>Na verdade o polinomio tem que ter coeficientes inteiros, senao dado
>qualquer numero complexo qualquer a, ele eh raiz de p(x) = x - a.
>Um numero complexo que eh raiz de um polinomio com coeficientes inteiros eh
>chamado de numero algebrico. Todos os demais sao transcendentes.
Oi Cl�udio. Considere a equa��o x^2 - sqrt(10)x + 2 =0.
Delta = 10 - 4.1.2 = 2
x_1 = [sqrt(10) + sqrt(2)]/2
Posso dizer que x_1 � transcendente?
Ali�s sempre tive essa d�vida.
Certamente o fato dos coeficientes do polin�mio serem racionais � o
mesmo que o
os coeficientes do polin�mio serem inteiros ==> tomamos o m.m.c das
fra��es
e multiplicamos. Mas ent�o o que dizer deste caso que citei? O x_1
parece
ser mais ou menos "bem comportado".
N�o � um n�mero como "e" ou n�mero "pi" que s�o "meio estranhos".
Ali�s, algu�m sabe dizer se pi^e ou e^e s�o transcendentes?
>Em geral essas provas de transcendencia sao dificeis e usam bastante
>analise, uma vez que os numeros transcendentes sao definidos, em geral, por
>meio de limites. No caso do pi, em algum ponto de demonstracao entram
senos,
>cossenos, derivadas e integrais.
Cl�udio, uma vez eu tentei resolver a equa��o x^x = 5 (que � uma
equa��o
transcendente). Para isso basta notar que ela � equivalente a:
x ln x = ln 5
x ( soma_{n=1}^{\infty} (-1)^n*x^n/n) = ln x (se n�o me
engano: preciso
ver a expans�o de Taylor para ln x em torno de x = 0) mas de qualquer
modo
a equa��o tem grau infinito e x n�o pode ser alg�brico. Uma id�ia �
inverter a s�rie
de pot�ncias para x*ln x. Mas quando tentei fazer isso a coisa ficou
complicad�ssima!!
Precisa inverter a s�rie de pot�ncias - Vi no livro de Spiegel -
Advanced Calculus -
Schaum Outline um problema semelhante: A solu��o era uma s�rie
de pot�ncias.
Algu�m da lista sabe como Isaac Newton fazia para inverter s�ries
de pot�ncia?
Perguntei isso para um ex-professor meu mas ele n�o conseguiu
responder.
Sei que existe uma f�rmula para produtos de s�ries de
pot�ncia (veja "produto de Cauchy" em mathword.wolfram.com ). Mas
existe alguma
f�rmula para invers�o?
Obrigado antecipadamente a todos que "ilimarem esta escurid�o" :)
>O que Gauss provou foi o que chamamos hoje de teorema fundamental da
>algebra, que diz que todo polinomio com coeficientes complexos possui pelo
>menos uma raiz complexa. Usano isso e inducao, voce prova que um polinomio
>complexo de grau n tem exatamente n raizes (algums das quais podem ser
>repetidas).
Entendi. Um polin�mio complexo � um polin�mio em que os coeficientes s�o
n�meros
complexos. � isto n�o? Preciso dar uma estudada melhor no assunto. O
computador
anda atrofiando meu c�rebro... Felizmente n�o ando de carro. Sen�o meu
cora��o estaria
tamb�m atrofiado ...
[]s a todos.
Ronaldo L. Alonso
=========================================================================
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================
