RES: [obm-l] Valor intermeio
Aqui vale alguns comentários: 1) o centro de uma circunferência que passa por A e B está na mediatriz de A e B. Além disso, o raio dela é sempre maior ou igual a r_0 onde r_0 = d(A,B)/2. Desse modo o argumento de ir diminuindo o número de pontos dentro da circunferência me parece um pouco simplificado. Porém a idéia central está correta. Deve-se pensar que existe um caminho contínuo de circunferências (basta escolher um caminho de centros sobre a mediatriz) de forma que no início todos os pontos estão dentro dela e no final nenhum ponto está. Daí pode-se concluir que em algum instante no meio do caminho tem-se uma circunferência que contém apenas n pontos. E a construção desse caminho não é complicada. 2) Deve-se assumir também que não há 3 pontos colineares, que é usado no início demonstração. Um abraço. Pedro. De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br] Em nome de claudio.buffara Enviada em: Sunday, July 10, 2005 2:13 PM Para: obm-l Assunto: Re:[obm-l] Valor intermeio De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Sun, 10 Jul 2005 12:41:57 +0200 Assunto: [obm-l] Valor intermeio 3- Dado um conjunto de 2n+3 pontos no plano de modo que não existam 4 que pertençam a mesma circunferencia, demostrar que existe uma circunferencia que passa por 3 deles e deixa n pontos no seu interior. Trace a reta por 2 pontos (digamos, A e B) tais que todos os outros estejam num unico semi-plano determinado por ela. Esta reta pode ser interpretada como uma circunferencia de raio infinito. Em outras palavras, existe um numero positivo R_0 tal que se R R_0, entao existe uma circunferencia de raio R, passando por A e B, e tal que todos os demais 2n+1 pontos estao em seu interior. Comece a reduzir o raio desta circunferencia. Segundo o enunciado, para cada valor do raio, a circunferencia irah passar por, no maximo, um dos outros 2n+1 pontos. Assim, quandoa circunferencia passar por um dos pontos e contiver exatamente n pontos no seu interior, pare. Esta serah a circunferencia desejada. []s, Claudio.
Re: RES: [obm-l] Medida
Eh sim, mas na realidade o enunciado do problema
estava mesmo correto. Se A tem medida nula, entao para
qualquer B, A X B tem medida nula, mesmo que B nmao
seja mensuravel. Eh o caso da sigma-algebra completa.
Abracos
Artur
--- Bernardo Freitas Paulo da Costa
[EMAIL PROTECTED] wrote:
Bom, o que o Artur esta falando é que você NAO PODE
definir uma funçao
medida para todos os subconjuntos de R (portanto
pode esquecer R^n),
pois existe um jeito (utilizando o Axioma da
Escolha) de construir um
conjunto que nao pode ter medida zero nem positiva.
A idéia principal
é fazer uma decomposiç~ao enumerável de [0, 1] em
conjuntos que tem
que ter a mesma medida. Para criar esta
decomposiç~ao, você utiliza o
Axioma da Escolha e em seguida você tira um absurdo
disto.
Mas acho que, realmente, o seu resultado prova uma
coisa bem legal, e
lembra-me de sigma-álgebras completas (ou seja,
aquelas para as quais
X tem medida nula = todo Y contido em X está na
sigma-álgebra e
também - por estar contido em X, nao poderia ser
diferente - tem
medida nula). Assim, como o Artur ou você provaram,
A x R^m tem medida
nula. Ora, para todo B contido em R^m, temos A x B
contido em A x R^m,
e (do fato que existe uma sigma-álgebra completa que
contém os abertos
de R^k para todo k) A x B é mensurável e tem medida
zero. Esta
demonstraçao está contida na que você deu (bastando
notar que B está
contido em alguma uniao enumerável dos Q_i).
Abraços,
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa
On 7/6/05, Tertuliano [EMAIL PROTECTED] wrote:
Oi Artur,
Consegui fazer algo parecido, embora mais
elementar,
pois nao conheco muita coisa deste assunto: para
cada
ponto do Rn com coordenadas racionais tomei um
cubo
unitario com centro neste ponto. Fixemo s um
destes
cubos, digamos Q_i. Como A tem medida nula, nao eh
dificil concluir q AxQ_i tb possui medida nula. De
resto, basta ver q AxRn eh a uniao enumeravel dos
AxQ_i. Segue q AxRn possui medida nula.
PS.: nao entendi porque o resultado nao eh valido
para
qq subconjunto de Rn.
Tertuliano
--- Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED]
escreveu:
Na realidade, esta demonstracao poderia ser um
pouquinho mais simples do que
a que eu dei. Nao era preciso aquela passagem de
paralelepipedos abertos e
limitados para conjuntos genericos limitados,
poderiamos ter invocado
diretamente a sigma-subaditividade da medida.
Antes
de apresentar a prova,
uma observacao de um fato sutil que me passou
desapercebido. O enunciado
deveria dizer que B eh um conjunto qualquer
MENSURAVEL de R^n, pois nem todo
subconjunto R^n eh mensuravel (mesmo com a
medida de
Lebesgue). No caso, B
teria que pertencer aa sigma-algebra de Borel,
gerada pelos conjuntos
abertos de R^n
A prova poderia ser assim:
Suponhamos inicialmente que B=P, sendo P um
paralelepipedo limitado e aberto
de R^n de hipervolume
V (V eh a medida de P). Como A tem medida nula,
para
todo eps0 podemos
cobri-lo com uma colecao enumeravel {P_k}de
paralelepipedos abertos e limitados de R^m, cada
um
com hipervolume V_k, tal
que Soma(k1)V_k eps/V. Temos
entao que {P_k X P} eh uma cobertura enumeravel
de A
X P por paralelepipedos
abertos de R^(m+n). O
hipervolume total desta colecao eh Soma(k=1)V_k
* V
= V * Soma(k=1)V_k
V * eps/V = eps. Como eps eh
arbitrario, concluimos que A X P tem medida nula
em
R^(m+n).
O conjunto R^n pode ser dado pela uniao de uma
colecao enumeravel (nao
precisa ser disjunta 2 a 2) {Q_k} de
paralelepipedos
abertos de hipervolume
1. Entao, {A X Q^_k} eh uma cobertura enumeravel
(nao necessariamente
disjunta 2 a 2) de A X R^n. Como A tem medida
nula e
cada Q_k eh um
paralelepipedo aberto e limitado, a conclusao
anterior nos mostra que cada A
X Q_k tem medida nula. Invocando-se agora a
sigma-sub-aditividade da medida,
concluimos que A X R^n tem medida nula. E
valendo
esta conclusao para o caso
B = R^n, segue-se que vale automaticamente para
qualquer subconjunto
MENSURAVEL B de R^n, pois A X B estah contido em
A X
R^n e subconjuntos
mensuraveis de conjuntos nulos sao nulos.
A sigma-sub-aditividade da medida eh a
propriedade
segundo a qual se {A_n}
eh qualquer colecao enumeravel de conjuntos
mensuraveis e A eh a uniao desta
colecao, entao u(A) = Soma(n=1) u(A_n),
entendendo-se esta desigualdade no
sistema dos reais expandidos. Se a colecao for
disjunta 2 a 2, ocorre
igualdade.
Artur
--- Tertuliano [EMAIL PROTECTED] wrote:
Oi para todos!
Alguem pode me ajudar neste?
Seja A em Rn um conjunto de medida nula e B em
Rm
um
conjunto qualquer. Entao AxB tem medida nula.
Grato,
Tertuliano
__
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RES: [obm-l] Uma desigualdade legal!
Bom, se vc jah estudou um pouco de otimizacao (programacao nao-linear, neste caso) sabe que, para x fixo e vendo-se a a expressao como funcao de a, b e c, entao a simetria da funcao acarreta que o minimo global ocorra quando a= b =c. Verificamos facilmente que neste caso cada uma das parcelas eh 1, de modo que a soma minima eh 3. Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Marcos Martinelli Enviada em: domingo, 10 de julho de 2005 16:23 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Uma desigualdade legal! Boa tarde pessoal. Precisco de ajuda nessa desigualdade. Lá vai: Dados a,b,c,x reais positivos provar que: [a^(x+2)+1]/[a^(x)*b*c+1]+[b^(x+2)+1]/[b^(x)*a*c+1]+[c^(x+2)+1]/[c^(x)*b*a+1 ]=3. Tentei resolver através da desigualdade de Jensen, considerando a seguinte função f(u)=[u^(x+2)+1]/[k*u^(x-1)+1], onde k=a*b*c. Assumindo que a segunda derivada dessa função é positiva a desigualdade acima é imediata. Meu problema foi demonstrar que essa segunda derivada é sempre positiva para qualquer u positivo e x positivo. Tentei derivar implicitamente mas as contas crescem muito. Gostaria da ajuda de vocês e, quem sabe, até uma outra solução pro problema. Obrigado! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Indicação Livro
alguem pode me indicar algum livro a nível de ensino médio para física e matemática, que tenha um bom conteudo, que não seja muito resumido. Valew!! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Quest. de Função - URGENTE, me ajudem
por favor me ajudem a fazer essa questao: Alguem aí ve uma saída pra mim? Questao: é dada uma função: (0,+infinito)- R tal que i) xy = f(x) f(y) ii) f[(2xy)/(x+y)] = [f(x)+f(y)]/2 Prove q existe c0 tal que f(c) 0 --- obs: eu consegui chegar que f( (x+y)/2)= [f(x)+f(y)]/2 para todo x,y 0 , será q ajuda em alguma coisa? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Quest. de Função - URGENTE, por favor ajudem
Alguem aí ve uma saída pra mim? Questao: é dada uma função: (0,+infinito)- R tal que i) xy = f(x) f(y) ii) f[(2xy)/(x+y)] = [f(x)+f(y)]/2 Prove q existe c0 tal que f(c) 0 --- obs: eu consegui chegar que f( (x+y)/2)= [f(x)+f(y)]/2 para todo x,y 0 , será q ajuda em alguma coisa? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Quest. de Fun��o - URGENTE, por favor ajudem
Oi Caio,
Primeiro, observe que (2xy)/(x+y) =
1/{[(1/x)+(1/y)]/2}. Escrevendo a condição ii como
f(1/{[(1/x)+(1/y)]/2}) = [f(1/(1/x)) + f(1/(1/y))]/2
e fazendo a substituição a=1/x e b=1/y, temos
f(1/[(a+b)/2]) = [f(1/a) + f(1/b)]/2. Deste modo,
parece interessante considerar a função g(x) = f(1/x).
A condição i fica x y = f(x) f(y) = g(1/x)
g(1/y). Assim, como x y = 1/x 1/y, substituindo
a = 1/x e b = 1/y, obtemos a b = g(a) g(b), ou
seja, g é decrescente.
A condição ii fica g([a+b]/2) = [g(a) + g(b)]/2. a,
[a+b]/2, b é uma PG de três termos, então parece
interessante pensar em a = n-1 e b = n+1. De fato,
substituindo obtemos
g(n) = [g(n-1) + g(n+1)]/2
= g(n) - g(n+1) = g(n-1) - g(n)
Podemos aplicar essa desigualdade para n =
2,3,...,k-1. Como g é decrescente, g(1) - g(2) 0.
Seja então d = g(1) - g(2).
g(1) - g(2) = d
g(2) - g(3) = g(1) - g(2) = d
g(3) - g(4) = g(2) - g(3) = d
g(4) - g(5) = g(3) - g(4) = d
...
g(k-1) - g(k) = g(k-2) - g(k-1) = d
Somando respectivamente os extremos esquerdo e direito
das desigualdades acima, obtemos
g(1) - g(k) = (k-1)d = g(k) = g(1) - (k-1)d
Mas essa desigualdade vale para todo k inteiro
positivo. Em particular, existe k tal que (k-1)d
g(1), já que d é positivo. Logo, para esse valor de k
temos g(k) 0.
Espero que tenha ajudado.
Aliás, as resoluções de todas as OBMs desde 1998 até
2003 podem ser encontradas em diversas edições da
revista Eureka! (se não me engano, 4, 7, 10, 13, 16,
19, respectivamente, mas não tenho certeza). As
resoluções são, em geral, dos próprios alunos. Vale a
pena ver!
No site da OBM, você pode encontrar as Eureka!s para
download:
http://www.obm.org.br/
e vá no link Revista Eureka!.
Outro lugar muito bom para encontrar várias provas de
olimpíadas (incluindo a OBM, mas tudo em inglês) é o
site do John Scholes:
http://www.kalva.demon.co.uk/
É claro que nos links do site da OBM tem várias outras
referências de sites muito boas; vale a pena conferir!
[]'s
Shine
--- [EMAIL PROTECTED] wrote:
Alguem aí ve uma saída pra mim?
Questao:
é dada uma função: (0,+infinito)- R
tal que
i) xy = f(x) f(y)
ii) f[(2xy)/(x+y)] = [f(x)+f(y)]/2
Prove q existe c0 tal que f(c) 0
---
obs: eu consegui chegar que
f( (x+y)/2)= [f(x)+f(y)]/2 para todo x,y 0 , será
q ajuda em alguma coisa?
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e
usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
__
Yahoo! Mail for Mobile
Take Yahoo! Mail with you! Check email on your mobile phone.
http://mobile.yahoo.com/learn/mail
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Indicação Livro
Matemática: A Matemática do Ensino Médio Volumes 1,2 e 3. Física: Os Fundamentos da Física ou Tópicos da Física ou, para os mais loucos, Física Halliday (não sei se escrevi corretamente esse nome). Abraço Paulo Cesar = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Mais uma de funções
Olá Acabo de ler a mensagem do Caio e a resposta do Shine na mensagem com assunto Quest. de Função - URGENTE, por favor ajudem, o que me lembrou uma questão (ao meu ver, mais simples que aquela) com a qual eu brincava há um tempo. Desculpem, mas não tenho o enunciado preciso. Eis a questão: A função f: R - R possui as seguintes propriedades: (i) x y == f(y) f(x) (ii) f([x+y]/2) [f(x) + f(y)]/2, para todo x != y Mostre que existe c tal que f(c) 0. Resolvi a questão por 2 métodos diferentes (não vou postá-los, pelos menos por enquanto, para quem quiser tentar), mas ainda não me senti satisfeito. Intuitivamente eu imagino que f seja contínua tenha concavidade para baixo, i.e., o gráfico de f está abaixo de qualquer reta tangente ao gráfico. Pensei então em tentar provar isso, mostrando a continuidade de f, a derivabilidade de f até 2a. ordem e então mostrar que a derivada 2a. é negativa. Como alguns podem estar pensando, esse método para a resolução, se é que é possível, é muito trabalhoso e complicado... e daí?? :-) Bom, se alguém puder me dizer se é possível seguir esse caminho e me fornecer dicas de como fazê-lo, ou então mostrar que não é possível resolver dessa forma (seja lá pelo motivo que for, i.e., f não necessariamente é contínua, ou derivável, ou etc.), ficarei grato! Abraço Bruno -- Bruno França dos Reisemail: bfreis - gmail.comgpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key icq: 12626000e^(pi*i)+1=0
[obm-l] Re: [obm-l] Quest. de Funïïo - URGENTE, por favor ajudem
Shine, muito obrigado mesmo
um grande abraço ae
Caio
''-- Mensagem Original --
''Date: Mon, 11 Jul 2005 15:20:06 -0700 (PDT)
''From: Carlos Yuzo Shine [EMAIL PROTECTED]
''Subject: Re: [obm-l] Quest. de Função - URGENTE, por favor ajudem
''To: obm-l@mat.puc-rio.br
''Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
''
''
''Oi Caio,
''
''Primeiro, observe que (2xy)/(x+y) =
''1/{[(1/x)+(1/y)]/2}. Escrevendo a condição ii como
''f(1/{[(1/x)+(1/y)]/2}) = [f(1/(1/x)) + f(1/(1/y))]/2
''e fazendo a substituição a=1/x e b=1/y, temos
''f(1/[(a+b)/2]) = [f(1/a) + f(1/b)]/2. Deste modo,
''parece interessante considerar a função g(x) = f(1/x).
''
''A condição i fica x y = f(x) f(y) = g(1/x)
''g(1/y). Assim, como x y = 1/x 1/y, substituindo
''a = 1/x e b = 1/y, obtemos a b = g(a) g(b), ou
''seja, g é decrescente.
''
''A condição ii fica g([a+b]/2) = [g(a) + g(b)]/2. a,
''[a+b]/2, b é uma PG de três termos, então parece
''interessante pensar em a = n-1 e b = n+1. De fato,
''substituindo obtemos
''g(n) = [g(n-1) + g(n+1)]/2
''= g(n) - g(n+1) = g(n-1) - g(n)
''
''Podemos aplicar essa desigualdade para n =
''2,3,...,k-1. Como g é decrescente, g(1) - g(2) 0.
''Seja então d = g(1) - g(2).
'' g(1) - g(2) = d
'' g(2) - g(3) = g(1) - g(2) = d
'' g(3) - g(4) = g(2) - g(3) = d
'' g(4) - g(5) = g(3) - g(4) = d
'' ...
'' g(k-1) - g(k) = g(k-2) - g(k-1) = d
''
''Somando respectivamente os extremos esquerdo e direito
''das desigualdades acima, obtemos
'' g(1) - g(k) = (k-1)d = g(k) = g(1) - (k-1)d
''
''Mas essa desigualdade vale para todo k inteiro
''positivo. Em particular, existe k tal que (k-1)d
''g(1), já que d é positivo. Logo, para esse valor de k
''temos g(k) 0.
''
''Espero que tenha ajudado.
''
''Aliás, as resoluções de todas as OBMs desde 1998 até
''2003 podem ser encontradas em diversas edições da
''revista Eureka! (se não me engano, 4, 7, 10, 13, 16,
''19, respectivamente, mas não tenho certeza). As
''resoluções são, em geral, dos próprios alunos. Vale a
''pena ver!
''
''No site da OBM, você pode encontrar as Eureka!s para
''download:
'' http://www.obm.org.br/
''e vá no link Revista Eureka!.
''
''Outro lugar muito bom para encontrar várias provas de
''olimpíadas (incluindo a OBM, mas tudo em inglês) é o
''site do John Scholes:
'' http://www.kalva.demon.co.uk/
''
''É claro que nos links do site da OBM tem várias outras
''referências de sites muito boas; vale a pena conferir!
''
''[]'s
''Shine
''
''--- [EMAIL PROTECTED] wrote:
''
'' Alguem aí ve uma saída pra mim?
''
'' Questao:
'' é dada uma função: (0,+infinito)- R
'' tal que
''
'' i) xy = f(x) f(y)
''
'' ii) f[(2xy)/(x+y)] = [f(x)+f(y)]/2
''
''
'' Prove q existe c0 tal que f(c) 0
''
''
'' ---
'' obs: eu consegui chegar que
'' f( (x+y)/2)= [f(x)+f(y)]/2 para todo x,y 0 , será
'' q ajuda em alguma coisa?
''
''
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''=
'' Instruções para entrar na lista, sair da lista e
'' usar a lista em
'' http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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''Yahoo! Mail for Mobile
''Take Yahoo! Mail with you! Check email on your mobile phone.
''http://mobile.yahoo.com/learn/mail
''=
''Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
''http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
''=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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