[obm-l] naturais
Bom dia! Recentemente me deparei com o seguinte problema, bastante curioso: "Mostre que se a, b e c são números naturais não divisíveis por 3, então a^2 + b^2 + c^2 é divisível por 3." Pensei em equacionar um natural não divisivel por tres como 3n+1 ou 3n+2, sendo n natural também. Ora, mas como ser abrangente a todos os casos de não divisibilidade por três? Grande abraço a todos, Renato
RE: [obm-l] naturais
Ola Renato e demais colegas desta lista ... OBM-L, ( NAO USAREI ACENTOS ) Voce percebeu bem. Como ser suficientemente geral ? Da forma como voce fez ... OBS : == significa e congruente a a = 3N+1, N natural = a == 1 (mod 3 ) = a^2 == 1^2 (mod 3) b = 3N+1, N natural = b == 1 (mod 3) = b^2 == 1^2 (mod 3) c = 3N+1, N natural = c == 1(mod 3) = c^2 == 1^2 (mod 3) a^2 + b^2 + c^2 == 3(mod3) = a^2+b^2+c^2 e divisivel por 3 Mesmo raciocinio para o caso 3N+2. Um Abraco Paulo Santa Rita 5,0930,250805 From: Renato G Bettiol [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] naturais Date: Thu, 25 Aug 2005 09:13:32 -0300 Bom dia! Recentemente me deparei com o seguinte problema, bastante curioso: Mostre que se a, b e c são números naturais não divisíveis por 3, então a^2 + b^2 + c^2 é divisível por 3. Pensei em equacionar um natural não divisivel por tres como 3n+1 ou 3n+2, sendo n natural também. Ora, mas como ser abrangente a todos os casos de não divisibilidade por três? Grande abraço a todos, Renato _ Chegou o que faltava: MSN Acesso Grátis. Instale Já! http://www.msn.com.br/discador = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] livro do morgado (OFF)
Aguinaldo, Infelizmente este mês estou meio desprevenido. No mes que vem poderia dar alguma ajuda. Abraço, Anderson At 15:22 22/8/2005, aguinaldo goncalves jr wrote: Pessoal, Será que alguém poderia me ajudar Tenho interesse em adquirir o livro de álgebra do Morgado (segundo grau) volume II Grato Aguinaldo Yahoo! Acesso Grátis: Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! No virus found in this incoming message. Checked by AVG Anti-Virus. Version: 7.0.338 / Virus Database: 267.10.12/75 - Release Date: 17/8/2005 Internal Virus Database is out-of-date. Checked by AVG Anti-Virus. Version: 7.0.338 / Virus Database: 267.10.12/75 - Release Date: 17/8/2005
Re: [obm-l] cos(2*pi/17)
On Thu, Aug 25, 2005 at 01:19:04AM -0300, Jefferson Franca wrote: Nem vou perguntar de onde tirou essa idéia, mas valeu pela solução. Em um curso de álgebra que cubra teoria de Galois este tipo de coisa é explicada com mais contexto. Eu dei um esboço rápido e elementar. Aliás, todos estes prove que são braçais. Para isso, tome a = cos(2*pi/17) + i sen(2*pi/17) de tal forma que xk = a^k + a^(17-k). Expanda tudo em termos de a, use o fato que 1+a+a^2+...+a^16 = 0, faça muitas contas com polinômios com coeficientes inteiros e tudo segue. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] cos(2*pi/17)
Bem, se eu nao me engano foi mais ou menos esta a ideia de Gauss. --- Jefferson Franca [EMAIL PROTECTED] escreveu: Nem vou perguntar de onde tirou essa idéia, mas valeu pela solução. Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] escreveu:On Mon, Aug 22, 2005 at 01:26:34PM -0300, Jefferson Franca wrote: Como posso calcular o cosseno de 2pi/17 ? Vou dar só um esboço e a resposta. Defina x1, x2, ..., x8 como xk = 2*cos(2*k*pi/17). Prove que w1=x1+x2+x4+x8 e w2=x3+x5+x6+x7 são as raízes de w^2+w-4, donde w1 = (-1+sqrt(17))/2, w2 = (-1-sqrt(17))/2. Sejam z1=x1+x4 e z2=x2+x8. Prove que z1*z2 = -1. Como z1+z2=w1, conclua que z1 = (-1+sqrt(17)+sqrt(34-2*sqrt(17)))/4, z2 = (-1+sqrt(17)-sqrt(34-2*sqrt(17)))/4. Sejam y1=x1*x4, y2=x2*x8, y3=x3*x5, y4=x6*x7. Prove que y1*y2=-1. Sejam u1=y1+y2, u2=y3+y4. Prove que u1 e u2 são raízes de u^2+u-4 donde u1=w2, u2=w1. Conclua que y1 e y2 são raízes de y^2 - u1*y - 1, donde y1 = (-1-sqrt(17)+sqrt(34+2*sqrt(17)))/4, y2 = (-1-sqrt(17)-sqrt(34+2*sqrt(17)))/4. Como conhecemos os valores de z1=x1+x4 e y1=x1*x4, fica fácil obter x1. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = - Yahoo! Acesso Grátis: Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! ___ Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! http://br.acesso.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] naturais
Cuidado: nada obriga a == b == c (usando a sua notaç~ao para congruência) módulo 3. Eu acho que (para n~ao ter que fazer as 2^3 contas) dá pra fazer assim: Se x == 1 (mod 3), x^2 == 1 (mod 3). Se x == 2 == -1 (mod 3), x^2 == 1 (mod 3). Daí, se x !== 0 (mod 3) , ou seja, x n~ao é múltiplo de 3, temos x == 1 ou x == -1, ent~ao x^2 == 1 das duas formas. Daí, a^2 == 1, e o mesmo vale para b^2 e c^2. Daí, temos 1 + 1 + 1 == 0 e a^2 + b^2 + c^2 == 0. Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa On 8/25/05, Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] wrote: Ola Renato e demais colegas desta lista ... OBM-L, ( NAO USAREI ACENTOS ) Voce percebeu bem. Como ser suficientemente geral ? Da forma como voce fez ... OBS : == significa e congruente a a = 3N+1, N natural = a == 1 (mod 3 ) = a^2 == 1^2 (mod 3) b = 3N+1, N natural = b == 1 (mod 3) = b^2 == 1^2 (mod 3) c = 3N+1, N natural = c == 1(mod 3) = c^2 == 1^2 (mod 3) a^2 + b^2 + c^2 == 3(mod3) = a^2+b^2+c^2 e divisivel por 3 Mesmo raciocinio para o caso 3N+2. Um Abraco Paulo Santa Rita 5,0930,250805 From: Renato G Bettiol [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] naturais Date: Thu, 25 Aug 2005 09:13:32 -0300 Bom dia! Recentemente me deparei com o seguinte problema, bastante curioso: Mostre que se a, b e c são números naturais não divisíveis por 3, então a^2 + b^2 + c^2 é divisível por 3. Pensei em equacionar um natural não divisivel por tres como 3n+1 ou 3n+2, sendo n natural também. Ora, mas como ser abrangente a todos os casos de não divisibilidade por três? Grande abraço a todos, Renato _ Chegou o que faltava: MSN Acesso Grátis. Instale Já! http://www.msn.com.br/discador = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] naturais
Simples! Teste para as possiveis ternas de naturais nao multiplas de 3. Melhor ainda: se n nao e multiplo de 3 entao (n^2-1) e multiplo de 3. Uma demo: (n+1)n(n-1) e multiplo de 3, pois sao 3 naturais consecutivos, e nao tem como nenhum deles nao ser um multiplo de 3 Pela hipotese nos sabemos que esse cara nao e n. Entao (n+1)(n-1) e multiplo de 3. Agora e so ver que (a^2-1) + (b^2-1) + (c^2-1) + 3 e multiplo de 3 pois cada parcela e multipla de 3. --- Renato G Bettiol [EMAIL PROTECTED] escreveu: Bom dia! Recentemente me deparei com o seguinte problema, bastante curioso: Mostre que se a, b e c são números naturais não divisíveis por 3, então a^2 + b^2 + c^2 é divisível por 3. Pensei em equacionar um natural não divisivel por tres como 3n+1 ou 3n+2, sendo n natural também. Ora, mas como ser abrangente a todos os casos de não divisibilidade por três? Grande abraço a todos, Renato ___ Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! http://br.acesso.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] naturais
Bem, diga-se de passagem isto e equivalente a testar para as trincas de naturais abaixo: (1,1,1) (1,1,2) (1,2,2) (2,2,2) E e porrada! --- Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] escreveu: Ola Renato e demais colegas desta lista ... OBM-L, ( NAO USAREI ACENTOS ) Voce percebeu bem. Como ser suficientemente geral ? Da forma como voce fez ... OBS : == significa e congruente a a = 3N+1, N natural = a == 1 (mod 3 ) = a^2 == 1^2 (mod 3) b = 3N+1, N natural = b == 1 (mod 3) = b^2 == 1^2 (mod 3) c = 3N+1, N natural = c == 1(mod 3) = c^2 == 1^2 (mod 3) a^2 + b^2 + c^2 == 3(mod3) = a^2+b^2+c^2 e divisivel por 3 Mesmo raciocinio para o caso 3N+2. Um Abraco Paulo Santa Rita 5,0930,250805 From: Renato G Bettiol [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] naturais Date: Thu, 25 Aug 2005 09:13:32 -0300 Bom dia! Recentemente me deparei com o seguinte problema, bastante curioso: Mostre que se a, b e c são números naturais não divisíveis por 3, então a^2 + b^2 + c^2 é divisível por 3. Pensei em equacionar um natural não divisivel por tres como 3n+1 ou 3n+2, sendo n natural também. Ora, mas como ser abrangente a todos os casos de não divisibilidade por três? Grande abraço a todos, Renato _ Chegou o que faltava: MSN Acesso Grátis. Instale Já! http://www.msn.com.br/discador = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = ___ Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! http://br.acesso.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] cos(2*pi/17)
Ola Carissimo Prof Nicolau e demais colegas desta lista ... OBM-L, Em verdade, nao e so o poligono regular de 17 lados que e estranhamente construtivel. Um poligono de N lados e construtivel ( com regua e compasso ) se fi(N) for uma potencia de dois, vale dizer, se N=(2^k)*p1*p2*..*ps, onde os pi's sao primos de Fermat. Um Primo de Fermat e um numero primo da forma (2^(2^m)) + 1. Exemplos destes primos sao 3, 5, 17, 257 etc. Note que dai conclui-se que o poligono regular de 257 lados e construtivel. Em teoria de Galois isto e mais facilmente compreenssivel. Um Abraco Paulo Santa Rita 5,1050,250805 From: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] cos(2*pi/17) Date: Thu, 25 Aug 2005 10:13:13 -0300 On Thu, Aug 25, 2005 at 01:19:04AM -0300, Jefferson Franca wrote: Nem vou perguntar de onde tirou essa idéia, mas valeu pela solução. Em um curso de álgebra que cubra teoria de Galois este tipo de coisa é explicada com mais contexto. Eu dei um esboço rápido e elementar. Aliás, todos estes prove que são braçais. Para isso, tome a = cos(2*pi/17) + i sen(2*pi/17) de tal forma que xk = a^k + a^(17-k). Expanda tudo em termos de a, use o fato que 1+a+a^2+...+a^16 = 0, faça muitas contas com polinômios com coeficientes inteiros e tudo segue. []s, N. _ Chegou o que faltava: MSN Acesso Grátis. Instale Já! http://www.msn.com.br/discador = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] naturais
Ola Bernardo, E eu nao disse isso... Apenas o exemplo que usei eraam todos ==1. Mas e obvio que o raciocinio e o mesmo, tanto no caso ==1, ==2 e suas combinacoes. Um Abraco Paulo Santa Rita 5,1050,250805 From: Bernardo Freitas Paulo da Costa [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] naturais Date: Thu, 25 Aug 2005 15:42:48 +0200 Cuidado: nada obriga a == b == c (usando a sua notaç~ao para congruência) módulo 3. Eu acho que (para n~ao ter que fazer as 2^3 contas) dá pra fazer assim: Se x == 1 (mod 3), x^2 == 1 (mod 3). Se x == 2 == -1 (mod 3), x^2 == 1 (mod 3). Daí, se x !== 0 (mod 3) , ou seja, x n~ao é múltiplo de 3, temos x == 1 ou x == -1, ent~ao x^2 == 1 das duas formas. Daí, a^2 == 1, e o mesmo vale para b^2 e c^2. Daí, temos 1 + 1 + 1 == 0 e a^2 + b^2 + c^2 == 0. Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa On 8/25/05, Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] wrote: Ola Renato e demais colegas desta lista ... OBM-L, ( NAO USAREI ACENTOS ) Voce percebeu bem. Como ser suficientemente geral ? Da forma como voce fez ... OBS : == significa e congruente a a = 3N+1, N natural = a == 1 (mod 3 ) = a^2 == 1^2 (mod 3) b = 3N+1, N natural = b == 1 (mod 3) = b^2 == 1^2 (mod 3) c = 3N+1, N natural = c == 1(mod 3) = c^2 == 1^2 (mod 3) a^2 + b^2 + c^2 == 3(mod3) = a^2+b^2+c^2 e divisivel por 3 Mesmo raciocinio para o caso 3N+2. Um Abraco Paulo Santa Rita 5,0930,250805 From: Renato G Bettiol [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] naturais Date: Thu, 25 Aug 2005 09:13:32 -0300 Bom dia! Recentemente me deparei com o seguinte problema, bastante curioso: Mostre que se a, b e c são números naturais não divisíveis por 3, então a^2 + b^2 + c^2 é divisível por 3. Pensei em equacionar um natural não divisivel por tres como 3n+1 ou 3n+2, sendo n natural também. Ora, mas como ser abrangente a todos os casos de não divisibilidade por três? Grande abraço a todos, Renato _ Chegou o que faltava: MSN Acesso Grátis. Instale Já! http://www.msn.com.br/discador = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: converse online com seus amigos . http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] O Problema Generalizado
Ola Pessoal
desta lista ... OBM-L,
Vimos que no caso do primo p=3 para quaisquer R1,R2,R3 pertencentes a {1,2}
temos sempre que que R1^2 + R2^2 + R3^2 e multiplo de tres, vale dizer, se
tomarmos 3 naturais nao divisiveis por 3, a soma dos seus quadrados e
divisivel por 3.
Veja que no caso p=5 isso nao vale pois 1^2 + 1^2 + 1^2 + 2^2 + 2^2= 11 que
nao e multiplo de 5. Assim, nem sempre a soma dos quadrados de 5 numeros
nao-divisiveis por 5 e um numero divisivel por 5. Alguem se habilita a
caracterizar estes primos, isto e, quais sao os numeros primos p tais que
para quaisquer R1,...,Rp pertencentes a {1,2,...,p-1} temos que
R1^2+...+Rp^2 e multiplo de p ?
Um Abraco a Todos !
Paulo Santa Rita
5,1115,250805
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[obm-l] Derivada convexa
Eu achei este problema, um tanto sutil, interessante: Mostre que, se f:R--R for diferenciavel e sua derivada f' satisfizer a f'((x+y)/2) = (f'(x) + f'(y))/2 para todos reais x e y, entao f' eh convexa em R. Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Polígonos
C(x, 3) = 120 x! / (3! * (x - 3)!) = 120 = 5! ==x * (x-1) * (x-2) * (x-3)! / (3! * (x-3)!) = 5! == x*(x-1)*(x-2) = 5! * 3! = 720 = 6! = 2^4 * 3^2 * 5 = 5*2 * 3^2 * 2^3 = 10*9*8 == x = 10 Logo, o polígono era um decágono. Abraço Bruno On 8/25/05, matduvidas48 [EMAIL PROTECTED] wrote: Alguém poderia me ajudar nesta questão? Unindo-se três a três os vértices de um polígono regular obteve-se 120 triângulos. Qual era o polígono? a) hexágono. b) pentágono. c) icoságono. d) decágono. e) octógono. Obrigado. -- Bruno França dos Reisemail: bfreis - gmail.comgpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key icq: 12626000e^(pi*i)+1=0
[obm-l] Teorema de Galois
Ola Pessoal
desta lista ... OBM-L,
A TEORIA DE GALOIS e uma teoria que permite responder com precisao quanto um
determinado numero e ou nao construtivel. E uma teoria simples, mas exige
algum preparo previo, sobretudo em Algebra. O chamado Teorema de Galois e
o nucleo da teoria e pressupondo-se alguns fatos basicos e de facil
compreensao. Ei-lo :
Sejam N e K corpos com K contido em N. Denotamos este fato com a notacao :
N|K. Seja C o conjunto de todos os corpos L entre K e N, isto e : C={ L tal
que L e corpo e K c L c N }.
Seja K-Aut(N|K) o conjunto de todos os K-automorfismos de N|K, vale dizer, f
pertence a
K-Aut(N|K) se f e um automorfismo de N e f(x)=x para todo x em K. E facil
ver que K-Aut(N\K) e um grupo ( com a operacao de composicao de funcoes ).
Seja G o conjunto de todos os sub-grupos de K-Aut(N|K), isto e, G={g tal que
g e sub-grupo de K-Aut(N|K) }
Vamos agora definir duas aplicacoes :
1) gru : C - G
gru(L) = { todos os f em K-Aut(N|K) tal que f(x)=x, para qualquer x em L }
2) cor: G - C
cor(g) ={ todos os x em N tal que f(x)=x para todo f em g }
O par de aplicacoes {gru,cor} e chamado uma CONEXAO DE GALOIS. E facil ver
que, de fato, gru(L) e um corpo e cor(g) e realmente um corpo. Se estas
aplicacoes forem bijetivas, a conexao de Galois passa a ser chamada de
CORRESPONDENCIA DE GALOIS.
Em que condicoes temos uma correspondencia de Galois ? Bom, uma condicao e a
seguinte :
TEOREMA 1 : Se N|K e separavel, normal e finita entao a sua conexao de
galois e uma correspondencia de galois.
Bem entendido : a TODO subgrupo de K-Aut(N|K) correspondera um unico corpo
entre N e K e, reciprocamente, a TODO corpo entre N e K correspondera um
subgrupo de K-Aut(N|K). Veja que aqui temos uma exaustao ( existe algo
maravilhoso aqui mas que nao da para falar com tanta simplicidade ... ).
Neste caso, se g e um subgrupo de K-Aut(N|K), necessariamente finito, vale
o seguinte :
1) N|cor(g) e normal, separavel, finita e seu grau e precisamente a ordem do
subgrupo g
2) A todo subgrupo conjugado de g ( fgf^-1) esta associado o corpo conjugado
de cor(g), vale dizer, o corpo f(cor(g)).
3) Se g e normal se e somente se cor(g)|K e normal
Este ultimo resultado e o Teorema de Galois. Note que e necessario aprender
algumas nocoes basicas. E muito importante conhecer bem os rudimentos de
grupos, pois boa parte da teoria segue caracterizando extensoes que sao
normais e separaveis ( galosianas ) e os tipos de grupos associados. Neste
caso estao as extensoes ciclotomicas, ciclicas etc.
Eu gosto do livro do Milne sobre teoria de Galois, que aconselho pra voces.
Um Abraco a Todos
Paulo Santa Rita
5,1215,250805
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Re: [obm-l] Derivada convexa
Artur Costa Steiner wrote: Eu achei este problema, um tanto sutil, interessante: Mostre que, se f:R--R for diferenciavel e sua derivada f' satisfizer a f'((x+y)/2) = (f'(x) + f'(y))/2 para todos reais x e y, entao f' eh convexa em R. Artur Antes te pergunto: Será que dá pra afirmar que f' é continua em todos os pontos? Se sim eu conheco a solucao. -- Niski - http://www.linux.ime.usp.br/~niski sin^2(X) is odious to me, even thoug Laplace made use of it; shoud it be feared that sin^2(x) might become ambiguous, which would perhaps never occur ... well then, let us write (sin(x))^2, but not sin^2(X), which by analogy should signify sin(sin(x)) Carl Friedrich Gauss = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Derivada convexa
Veja que a derivada, mesmo que fosse descontínua, ainda assim satisfaria a propriedade do valor intermediário. Eu acho que n~ao deve ser muito difícil concluir a partir disso. On 8/25/05, Fabio Niski [EMAIL PROTECTED] wrote: Artur Costa Steiner wrote: Eu achei este problema, um tanto sutil, interessante: Mostre que, se f:R--R for diferenciavel e sua derivada f' satisfizer a f'((x+y)/2) = (f'(x) + f'(y))/2 para todos reais x e y, entao f' eh convexa em R. Artur Antes te pergunto: Será que dá pra afirmar que f' é continua em todos os pontos? Se sim eu conheco a solucao. -- Niski - http://www.linux.ime.usp.br/~niski sin^2(X) is odious to me, even thoug Laplace made use of it; shoud it be feared that sin^2(x) might become ambiguous, which would perhaps never occur ... well then, let us write (sin(x))^2, but not sin^2(X), which by analogy should signify sin(sin(x)) Carl Friedrich Gauss = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] cos(2*pi/17)
Mais uma vez , eu agradeço a ajuda e agora acho que posso dormir em paz, mesmo depois do árduo trabalho que terei para resolver esta questão. Valeu"Nicolau C. Saldanha" [EMAIL PROTECTED] escreveu: On Thu, Aug 25, 2005 at 01:19:04AM -0300, Jefferson Franca wrote: Nem vou perguntar de onde tirou essa idéia, mas valeu pela solução.Em um curso de álgebra que cubra teoria de Galois este tipo de coisaé explicada com mais contexto. Eu dei um esboço rápido e elementar.Aliás, todos estes "prove que" são braçais. Para isso, tomea = cos(2*pi/17) + i sen(2*pi/17) de tal forma quexk = a^k + a^(17-k). Expanda tudo em termos de a, use o fatoque 1+a+a^2+...+a^16 = 0, faça muitas contas com polinômioscom coeficientes inteiros e tudo segue.[]s, N.=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=__Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/
RES: [obm-l] Derivada convexa
De fato dah . A condicao f'((x+y)/2) = (f'(x) + f'(y))/2 sozinha nao garante garante continuidade, mas esta condicao, aliada ao fato de que f' eh uma derivada , garante continuidade. Vc poderia apresentar a prova que vc conhece? Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Fabio Niski Enviada em: quinta-feira, 25 de agosto de 2005 12:32 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] Derivada convexa Artur Costa Steiner wrote: Eu achei este problema, um tanto sutil, interessante: Mostre que, se f:R--R for diferenciavel e sua derivada f' satisfizer a f'((x+y)/2) = (f'(x) + f'(y))/2 para todos reais x e y, entao f' eh convexa em R. Artur Antes te pergunto: Será que dá pra afirmar que f' é continua em todos os pontos? Se sim eu conheco a solucao. -- Niski - http://www.linux.ime.usp.br/~niski sin^2(X) is odious to me, even thoug Laplace made use of it; shoud it be feared that sin^2(x) might become ambiguous, which would perhaps never occur ... well then, let us write (sin(x))^2, but not sin^2(X), which by analogy should signify sin(sin(x)) Carl Friedrich Gauss = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RES: [obm-l] Derivada convexa
Eh verdade, mas acho que a propriedade do valor intermediario nao eh suficiente para garantir a convexidade da derivada. Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Bernardo Freitas Paulo da Costa Enviada em: quinta-feira, 25 de agosto de 2005 13:18 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] Derivada convexa Veja que a derivada, mesmo que fosse descontínua, ainda assim satisfaria a propriedade do valor intermediário. Eu acho que n~ao deve ser muito difícil concluir a partir disso. On 8/25/05, Fabio Niski [EMAIL PROTECTED] wrote: Artur Costa Steiner wrote: Eu achei este problema, um tanto sutil, interessante: Mostre que, se f:R--R for diferenciavel e sua derivada f' satisfizer a f'((x+y)/2) = (f'(x) + f'(y))/2 para todos reais x e y, entao f' eh convexa em R. Artur Antes te pergunto: Será que dá pra afirmar que f' é continua em todos os pontos? Se sim eu conheco a solucao. -- Niski - http://www.linux.ime.usp.br/~niski sin^2(X) is odious to me, even thoug Laplace made use of it; shoud it be feared that sin^2(x) might become ambiguous, which would perhaps never occur ... well then, let us write (sin(x))^2, but not sin^2(X), which by analogy should signify sin(sin(x)) Carl Friedrich Gauss = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RES: [obm-l] Derivada convexa
A prova que eu achei para esta proposicao, baseada no que li sobre teoria de
medidas, baseia-se nos seguintes fatos:
A condicao (1) g(x+y)/2) = (g(x) + g(y))/2 para todos reais x e y aliada aa
continuidade de g em R garante que g seja convexa em R. Entretanto, (1)
apenas nao garante continuidade de g em R e nem convexidade (o que
garantiria continuidade).
Se (1) vigorar para uma funcao g e g for mensuravel (com relacao aa medida
de Lebesgue), entao g eh continua em R, disto se seguindo que g eh convexa.
Lembro que uma funcao eh mensuravel segundo a medida de Lebesgue se, para
todo real a, o conjunto {x em R | f(x) a} for um conjunto de Borel. Temos
portanto que, se g for mensuravel e satisfizer a (1), entao g eh convexa.
Toda derivada f' eh, em um intervalo aberto, o limite, ao menos ponto a
ponto, de uma sequencia de funcoes continuas. Toda funcao continua eh
mensuravel, logo toda derivada eh, em um intervalo aberto, o limite de uma
sequencia de funcoes mensuraveis. Logo, toda derivada f' eh mensuravel, pois
limites de sequencias de funcoes mensuraveis sao sempre mensuraveis.
Segue-se portanto que, se tivermos f'((x+y)/2) = (f'(x) + f'(y))/2 para
todos x e y de R, entao f' eh continua e, consequentemenet, convexa.
Artur
Artur Costa Steiner wrote:
Eu achei este problema, um tanto sutil, interessante:
Mostre que, se f:R--R for diferenciavel e sua derivada f' satisfizer a
f'((x+y)/2) = (f'(x) + f'(y))/2 para todos reais x e y, entao f' eh
convexa
em R.
Artur
Antes te pergunto: Será que dá pra afirmar que f' é continua em todos os
pontos? Se sim eu conheco a solucao.
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[obm-l] Consulta sobre livros
Boa tarde, pessoal. Estive olhando a página www.artofproblemsolving.com e estou querendo comprar os dois volumes do livro The Art of Problem Solving, de Sandor Lehoczky e Richard Rusczyk. Alguém os recomenda? []s, Márcio. -- Using Opera's revolutionary e-mail client: http://www.opera.com/mail/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: RES: [obm-l] Derivada convexa
Claro..
Seja g = f' entao.
Vou supor que g seja continua em um intervalo I.
Sejam x,y \in I e suponha que x y. Para n = 0, 1,2... tome
T[n] = { i/(2^n) : i = 0,1,...,2^n}. Vamos mostrar por inducao que para
n = 0 ,1, e para s /in T[n],
g((1-s)x +sy) = (1-s)g(x) + sg(y).
Se n = 0, entao s = 0 ou s = 1 e portanto a desigualdade acima é
evidente. Supondo que a desigualdade seja valida para um n arbitrario n
\in {0,1...} e para s \in T[n], vamos prova-la para n + 1. Suponha que s
\in T[n+1]. É facil ver que basta considerar o caso s não pertence a
T[n]. Como existem w, z \in T[n] tal que s = (w + z)/2, temos que
(1-s)x + sy = ... = [((1-w)x+wy)+((1-z)x + zy)]/2
Pela hipotese
g((1-s)x + sy) = [g((1-w)x+wy)+g((1-z)x+zy)]/2
agora pela hipotese de inducao
g((1-s)x+sy) = [(1-w)g(x) + wg(y) + (1-z)g(x)+zg(y)]/2
= (1-s)g(x) + sg(y)
Seja t um ponto arbritrariamente escolhido em [0,1]. Como o conjunto
T = U T[n] [n =0 até inf] é denso em [0,1], existe uma sequencia {s[n]}
de pontos em T tal que t = lim(s[n]) (n - inf). Assim, pela
continuidade de g,
g((1-t)x + ty) = lim[g((1-s[n])x + s[n]y)] = lim[((1-s[n])g(x) +
s[n]g(y))] = (1-t)g(x) + tg(y).
Artur Costa Steiner wrote:
De fato dah . A condicao f'((x+y)/2) = (f'(x) + f'(y))/2 sozinha nao
garante garante continuidade, mas esta condicao, aliada ao fato de que f' eh
uma derivada , garante continuidade.
Vc poderia apresentar a prova que vc conhece?
Artur
-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
nome de Fabio Niski
Enviada em: quinta-feira, 25 de agosto de 2005 12:32
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] Derivada convexa
Artur Costa Steiner wrote:
Eu achei este problema, um tanto sutil, interessante:
Mostre que, se f:R--R for diferenciavel e sua derivada f' satisfizer a
f'((x+y)/2) = (f'(x) + f'(y))/2 para todos reais x e y, entao f' eh
convexa
em R.
Artur
Antes te pergunto: Será que dá pra afirmar que f' é continua em todos os
pontos? Se sim eu conheco a solucao.
--
Niski - http://www.linux.ime.usp.br/~niski
sin^2(X) is odious to me, even thoug Laplace made use of it; shoud it
be feared that sin^2(x) might become ambiguous, which would perhaps
never occur ... well then, let us write (sin(x))^2, but not sin^2(X), which
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Re: [obm-l] Consulta sobre livros
Márcio, se o seu objetivo são problemas para teinamento básico de olimpiadas pode comprar eu os comprei e não me arrependi, são muito bons, excelentesproblemas e muito bem organizados Cgomes - Original Message - From: Marcio [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, August 25, 2005 11:22 PM Subject: [obm-l] Consulta sobre livros Boa tarde, pessoal. Estive olhando a página www.artofproblemsolving.com e estou querendo comprar os dois volumes do livro The Art of Problem Solving, de Sandor Lehoczky e Richard Rusczyk. Alguém os recomenda? []s, Márcio. -- Using Opera's revolutionary e-mail client: http://www.opera.com/mail/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de anti-virus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de anti-virus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Consulta sobre livros
Como regra geral, pode confiar no Mathlinks. Estyes caras tem uma boa experiencia no assunto. Alias, alguem sabe de algum local na Net onde estejam os problemas do Torneio das Cidades, disponivel para download? Esses sao os melhores para quem curte problemas nem um pouco triviais... --- Carlos Gomes [EMAIL PROTECTED] escreveu: Márcio, se o seu objetivo são problemas para teinamento básico de olimpiadas pode comprar eu os comprei e não me arrependi, são muito bons, excelentesproblemas e muito bem organizados Cgomes - Original Message - From: Marcio [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, August 25, 2005 11:22 PM Subject: [obm-l] Consulta sobre livros Boa tarde, pessoal. Estive olhando a página www.artofproblemsolving.com e estou querendo comprar os dois volumes do livro The Art of Problem Solving, de Sandor Lehoczky e Richard Rusczyk. Alguém os recomenda? []s, Márcio. -- Using Opera's revolutionary e-mail client: http://www.opera.com/mail/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de anti-virus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de anti-virus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = ___ Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! http://br.acesso.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Calcule
Alguém poderia me ajudar neste problema, agradeço. Sabendo que x, y, z, t pertencentes ao naturais. Calcule-os. 31(xyzt+xy+xt+zt+1)=40(yzt+y+t)
[obm-l] ajuda
Demonstre que sendo m inteiro e positivo a parte inteira de (2+3^1/2)^m e sempre um número ímpar.
