Re: [obm-l] problema do caminhao
Oi Fábio, Na Eureka! tem diversos artigos sobre grafos. Há muitos livros de grafos também, mesmo em português. Eu estudei o Bollobás (Graph Theory - An Introductory Course), que eu, em particular, adora mas acho bastante denso. Também tenho o Diestel (Graph Theory), que é um pouco menos denso. Ambos são em inglês e da Springer-Verlag. Mas devo avisar que os dois são bastante densos e têm foco mais em Matemática Pura do que em Aplicada. Para começar, recomendo ler antes os artigos da Eureka!. Se quiser, uma lista de todos os artigos da Eureka! (dá para fazer download) até a edição 17 está em http://www.obm.org.br/eureka/abstrac.htm []'s Shine --- fabiodjalma [EMAIL PROTECTED] wrote: Shine, infelizmente nunca estudei grafos. Poderia dar uma dica (livro, artigo ou página) onde eu possa compensar essa deficiência? Em (15:06:29), obm-l@mat.puc-rio.br escreveu: Que tal o caminho A-B-G-H-I-J-K-L-C-D-E-A? Veja que ele passa por todas as cidades e ainda pode voltar para A. O que você descreveu na verdade pode ser visualizado como um dodecaedro. Se você estudou teoria dos grafos, pode notar que o problema pede para provar a existência de um caminho (ciclo) hamiltoniano nesse grafo que é cúbico. Se não me engano (pode ser que eu esteja enganado), todo grafo conexo cúbico (todo vértice tem grau 3) admite um ciclo hamiltoniano. []'s Shine --- eritotutor wrote: Boa tarde, Considere um caminhão que abastece as cidades A, B , C, D, E, F, G, H, I, J, K , L. Duas cidades são adjacentes se existe um caminho entre elas. A é adjacente a B, J, E B é adjacente a A, C, G C é adjacente a L, B, D D é adjacente a E, C, H E é adjacente a D, A , F F é adjacente a L, E, G G é adjacente a H, F, B H é adjacente a I, G, D I é adjacente a K, J, H J é adjacente a K, I, A K é adjacente a J, I, L L é adjacente a K,C,F É possível que o caminhão saia da cidade A e percorra todas as cidades uma única vez? Justifique Desde já agradeço []s __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ Discover Yahoo! Find restaurants, movies, travel and more fun for the weekend. Check it out! http://discover.yahoo.com/weekend.html = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- Yahoo! Mail Stay connected, organized, and protected. Take the tour: http://tour.mail.yahoo.com/mailtour.html = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Construcao Geometrica
Sauda,c~oes, Oi Claudio, Ou seja, você quer resolver tb o problema de construir um triângulo dados A, a+b, a+c. A solução é muito legal. Depois mando ela. []'s Luís From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: Lista OBM obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Construcao Geometrica Date: Sun, 15 May 2005 21:12:23 -0300 Dado um triangulo ABC, construa, com regua e compasso, um ponto P no lado AB e um ponto Q no lado AC tais que |BP| = |PQ| = |QC|. []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Mais Isomorfismos
Sr. NIcolau Meu e-mail irá mudar para [EMAIL PROTECTED] . O Sr poderia trocar meu e-mail na lista ? Abraço Marcos Braga. Nicolau C. Saldanha escreveu: On Fri, May 06, 2005 at 04:12:43PM -0300, Claudio Buffara wrote: Uma duvida: o grupo aditivo dos reais eh isomorfo ao grupo aditivo dos complexos? Sim, ambos são Q-espaços vetoriais de mesma dimensão (card(R)). []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- Marcos Augusto Duarte Braga [EMAIL PROTECTED] Rio de janeiro - RJ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Porcentagem e solução
Um médico prescreveu a um paciente soro de 500 ml a 15% de glicose. O enfermeiro possui soro de 500 ml a 10% de glicose e ampolas de 20 ml a 50% de glicose. Quantas ampolas o enfermeiro deve adicionar em sua solução para que esta fique com a mesma proporção da prescrita pelo médico ? Vejamos: 500 ml a 10% de glicose tem 50 ml de glicose e 450 ml de água. 20 ml a 50% de glicose tem 10 ml de glicose e 10 ml de água x = número de ampolas a ser adicionadas 10.x = número de mls de glicose contido nas ampolas = número de mls de água contido nas ampolas. 50 + 10x = número de mls de glicose resultante no soro obtido 450 + 10x = número de mls de água resultante no soro obtido. Agora ésó resolver(50 + 10x)/450+10x = 15/100 5000 + 1000x = 6750 + 150x 850x = 1750 x = 2,05 Resposta: 2 ampolas. Certo ? Bem. eu disse que ia tentar... :) Essa história me lembrou do teste de tolerância a glicose. Beber águacom glicose é realmentemuito ruim. []s
Re: [obm-l] Probleminha dos trancedentes.
Na verdade o polinomio tem que ter coeficientes inteiros, senao dado
qualquer numero complexo qualquer a, ele eh raiz de p(x) = x - a.
Um numero complexo que eh raiz de um polinomio com coeficientes inteiros eh
chamado de numero algebrico. Todos os demais sao transcendentes.
Oi Cláudio. Considere a equação x^2 - sqrt(10)x + 2 =0.
Delta = 10 - 4.1.2 = 2
x_1 = [sqrt(10) + sqrt(2)]/2
Posso dizer que x_1 é transcendente?
Aliás sempre tive essa dúvida.
Certamente o fato dos coeficientes do polinômio serem racionais é o
mesmo que o
os coeficientes do polinômio serem inteiros == tomamos o m.m.c das
frações
e multiplicamos. Mas então o que dizer deste caso que citei? O x_1
parece
ser mais ou menos bem comportado.
Não é um número como e ou número pi que são meio estranhos.
Aliás, alguém sabe dizer se pi^e ou e^e são transcendentes?
Em geral essas provas de transcendencia sao dificeis e usam bastante
analise, uma vez que os numeros transcendentes sao definidos, em geral, por
meio de limites. No caso do pi, em algum ponto de demonstracao entram
senos,
cossenos, derivadas e integrais.
Cláudio, uma vez eu tentei resolver a equação x^x = 5 (que é uma
equação
transcendente).Para isso basta notar que ela é equivalente a:
x ln x = ln 5
x ( soma_{n=1}^{\infty} (-1)^n*x^n/n) = ln x (se não me
engano: preciso
ver a expansão de Taylor para ln x em torno de x = 0) mas de qualquer
modo
a equação tem grau infinito e x não pode ser algébrico. Uma idéia é
inverter a série
de potências para x*ln x. Mas quando tentei fazer isso a coisa ficou
complicadíssima!!
Precisa inverter a série de potências - Vi no livro de Spiegel -
Advanced Calculus -
Schaum Outlineum problema semelhante: A solução era uma série
de potências.
Alguém da lista sabe como Isaac Newton fazia para inverter séries
de potência?
Perguntei isso para um ex-professor meu mas ele não conseguiu
responder.
Sei que existe uma fórmula para produtos de séries de
potência (veja produto de Cauchy em mathword.wolfram.com ). Mas
existe alguma
fórmula para inversão?
Obrigado antecipadamente a todos que ilimarem esta escuridão :)
O que Gauss provou foi o que chamamos hoje de teorema fundamental da
algebra, que diz que todo polinomio com coeficientes complexos possui pelo
menos uma raiz complexa. Usano isso e inducao, voce prova que um polinomio
complexo de grau n tem exatamente n raizes (algums das quais podem ser
repetidas).
Entendi. Um polinômio complexo é um polinômio em que os coeficientes são
números
complexos. É isto não? Preciso dar uma estudada melhor no assunto. O
computador
anda atrofiando meu cérebro... Felizmente não ando de carro. Senão meu
coração estaria
também atrofiado ...
[]s a todos.
Ronaldo L. Alonso
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Probleminha dos trancedentes.
--- Ronaldo Luiz Alonso [EMAIL PROTECTED] escreveu: Na verdade o polinomio tem que ter coeficientes inteiros, senao dado qualquer numero complexo qualquer a, ele eh raiz de p(x) = x - a. Um numero complexo que eh raiz de um polinomio com coeficientes inteiros eh chamado de numero algebrico. Todos os demais sao transcendentes. Oi Cláudio. Considere a equação x^2 - sqrt(10)x + 2 =0. Delta = 10 - 4.1.2 = 2 x_1 = [sqrt(10) + sqrt(2)]/2 Posso dizer que x_1 é transcendente? Aliás sempre tive essa dúvida. Acho que os seguintes calculos, se estiverem certos, mostram que x_1 eh algebrico por ser raiz da equacao x^4 - 6x^2 + 4 = 0 de fato, tem-se: x_1 = (sqrt(10)+sqrt(2))/2 2x_1 = sqrt(10)+sqrt(2) 2x_1 - sqrt(2) = sqrt(10) (2x_1 - sqrt(2))^2 = 10 4(x_1)^2 - 4(x_1)sqrt(2) + 2 = 10 4(x_1)^2 - 8 = 4(x_1)sqrt(2) (x_1)^2 - 2 = (x_1)sqrt(2) ((x_1)^2 - 2)^2 = 2(x_1)^2 (x_1)^4 - 4(x_1)^2 + 4 = 2(x_1)^2 isto eh, x_1 eh raiz de x^4 - 6x^2 + 4 = 0, (soh troquei x_1 por x) logo x_1 eh algebrico. === geocities.yahoo.com.br/mathfire2001 Enciclopedia de Matematica - Aulas Formulas para primos - Grupos de Estudo Projeto Matematica para Todos [EMAIL PROTECTED] === Yahoo! Mail, cada vez melhor: agora com 1GB de espaço grátis! http://mail.yahoo.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Probleminha dos trancedentes.
Em geral essas provas de transcendencia sao dificeis e usam bastante analise, Ou entao vc usa um resultado forte (nao precisa conhecer a demonstracao) e bem conhecido Cláudio, uma vez eu tentei resolver a equação x^x = 5 Numa mensagem de 30 de junho de 2000, Paulo Santa Rita escreveu: Teorema de Gelfond : A^B e trancedente se 1) A e algebrico, diferente de zero e um 2) B e irracional suponha que x^x = 5. Digamos que ja sabemos que x eh irracional. Se x fosse algebrico, por Gelfond 5 seria trancendente, o que eh absurdo. Logo, se x eh irracional, tem que ser transcendente. ...Falei muita bobagem? === geocities.yahoo.com.br/mathfire2001 Enciclopedia de Matematica - Aulas Formulas para primos - Grupos de Estudo Projeto Matematica para Todos [EMAIL PROTECTED] === Yahoo! Mail, cada vez melhor: agora com 1GB de espaço grátis! http://mail.yahoo.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Probleminha dos trancedentes.
De:
[EMAIL PROTECTED]
Para:
obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data:
Mon, 16 May 2005 06:54:03 -0300
Assunto:
Re: [obm-l] Probleminha dos trancedentes.
Na verdade o polinomio tem que ter coeficientes inteiros, senao dado
qualquer numero complexo qualquer a, ele eh raiz de p(x) = x - a.
Um numero complexo que eh raiz de um polinomio com coeficientes inteiros eh
chamado de numero algebrico. Todos os demais sao transcendentes.
Oi Cláudio. Considere a equação x^2 - sqrt(10)x + 2 =0.
Delta = 10 - 4.1.2 = 2
x_1 = [sqrt(10) + sqrt(2)]/2
Posso dizer que x_1 é transcendente?
Não. (raiz(10)+raiz(2))/2 é raiz de x^4 - 6x^2 + 4.
Aliás sempre tive essa dúvida.
Certamente o fato dos coeficientes do polinômio serem racionais é o
mesmo que o
os coeficientes do polinômio serem inteiros == tomamos o m.m.c das
frações
e multiplicamos. Mas então o que dizer deste caso que citei? O x_1
parece
ser mais ou menos "bem comportado".
Não é um número como "e" ou número "pi" que são "meio estranhos".
Aliás, alguém sabe dizer se pi^e ou e^e são transcendentes?
Não estou certo quanto a e^e mas pi^e eu tenho quase certeza deque ninguém sabe.
Em geral essas provas de transcendencia sao dificeis e usam bastante
analise, uma vez que os numeros transcendentes sao definidos, em geral, por
meio de limites. No caso do pi, em algum ponto de demonstracao entram
senos,
cossenos, derivadas e integrais.
Cláudio, uma vez eu tentei resolver a equação x^x = 5 (que é uma
equação
transcendente). Para isso basta notar que ela é equivalente a:
x ln x = ln 5
x ( soma_{n=1}^{\infty} (-1)^n*x^n/n) = ln x (se não me
engano: preciso
ver a expansão de Taylor para ln x em torno de x = 0) mas de qualquer
modo
a equação tem grau infinito e x não pode ser algébrico. Uma idéia é
inverter a série
de potências para x*ln x. Mas quando tentei fazer isso a coisa ficou
complicadíssima!!
Eu acho que só dá pra fazer numericamente. Mas a solução é única, pois a função f: (0,+inf) - R dada por f(x) = x^x é crescente para x = 1/e.
Talvez seja mais eficiente usar o método de Newton:
Ponha x(1) = 2, por exemplo, e defina x(n+1) = x(n) - f(x_n)/f'(x_n).
f(x) = x^x- 5e f'(x) = x^x*(1 + log(x)) ==
x(n+1) = x(n) - (x(n)^x(n) - 5)/(x(n)^x(n)*(1 + log(x(n
Na quinta iteração eu achei 2,1293724828.
Precisa inverter a série de potências - Vi no livro de Spiegel -
Advanced Calculus -
Schaum Outline um problema semelhante: A solução era uma série
de potências.
Alguém da lista sabe como Isaac Newton fazia para inverter séries
de potência?
Eu acho que o negócio é fazer no braço mesmo, ou seja, dada a série SOMA a_k*x^k com a_0 0, a inversa é SOMA b_k*x^k e é tal que:
(b_0 + b_1*x + b_2*x^2 + ... )*(a_0 + a_1*x + a_2*x^2 + ... ) = 1
Isso resulta no sistema linear infinito:
a_0*b_0 = 1
a_0*b_1 +a_1*b_0 = 0
a_0*b_2 + a_1*b_1 + a_2*b_0 = 0
...
e daí você obtendo os b_k por recorrência.
Perguntei isso para um ex-professor meu mas ele não conseguiu
responder.
Sei que existe uma fórmula para produtos de séries de
potência (veja "produto de Cauchy" em mathword.wolfram.com ). Mas
existe alguma
fórmula para inversão?
Obrigado antecipadamente a todos que "ilimarem esta escuridão" :)
O que Gauss provou foi o que chamamos hoje de teorema fundamental da
algebra, que diz que todo polinomio com coeficientes complexos possui pelo
menos uma raiz complexa. Usano isso e inducao, voce prova que um polinomio
complexo de grau n tem exatamente n raizes (algums das quais podem ser
repetidas).
Entendi. Um polinômio complexo é um polinômio em que os coeficientes são
números
complexos. É isto não?
Sim.
Preciso dar uma estudada melhor no assunto. O
computador
anda atrofiando meu cérebro... Felizmente não ando de carro. Senão meu
coração estaria
também atrofiado ...
[]s,
Claudio.
[obm-l] Angulos adventicios (era: Geometria Plana)
On Tue, May 10, 2005 at 02:11:08AM -0300, Paulo Cesar wrote: Eis uma questão que já me deu alguma dor de cabeça: Seja ABC um triângulo isósceles com AB=AC e ângulo BAC valendo 12º. Traça-se de B a bissetriz BD, D em AC, e traça-se de C a ceviana CE, E em AB, de modo que o ângulo ECB seja 30º. Determine o ângulo BDE. É possível dar uma solução puramente geométrica (só com geometria da 8a série) para este problema, mas é bastante difícil. A solução abaixo não é minha, é transcrita de Last words on adventitious angles, Mathematical Gazette, 62, pp 174-183, 1978 e é devida a Mr C. F. Parry de Burghfield Common, Berkshire. O artigo deve ser lido junto com Adventitious angles, Colin Tripp, Mathematical Gazette, 59, pp 98-106, 1975 e The adventitious angles problem: a progress report, Mathematical Gazette, 61, pp 55-58, 1977. Todos eles tratam de variaçoes deste problema mudando apenas os valores dos ângulos (aqui 12, 42 e 30). Seja X o ponto de interseção de BD e CE. Temos XCD = XDC = 54 graus, assim XC = XD. Trace perpendiculares XY e XZ a BC e BE, resp. Sejam P e Q os pontos médios de XC e XD, resp. Seja R a interseção de XE e QZ. O círculo XYC tem centro P donde XQ = XP = XY = XZ e portanto XQZ é isósceles. Como BXZ = 48 temos XQZ = XZQ = 24. Mas EXZ = 24, donde RXZ é isósceles e, como EZX é reto, R é o centro do círculo EXZ. Assim R é o ponto médio de EX e portanto DE é paralela a QZ e BDE = XQZ = 24. []s, N. attachment: advent.png
[obm-l] gráfico
Queria alguma sugestão de algum programa que construa gráficos e os respectivos sites em q posso consegui-lo. Eu possuia o Mathematica, mas troquei o computador e perdi. ObrigadoMSN Busca: fácil, rápido, direto ao ponto. Encontre o que você quiser. Clique aqui. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] gráfico
O Maple é um excelente software, é até mais dinâmico que o Mathematica. []`s --- Guilherme Neves [EMAIL PROTECTED] escreveu: - Queria alguma sugestão de algum programa que construa gráficos e os respectivos sites em q posso consegui-lo. Eu possuia o Mathematica, mas troquei o computador e perdi. Obrigado - MSN Busca: fácil, rápido, direto ao ponto. Encontre o que você quiser. Clique aqui. =Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= __ Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
