From: claudio.buffara 
To: obm-l 
Sent: Wednesday, March 30, 2005 4:25 PM
Subject: [obm-l] Re:[obm-l] Re: [obm-l] Questão de PA
 
 x + 1 divide x^a - 1 == -1 é raiz de x^a - 1 == a é par, pois: 
 (-1)^a - 1 = 0 se a é par e (-1)^a - 1 = -2 se a é ímpar
 
 Se 0 for natural, então os n primeiros valores de a são:
 0, 2, 4, ..., 2(n-1) == soma = n(n-1)
 
 Caso contrário: 2, 4, 6, ..., 2n == soma =n(n+1)
 
 




De:
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Data:
Wed, 30 Mar 2005 15:58:05 -0300




Assunto:
[obm-l] Re: [obm-l] Questão de PA
  Como vc pode provar isto?
  Um abraco
  
  - Original Message -
  From: "Qwert Smith" <[EMAIL PROTECTED]>
  To: 
  Sent: Wednesday, March 30, 2005 3:34 PM
  Subject: RE: [obm-l] Questão de PA
  
  
   Faltou definir se 0 pertence a N ou nao.
  
   Se vc inclui o zero a resposta e n^2 - n.
   Se vc nao inclui o 0 a resposta e n^2 + n
  
   Fica facil de testar escolhendo um n pequeno como 1 ou 2.
   AAcho que o gabarito esta errado
  
  
   From: "Brunno" <[EMAIL PROTECTED]>
   
   Se P(x) x^a -1 é divisível por ( x+ 1) e a [pertence a] N, podemos
   afirmar que a soma dos "n" primeiros números "a" que satisfazem esta
   condição é
   
   no gabarito indica n^2
  
  
   =
   Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
   http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
   =
  
  =
  Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
  http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
  =
  

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re:[obm-l] Re: [obm-l] Questão de PA

[Brunno]

Não seria
P(x) = (x-1)Q(x) + R
SENDO DIVISÍVEL, O RESTO É ZERO
Não vejo o motivo se a raiz de (x-1) tem que ser tb raiz de P(x)

- Original Message -
From: Qwert Smith [EMAIL PROTECTED]
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Wednesday, March 30, 2005 5:07 PM
Subject: RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re:[obm-l] Re: [obm-l] Questão de PA


 Vc esta confundindo as coisas.  P(x) = x^a - 1.  P(-1) = 0
 Se  (x+1) divide P(x) entao a raiz de (x+1) tb e raiz de P(x)
 -1 e raiz de (x+1) e consequentemente raiz de P(x)
 Ser raiz significa que substituindo x por -1 o polinomio se anula.
 em (x+1) = ( -1+1) = 0
 em P(x) = P(-1) = 0 = -1^a -1 = 0

 Melhorou?

 From: Brunno [EMAIL PROTECTED]
 
 Mas claudio pq P(x) tem que ser igual a zero???
 
From: claudio.buffara
 
x + 1 divide x^a - 1 == -1 é raiz de x^a - 1 == a é par, pois:
(-1)^a - 1 = 0 se a é par e (-1)^a - 1 = -2 se a é ímpar
 
Se 0 for natural, então os n primeiros valores de a são:
0, 2, 4, ..., 2(n-1) == soma =  n(n-1)
 
Caso contrário: 2, 4, 6, ..., 2n == soma = n(n+1)


 =
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Re: [obm-l] Problema 1 do primeiro nível da X Olimpíada de Maio

[Eduardo Wilner]

Oi Daniel.

19, 29, 39 não são digitos!

[]'s

Wilner


 
--- Daniel S. Braz [EMAIL PROTECTED] wrote:
 Pessoal,
 
 Uma dúvida no problema 1 do primeiro nível da X
 Olimpíada de Maio
 (Eureka! número 20)
 
 Xavier multiplica quatro dígitos, não
 necessariamente distintos, e obtém um
 número terminado em 7. Determine quanto pode valer a
 soma dos quatros dígitos
 multiplicados por Xavier. Dê todas as
 possibilidades.
 
 então devemos ter algo do tipo: a.b.c.d = xxx7
 
 A dúvida é: Qualquer número terminado em 9
 multiplicado por 3 dará um
 número terminado em 7
 
 1.1.1.7 = 7 - 10
 1.1.3.9 = 27 - 14
 1.1.3.19 = 57 - 24
 1.1.3.29 = 87 - 34
 1.1.3.39 = 117 - 44
 
 Então...como calcular todas as possibilidades...não
 entendi...
 
 -- 
 A essência da Matemática reside na sua liberdade.
 (G. Cantor)
 

=
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 usar a lista em
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[obm-l] Re:[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re:[obm-l] Re: [obm-l] Questão de PA

[claudio.buffara]

No seu exemplo, se o resto eh zero, quanto vale P(1)?





De:
[EMAIL PROTECTED]




Para:
obm-l@mat.puc-rio.br




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Data:
Wed, 30 Mar 2005 17:35:04 -0300




Assunto:
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re:[obm-l] Re: [obm-l] Questão de PA
 Não seria
 P(x) = (x-1)Q(x) + R
 SENDO DIVISÍVEL, O RESTO É ZERO
 Não vejo o motivo se a raiz de (x-1) tem que ser tb raiz de P(x)
 
 - Original Message -
 From: "Qwert Smith" <[EMAIL PROTECTED]>
 To: 
 Sent: Wednesday, March 30, 2005 5:07 PM
 Subject: RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re:[obm-l] Re: [obm-l] Questão de PA
 
 
  Vc esta confundindo as coisas. P(x) = x^a - 1. P(-1) = 0
  Se (x+1) divide P(x) entao a raiz de (x+1) tb e raiz de P(x)
  -1 e raiz de (x+1) e consequentemente raiz de P(x)
  Ser raiz significa que substituindo x por -1 o polinomio se anula.
  em (x+1) = ( -1+1) = 0
  em P(x) = P(-1) = 0 = -1^a -1 = 0
 
  Melhorou?
 
  From: "Brunno" <[EMAIL PROTECTED]>
  
  Mas claudio pq P(x) tem que ser igual a zero???
  
   From: claudio.buffara
  
   x + 1 divide x^a - 1 == -1 é raiz de x^a - 1 == a é par, pois:
   (-1)^a - 1 = 0 se a é par e (-1)^a - 1 = -2 se a é ímpar
  
   Se 0 for natural, então os n primeiros valores de a são:
   0, 2, 4, ..., 2(n-1) == soma = n(n-1)
  
   Caso contrário: 2, 4, 6, ..., 2n == soma = n(n+1)
 
 
  =
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 =
 

[obm-l] Re:[obm-l] Re: [obm-l] análise (ou cálculo).

[claudio.buffara]

Só complementando: f: R^3 - R^3 não é uma bijeção. A bijeção é a restrição de f aU se restringirmos também o contradomínio a W.
Ou seja, usando a mesma letra pra representar a restrição de f a U:
f: U - W é uma bijeção cuja inversa é g: W - U dada por: 
g(x,y,z) = (x+y+z,(y+z)/(x+y+z),z/(y+z))

Como as coordenadas de f(x,y,z) ( g(x,y,z) ) são polinômios (funções racionais) em x, y e z, e que os denominadores de g(x,y,z) não se anulam em W, é fácil ver que tanto f quanto gsão infinitamente diferenciáveis.

Logo, f: U - W é um difeomorfismo de classe C^infinito.





De:
[EMAIL PROTECTED]




Para:
"obm-l" obm-l@mat.puc-rio.br




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Data:
Wed, 30 Mar 2005 17:15:23 -0300




Assunto:
[obm-l] Re: [obm-l] análise (ou cálculo).
 f(x,y,z) = (a,b,c) == (x-xy,xy-xyz,xyz) = (a,b,c)
 
 Resolvendo o sistema sem levar em conta o risco de se dividir por zero, obtemos:
 x = a+b+c
 y = (b+c)/(a+b+c)
 z = c/(b+c)
 
 Isso só não será factível se a + b + c = 0 ou b + c = 0 (ou ambos).
 
 Mas se nos restringirmos a U, teremos:
 xy  0 == 
 x  0 e y  0 ==
 a + b + c  0 e b + c  0 ==
 
 Assim, W = f(U) = {(a,b,c) em R^3 | a + b + c  0 e b + c  0}
 
 
 []s,
 Claudio.
 




De:
[EMAIL PROTECTED]




Para:
obm-l@mat.puc-rio.br




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Data:
Wed, 30 Mar 2005 16:21:14 -0300 (ART)




Assunto:
Re: [obm-l] análise (ou cálculo).
  Olá gente,
  
  consegui verificar que f é um difeomorfismo local em U
  e além disso que é injetora em todos os pontos de U.
  Verifiquei também que exite pontos de R^3 [por
  exemplo, (1,-1,0)] que não pertencem a f(U), ou seja,
  f não é sobrejetiva sobre U. Daí a gente pode concluir
  que f: U -- f(U) é difeomorfismo (global). Porém, não
  estou conseguindo achar uma "cara" para f(U) = W.
  Podemos concluir que a inversa g: W -- R^3 é
  diferenciável pelo "simples" fato de f: U -- W ser um
  difeomorfismo???
  
  Sem mais, Éder. 
  
  --- Lista OBM <[EMAIL PROTECTED]>wrote:
   Gostaria de uma ajuda no exercício abaixo:
   
   Seja f: R^3 -- R^3 dada por f(x,y,z) = (x - xy, xy
   -
   xyz, xyz). Prove que f é injetora em U = {(x,y,z) em
   R^3 ; xy  0} e ache f(U) = W. Mostre que a
   inversa
   g = f^(-1): W -- R^3 é diferenciável e calcule
   det[Jg(w)], w em W.
   
   Notação: "  " é o mesmo que diferente;
   Jg(w) é a matriz Jacobiana de g em w.
   
   Obs.: Consegui resolver alguma coisas dele, mas
   mesmo
   assim estou com dúvida em alguns passos. Estava
   usando
   o teorema da aplicação inversa.
   
   Grato desde já, Éder. 
   
 

Re: [obm-l] + duvida

[Bruno França dos Reis]

Oi

99 = 49 = -1 (mod 50)
99^3 = (-1)^3 = -1 = 49 (mod 50)
logo, o resto da divisao é 49!

vc tb pode pensar assim:

99 = 10^6 - 1
99^3 = (10^6 - 1)^3 = (10^6)^3 + (-1)*(10^6)^2 + (-1)^2*(10^6) + (-1)^3
todas as parcelas, exceto a última, terminam numa sequencia de 0's.
Sabemos que todo numero que termina numa sequência de 0's (com pelo
menos 2 zeros, e é o caso), é divisível por 100 (veja, NESSE caso,
pois todas as sequencias de 0's tem mais de 2 zeros, como já disse).
Todo numero que é divisível por 100, também o é por 50. Logo, (10^6)^3
+ (-1)*(10^6)^2 + (-1)^2*(10^6) deixa resto 0 quando dividido por 50.
Se subtrairmos 1, deixa resto -1, mas não pode, pois resto é entre 0
e 49, então, o resto é igual a 49.

abraço
bruno



On Wed, 30 Mar 2005 16:56:30 -0300, matduvidas48
[EMAIL PROTECTED] wrote:
  
  
 
 Voltando ao mesmo estilo de questão, qual seria o resto de (99)^3 por
 50? 
 
   
 
 Desculpe pelas perguntas , estou estudando para as olimpíadas , estou ainda
 na 6ª série, e nunca estudei esse tipo de questão. 
 
   
 
 Fico agradecido. 
 
   
 
 Ary Queiroz 


-- 
Bruno França dos Reis
email: bfreis - gmail.com
gpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key
icq: 12626000

e^(pi*i)+1=0

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Dois de desenho geometrico

[Bruno França dos Reis]

legal, wilner!
valeu!
vc não sabe o quanto eu procurei uma solução pra isso... eu e vários
amigos tentamos muito, pedi ao meu professor de DG que tb não
conseguiu...

até mais!
bruno


On Wed, 30 Mar 2005 16:24:15 -0300 (ART), Eduardo Wilner
[EMAIL PROTECTED] wrote:
   Bem lembrado, Claudio !
 
   Obrigado
   Wilner
 --- claudio.buffara [EMAIL PROTECTED]
 wrote:
  Oi, Wilner:
 
  Bem legal esta solução!
  Mas faltou dizer que O está entre A e E.
 
  []s,
  Claudio.
 
 
  De:[EMAIL PROTECTED]
 
  Para:obm-l@mat.puc-rio.br
 
  Cópia:
 
  Data:Tue, 29 Mar 2005 20:41:41 -0300 (ART)
 
  Assunto:Re: [obm-l] Dois de desenho geometrico
 
  
   Oi Bruno
  
   Parece que nlnguém encarou o problema 1)...
   Se eu estiver enganado, por favor me indique onde
   está a respectiva Re, porque vou propor uma
  solução
   mas não sei se há alguma pré-exitente:
  
   De posse das retas paralelas trace uma
   perpendicular, w, que cruza r no vértice A e t no
   ponto O, centro de um arco de circunferência de
  ângulo
   central 60°, raio 1 e com uma extremidade no ponto
  E
   da reta w.
   A tangente ao arco na outra extremidade encontra a
   reta t no vértice B (essencialmente, contrua o
   segmento OB igual à cossec 60°).
   A reta EB cruza areta s no vértice C .
   O triângulo ABC é a solução.
  
   Abraços
  
   Wilner
  
  
  
   --- Bruno França dos Reis wrote:
Ola
   
Estou com 2 problemas de DG que não consigo
  matar.
Aqui vão:
   
1) Dadas as retas r, s, t paralelas, tais que
  d(r,s)
= 2, d(s,t) = 4,
d(r,t) = 6, construir um triângulo equilátero
  com um
vértice em cada
uma das 3 retas.
   
2) É dada uma medida m, uma circunferência e um
ponto P externo à
circunferência. Determinar a reta secante à
circunferência, que passa
por P, e que determina, na circunferência, uma
  corda
de medida m.
   
   
Abraço
Bruno
   
--
Bruno França dos Reis
email: bfreis - gmail.com
gpg-key:
   
  
 
 http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key
icq: 12626000
   
e^(pi*i)+1=0
   
   
 
 
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 =
 


-- 
Bruno França dos Reis
email: bfreis - gmail.com
gpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key
icq: 12626000

e^(pi*i)+1=0

=
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=

Re: [obm-l] questão de geometria

[Eduardo Wilner]

   Oi Bruno.

   Creio que vc. quis dizer dois segmentos de retas
(diferentes)...
   Ainda assim, as posições dos pontos A,B,C e D não
ficam definidas.
   Favor verificar e esclarecer.

  []'s

  Wilner 
  
--- Brunno [EMAIL PROTECTED] wrote:
 Boa tarde
 Poderiam me ajudar nesta questão
 
 Dois segmentos de uma reta AB e CD  interceptam-se
 interiormente no ponto O. 
 
 Sabe-se que as medidas de AO e CB  são
 respectivamente, 3cm e 4 cm 
 
 e que as medidas de  CO e OD  são, respectivamente,
 2cm e 6cm. 
 
 Qual o número de pontos do plano, determinado por AB
 e CD 
 
 que eqüidistam dos pontos  A, B, C e D
 
 Obrigado
 
  
 
  
 





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[obm-l] Cálculo de Probabilidades e Teoria da Medida

[Henrique Patrício Sant'Anna Branco]

Pessoal,

Estou estudando Cálculo de Probabilidades de uma visão um pouco mais
avançada, ao ponto de despertar minha curiosidade sobre a Teoria da Medida.

Alguém pode me indicar bons livros/sites para pesquisa, bem como os
pré-requisitos pra estudar o assunto?

Grato,
Henrique.

=
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=

[obm-l] Re: [obm-l] questão de geometria

[Brunno]

Andre essa é uma questao do colégio naval e o enunciado esta identico,
questao chata neh
um abraco
- Original Message -
From: Eduardo Wilner [EMAIL PROTECTED]
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Wednesday, March 30, 2005 11:48 PM
Subject: Re: [obm-l] questão de geometria



   Oi Bruno.

   Creio que vc. quis dizer dois segmentos de retas
(diferentes)...
   Ainda assim, as posições dos pontos A,B,C e D não
ficam definidas.
   Favor verificar e esclarecer.

  []'s

  Wilner

--- Brunno [EMAIL PROTECTED] wrote:
 Boa tarde
 Poderiam me ajudar nesta questão

 Dois segmentos de uma reta AB e CD  interceptam-se
 interiormente no ponto O.

 Sabe-se que as medidas de AO e CB  são
 respectivamente, 3cm e 4 cm

 e que as medidas de  CO e OD  são, respectivamente,
 2cm e 6cm.

 Qual o número de pontos do plano, determinado por AB
 e CD

 que eqüidistam dos pontos  A, B, C e D

 Obrigado










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=

[obm-l] Primo ou composto???

[Rhilbert Rivera]

Colegas me ajudem na seguinte questão:
Determine o menor valor positivo de n tal que  p.n^2 + p, seja um número  
composto, onde p é um número primo.

Comentários: É claro que para n = p o número é composto. O que estou me 
atrapalhando é como determinar se existe um n menor que p que satisfaça a 
condição do problema. Algo me diz que não existe esse n, ou ele não existe 
para alguns primos...

Obrigado por qualquer ajuda.
(^ _ ^)
_
Chegou o que faltava: MSN Acesso Grátis. Instale Já! 
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=
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=

RE: [obm-l] Teo. Riez

[Leandro Lacorte Recova]

O livro do Reed e bem interessante ! 

O livro do Kreysig, e tambem do Rudin apresentam provas ! 



-Original Message-
From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On
Behalf Of Bernardo Freitas Paulo da Costa
Sent: Wednesday, March 30, 2005 11:33 AM
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: Re: [obm-l] Teo. Riez

Bom, eu não sei se é algo que você vá gostar, mas tem o livro (na
verdade são vários, mas para você é o primeiro) Methods of Modern
Mathematical Physics, Reed  Simon, que explica bastante bem Análise
Funcional, e acho que ele prova o Teorema de Riesz, que na sua forma
geral é:
Se f(x) é um funcional linear, então f(x) = x, a para algum a e ,
é um produto interno, que por definição é uma forma bilinear simétrica
positiva definida (aqui não dá para falar de matriz, já que pode ter
base infinita!). E daí, para ter o que você quer, acho que basta fazer
uma demonstração de mudança de base.

Abraços
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa


On Wed, 30 Mar 2005 14:34:22 -0300 (ART), Bruno Lima
[EMAIL PROTECTED] wrote:
 Sendo A uma matriz nxn simetrica, positiva definida entao x´Ay   (x´ é x
 transposto ) define um produto interno de x por y . Queria saber se vale a
 volta: dado um produto  ,  interno em R^n existe uma matriz A como acima
 tal que x,y=xAy 
   
 Ou seja caracteriza produto interno em R^n 
   
 Vou dar uma olhada no livro do Elon de Algebra Linear. 
 Um amigo falou pra eu olhar sobre o Teorema de Riez que sob certa
condicoes,
 caracteriza operadores lineares , achei num livro de Analise Funcional mas
 viajei um pouco, alguem sabe um bom livro onde encontro esse Teorema 
   
 Valeu, abraco
 
  
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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RE: [obm-l] Primo ou composto???

[Qwert Smith]

n = 1
p.1^2 + p = 2p que e composto
From: Rhilbert Rivera [EMAIL PROTECTED]
Determine o menor valor positivo de n tal que  p.n^2 + p, seja um número  
composto, onde p é um número primo.

Comentários: É claro que para n = p o número é composto. O que estou me 
atrapalhando é como determinar se existe um n menor que p que satisfaça a 
condição do problema. Algo me diz que não existe esse n, ou ele não existe 
para alguns primos...

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