Re: [obm-l] PROBLEMA!
Oi Rafael. O problema, tal como formulado, não tem solução. Senão vejamos: denominando os números, na ordem crescente, a1,a2,a3,a4,a5,temos a1+a2=0 ou a1=-a2 0 ; a4+a5=15(*) ; a2+a4=a1+a5=4 ; Assim, 0a22 = -2a10 ; 2a44 ; 4a56. Mas as ultimas duas são imcompatíveis com(*)! De onde vc. tirou o problema? Deve haver algum engano. Por falar nisso, o qye vc. quer dizer com RESPECTIVAMENTE? Abraços Wilner --- Rafael Alfinito Ferreira [EMAIL PROTECTED] wrote: EU TENTEI, TENTEI E ATÉ AGORA NÃO ENTENDI AÍ VAI: DADOS 5 NÚMEROS, AS SOMA 2 A 2 SÃO: 0, 2, 4, 4, 6, 8, 9, 11, 13 E 15 RESPECTIVAMENTE. DETERMINE OS NÚMEROS. DESDE JÁ AGRADEÇO. _ MSN Messenger: converse online com seus amigos . http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! http://br.acesso.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] DEmonstração Mais elementar.
Olá a todos. è bem conhecido o fato de que se p é primo diferente de 2 e 5 então p divide infinitos dos números R_n:=(10^n-)/9. Entretanto, a demonstração mais direta usa o Peq. Teorema de Fermat, que não é um resultado elementar. O fato está relacionado com a periodicidade da expansão decimal de 1/p. Gostaria de obter uma demonstração alternativa, que usasse fatos mais elementares. Alguém conhece alguma? Agradeço desde já a todas as sugestões. Um abraço a todos, Frederico. _ Chegou o que faltava: MSN Acesso Grátis. Instale Já! http://www.msn.com.br/discador = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Geometria
Pessoal, não consegui fazer muita coisa nesse. Dado um pentágono ABCDE qualquer, considere os triângulos ABE, BCE CDE e ADE. Unindo-se os baricentros desses triânguloconstrói-se um quadrilátero. Determine a razão entre a área ABCD e o quadrilátero formado. A resp. é 4,5 Desde já agradeço.
[obm-l] En: [obm-l] questãp de física
Um foguete de massa 6 TONELADAS é colocado em posição vertical para lançamento. Se a velocidade de escape dos gases vale 1km/s, a quantidade de gases expelida por segundo, a fim de proporcionar o empuxo necessário para dar ao foguete uma aceleração para cima de 20 m/s^2 m(dv/dt) = -(dm/dt)Ve + F(ext) 6000*(20) = -(dm/dt)*1000- 6000*10 dm/dt = 180Kg/s Abraços Vinícius Meireles Aleixo = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Problema do Kuratowski
Ola Pessoal, O problema abaixo e interessante e foi descoberto pelo Kuratowski : Seja A contido em R ( numeros reais ) um conjunto. Representaremos por F(A) o fecho de A e por C(A) o complemento de A. EXIBA um A tal que a sucessiva aplicacao composta de F's e C's fornece a quantidade maxima de conjunto dois a dois distintos. SUGESTAO : Como claramente F(F(A)) e C(C(A)) retornan, entao parta de F(C(A)) e C(F(A)). Use entao A e sua fronteira, fr(A), e mostre que mesmo assim as reiteradas aplicacoes retornam, vale dizer, sao periodicas. Depois estude os sucessivos tipos topologicos de A. O problema nao e dificil ( a sugestao acima e baseada na minha ideia ) mas eu nao consegui encontra uma solucao elegante e sintetica. Um Abraco a Todos ! Paulo Santa Rita 7,1609,020405 _ Chegou o que faltava: MSN Acesso Grátis. Instale Já! http://www.msn.com.br/discador = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re:[obm-l] DEmonstração Mais elementar.
Se p = 3, então p divide 111, 11, 1, e qualquer número formado por 3k algarismos 1 (k inteiro positivo). Suponhamos, portanto, que p 2, 3 e5. Nesse caso, 1/p é uma dízima periódica simples (não sei se isso é mais fácil de demonstrar do que o pequeno teorema de Fermat ou o teorema de Euler) Escrevendo 1/p = 0,a_1a_2...a_na_1a_2...a_na_1a_2..., teremos 10^n/p = a_1a_2...a_n,a_1a_2a_na_1a_2... de forma que (10^n - 1)/p = a_1a_2...a_n, ou seja, p divide 10^n - 1 = 9*11...1 Como p não divide 9, p divide N = 11...1 (n algarismos 1). Além disso, os números (10^n+1)*N, (10^(2n)+10^n+1)*N, ... são todos formados apenas por algarismos 1 e são obviamente divisíveis por p. []s, Claudio. De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Sat, 02 Apr 2005 13:06:30 -0300 Assunto: [obm-l] DEmonstração Mais elementar. Olá a todos. è bem conhecido o fato de que se p é primo diferente de 2 e 5 então p divide infinitos dos números R_n:=(10^n-)/9. Entretanto, a demonstração mais direta usa o Peq. Teorema de Fermat, que não é um resultado elementar. O fato está relacionado com a periodicidade da expansão decimal de 1/p. Gostaria de obter uma demonstração alternativa, que usasse fatos mais elementares. Alguém conhece alguma? Agradeço desde já a todas as sugestões. Um abraço a todos, Frederico. _ Chegou o que faltava: MSN Acesso Grátis. Instale Já! http://www.msn.com.br/discador = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re:[obm-l] Problema do Kuratowski
Oi, Paulo:
Imagino que o que você queira é gerar, a partir de A_1 = A, por sucessivas aplicações de F ou C, uma sequência de conjuntos A_1, A_2, ...,
tal que:
i)A_(n+1) = F(A_n) ou A_(n+1) = C(A_n)
e
ii)a família {A_1, A_2, ...} tenha a maior cardinalidade possível.
Eu acho que a maior cardinalidade possível é 8.
Minha explicação segue abaixo.
Como, para todo X, F(F(X)) = F(X)e C(C(X)) = X, a única chance de obtermos um conjunto "inédito" é aplicandoalternadamente C e F.
Por exemplo, se A_1 = A = União(n em Z) [2n-1,2n], então F(A) = A.
Assim, fazemos:
A_2 =C(A_1) = C(A) = União(n em Z) (2n,2n+1) ==
A_3 = F(A_2) = F(C(A)) = União(n em Z) [2n,2n+1] ==
A_4 = C(A_3) = C(F(C(A))) = União(n em Z) (2n-1,2n) ==
A_5 = F(A_4) = F(C(F(C(A)) = União(n em Z) [2n-1,2n] = A_1.
Logo, a partir de A obtivemos uma família de cardinalidade 4.
Começando comqualquer A contido em R se, em algum ponto, aplicarmos F e depois C, obteremos C(F(A)), um subconjunto aberto de R, o qual se expressa de maneira única como uma reunião no máximo enumerável de intervalos abertos dois a dois disjuntos.
Se os fechos desses intervalos forem disjuntos dois a dois, então cairemos numa situação como a do exemplo acima. Logo, a idéia é adiar ao máximo a aparição de um aberto cujo fecho seja uma união deintervalos fechados (degenerados ou não)disjuntos dois a dois.
Por exemplo, se tivermos:
A_1 = (a,b) união (b,c), com a b c, então:
A_2 = F(A_1) = [a,c]
A_3= C(A_2) = (-inf,a) união (c,+inf)
A_4 = F(A_3) = (-inf,a] união [c,+inf)
A_5 = C(A_4) = (a,c)
A_6 = F(A_5) = [a,c] = A_2 ==
obtivemos uma família de cardinalidade 5.
Esse exemplo mostra que se algum A_kfor uma reunião de intervalos abertos cujos fechos não são disjuntos, teremos A_(k+1) = F(A_k) = união de intervalos fechados disjuntos (cada dois intervalos abertos cujos fechos se intersectam se fundirão num único intervalo fechado contendo ambos e, possivelemnte, mais outros intervalos abertos).
A partir desse ponto, o primeiro exemplo mostra que geraremos apenas mais três conjuntos inéditos - A_(k+2), A_(k+3) e A_(k+4). Teremos necessariamente A_(k+5) = A_(k+1).
A seguir, partimos de A, uma união de intervalos abertos cujos fechos não sejam disjuntos e tentamos obter o maior número possível de termos anteriores a A na sequência.
Por exemplo, quem seria o antecessor de A = (-1,0) união (0,1)?
Como este conjunto é aberto, só pode ter sido obtido como complementar de algum conjunto B.
Naturalmente, B = (-inf,-1] união {0} união [1,+inf).
B é o fecho de algum C, por exemplo, C = (-inf,-1) união {0} união (1,+inf).
Finalmente, C é o complementar de D = [-1,0) união (0,1].
Não podemos voltar mais, pois D não é fechado e, portanto, não é fecho de ninguém. D é o complementar de C, o que não adiciona nenhum conjunto inédito. Logo, a sequência começa com D. Chamando este D de A_1, teremos:
A_1 = [-1,0) união (0,1]
A_2 = C(A_1) = (-inf,-1) união {0} união (1,+inf).
A_3 = F(A_2) = (-inf,-1] união {0} união [1,+inf)
A_4 = C(A_3) = (-1,0) união (0,1)
A_5 = F(A_4) = [-1,1]
A_6= C(A_5) = (-inf,-1) união (1,+inf)
A_7 = F(A_6) = (-inf,-1] união [1,+inf)
A_8 = C(A_7) = (-1,1)
A_9 = F(A_8) = [-1,1] = A_5 ==
cardinalidade = 8.
[]s,
Claudio.
De:
[EMAIL PROTECTED]
Para:
obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data:
Sat, 02 Apr 2005 19:10:51 +
Assunto:
[obm-l] Problema do Kuratowski
Ola Pessoal,
O problema abaixo e interessante e foi descoberto pelo Kuratowski :
Seja A contido em R ( numeros reais ) um conjunto. Representaremos por F(A)
o fecho de A e por
C(A) o complemento de A. EXIBA um A tal que a sucessiva aplicacao composta
de F's e C's fornece a quantidade maxima de conjunto dois a dois distintos.
SUGESTAO : Como claramente F(F(A)) e C(C(A)) retornan, entao parta de
F(C(A)) e C(F(A)). Use entao A e sua fronteira, fr(A), e mostre que mesmo
assim as reiteradas aplicacoes retornam, vale dizer, sao periodicas. Depois
estude os sucessivos tipos topologicos de A.
O problema nao e dificil ( a sugestao acima e baseada na minha ideia ) mas
eu nao consegui encontra uma solucao elegante e sintetica.
Um Abraco a Todos !
Paulo Santa Rita
7,1609,020405
_
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re:[obm-l] Problema do Kuratowski
Oi Claudio e demais colegas
desta lista ... OBM-L,
A maior cardinalidade possivel e 14. Voce nao precisa seguir uma sequencia,
pode seguir por dois ou mais bracos a partir de A. Mas eu estou mais
interessado em uma solucao inteligente, nao bracal. Eu nao consegui
encontra-la uma tal solucao.
Um Abraco
Paulo Santa Rita
7,2144,020405
From: claudio.buffara [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
To: obm-l obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: Re:[obm-l] Problema do Kuratowski
Date: Sat, 2 Apr 2005 18:35:55 -0300
Oi, Paulo:
Imagino que o que você queira é gerar, a partir de A_1 = A, por sucessivas
aplicações de F ou C, uma sequência de conjuntos A_1, A_2, ...,
tal que:
i) A_(n+1) = F(A_n) ou A_(n+1) = C(A_n)
e
ii) a família {A_1, A_2, ...} tenha a maior cardinalidade possível.
Eu acho que a maior cardinalidade possível é 8.
Minha explicação segue abaixo.
Como, para todo X, F(F(X)) = F(X) e C(C(X)) = X, a única chance de obtermos
um conjunto inédito é aplicando alternadamente C e F.
Por exemplo, se A_1 = A = União(n em Z) [2n-1,2n], então F(A) = A.
Assim, fazemos:
A_2 = C(A_1) = C(A) = União(n em Z) (2n,2n+1) ==
A_3 = F(A_2) = F(C(A)) = União(n em Z) [2n,2n+1] ==
A_4 = C(A_3) = C(F(C(A))) = União(n em Z) (2n-1,2n) ==
A_5 = F(A_4) = F(C(F(C(A)) = União(n em Z) [2n-1,2n] = A_1.
Logo, a partir de A obtivemos uma família de cardinalidade 4.
Começando com qualquer A contido em R se, em algum ponto, aplicarmos F e
depois C, obteremos C(F(A)), um subconjunto aberto de R, o qual se expressa
de maneira única como uma reunião no máximo enumerável de intervalos
abertos dois a dois disjuntos.
Se os fechos desses intervalos forem disjuntos dois a dois, então cairemos
numa situação como a do exemplo acima. Logo, a idéia é adiar ao máximo a
aparição de um aberto cujo fecho seja uma união de intervalos fechados
(degenerados ou não) disjuntos dois a dois.
Por exemplo, se tivermos:
A_1 = (a,b) união (b,c), com a b c, então:
A_2 = F(A_1) = [a,c]
A_3 = C(A_2) = (-inf,a) união (c,+inf)
A_4 = F(A_3) = (-inf,a] união [c,+inf)
A_5 = C(A_4) = (a,c)
A_6 = F(A_5) = [a,c] = A_2 ==
obtivemos uma família de cardinalidade 5.
Esse exemplo mostra que se algum A_k for uma reunião de intervalos abertos
cujos fechos não são disjuntos, teremos A_(k+1) = F(A_k) = união de
intervalos fechados disjuntos (cada dois intervalos abertos cujos fechos se
intersectam se fundirão num único intervalo fechado contendo ambos e,
possivelemnte, mais outros intervalos abertos).
A partir desse ponto, o primeiro exemplo mostra que geraremos apenas mais
três conjuntos inéditos - A_(k+2), A_(k+3) e A_(k+4). Teremos
necessariamente A_(k+5) = A_(k+1).
A seguir, partimos de A, uma união de intervalos abertos cujos fechos não
sejam disjuntos e tentamos obter o maior número possível de termos
anteriores a A na sequência.
Por exemplo, quem seria o antecessor de A = (-1,0) união (0,1)?
Como este conjunto é aberto, só pode ter sido obtido como complementar de
algum conjunto B.
Naturalmente, B = (-inf,-1] união {0} união [1,+inf).
B é o fecho de algum C, por exemplo, C = (-inf,-1) união {0} união
(1,+inf).
Finalmente, C é o complementar de D = [-1,0) união (0,1].
Não podemos voltar mais, pois D não é fechado e, portanto, não é fecho de
ninguém. D é o complementar de C, o que não adiciona nenhum conjunto
inédito. Logo, a sequência começa com D. Chamando este D de A_1, teremos:
A_1 = [-1,0) união (0,1]
A_2 = C(A_1) = (-inf,-1) união {0} união (1,+inf).
A_3 = F(A_2) = (-inf,-1] união {0} união [1,+inf)
A_4 = C(A_3) = (-1,0) união (0,1)
A_5 = F(A_4) = [-1,1]
A_6 = C(A_5) = (-inf,-1) união (1,+inf)
A_7 = F(A_6) = (-inf,-1] união [1,+inf)
A_8 = C(A_7) = (-1,1)
A_9 = F(A_8) = [-1,1] = A_5 ==
cardinalidade = 8.
[]s,
Claudio.
De:[EMAIL PROTECTED]
Para:obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data:Sat, 02 Apr 2005 19:10:51 +
Assunto:[obm-l] Problema do Kuratowski
Ola Pessoal,
O problema abaixo e interessante e foi descoberto pelo Kuratowski :
Seja A contido em R ( numeros reais ) um conjunto. Representaremos por
F(A)
o fecho de A e por
C(A) o complemento de A. EXIBA um A tal que a sucessiva aplicacao
composta
de F's e C's fornece a quantidade maxima de conjunto dois a dois
distintos.
SUGESTAO : Como claramente F(F(A)) e C(C(A)) retornan, entao parta de
F(C(A)) e C(F(A)). Use entao A e sua fronteira, fr(A), e mostre que
mesmo
assim as reiteradas aplicacoes retornam, vale dizer, sao periodicas.
Depois
estude os sucessivos tipos topologicos de A.
O problema nao e dificil ( a sugestao acima e baseada na minha ideia )
mas
eu nao consegui encontra uma solucao elegante e sintetica.
Um Abraco a Todos !
Paulo Santa Rita
7,1609,020405
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Chegou o que faltava: MSN Acesso Grátis. Instale Já!
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[obm-l] Problemas de probabilidades
Há dois dias enviei para a lista
três exercícios de probabilidades que atá agora, infelizmente, não mereceram a
atenção de nenhum colega. Apresento a seguir a proposta de solução dos mesmos
para a análise de vocês.
1) Uma moeda equilibrada é lançada
até que, pela primeira vez, o mesmo resultado apareça duas vezes sucessivas.
Descreva o espaço amostral desse experimento e calcule a probabilidade do
seguinte evento:o
experimento terminar antes do sexto lançamento.
Solulção
proposta:
O
espaço amostral é dado por W
= {(k, k), (k, c, c), (k, c, k, k), (k, c, k, c, c),
(k, c, k, c, k), (c, c), (c, k, k), (c, k, c, c), (c, k,
c, k, k), (c, k, c, k, c)}. O número de casos favoráveis (são aqueles que
aparecem sublinhados) é 8. Portanto,a probabilidade pedida é
8/10.
2)
Seis
urnas contêm cada uma 12 bolas entre pretas e brancas. Uma urna contêm 8 bolas
brancas. Duas urnas contêm 6 bolas brancas e três urnas contêm 4 bolas brancas.
Uma urna é selecionada e três bolas são extraídas. Foram obtidas duas bolas
brancas e uma preta. Qual é a probabilidade de que a urna selecionada tenha sido
a que tinha 6 brancas e seis pretas?
Solução
proposta:
Pede-se a probabilidade
de ocorrer a urna II ou a urna III dado que foram obtidas duas bolas brancas e
uma bola preta, ou seja, é o caso de uma probabilidade condicional.
A é o evento obter duas
bolas brancas e uma bola preta:
Na urna I (há
probabilidade de 1/6 de ela ser a escolhida): 1/6 x 6/10 x 5/9 x 4/8 x 3 =
1/12
Na urna II (há
probabilidade de 1/6 de ela ser a escolhida): 1/6 x 6/12 x 5/11 x 6/10 x 3 =
3/44 (o mesmo se dá na urna III)
Na urna IV (há
probabilidade de 1/6 de ela ser a escolhida): 1/6 x 4/12 x 3/11 x 8/10 x 3 =
2/55 (o mesmo se dá nas urnas V e VI).
Portanto: P(A) = 1/12 +
2 x 3/44 + 3 x 2/55 = 217/660
Ainter B é o evento
obter duas bolas brancas e uma bola preta extraídas da urna II ou da urna
III:
Na urna II: 1/6 x 6/12 x
5/11 x 6/10 x 3 = 3/44 (o mesmo se dá na urna III)
Portanto: P(A Ç B) = 2 x
3/44 = 3/22.
Assim, 3/22 :
217/660 = 90/217.
3-
Seis dados são lançados. Qual é a probabilidade de que todos os seis números
aparecerão?
A
probabilidade de ocorrer seqüência (1, 2, 3, 4, 5, 6) é (1/6)6. Como
há 6! formas de organizar a referida seqüência, a probabilidade pedida é
(1/6)6x 6! »
1,5%.
Re: [obm-l] Re: [obm-l] questão de potenciaçao
Oi Brunno Você tem razão, me distraí e fiz o cálculo para 1000 ao invés de 100. A responsta fica 3^n100 o que nos dá n=5. Abraço = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] PROBLEMA DA OBM
Caro Rafael Alfinito Ferreira [EMAIL PROTECTED]: De fato, tirando 4 no primeiro lance, o primeiro jogador deixa um multiplo de 6 (996). A partir de ai, basta, a cada lance em que o adversario tirar n, responder titarndo 6-n. Angelo Barone Netto [EMAIL PROTECTED] = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
