[obm-l] exercício - conjuntos
Alguém poderia me ajudar a resolver este exercício? Ele apareceu numa prova do IME, de 87.Dados dois conjuntos A e B, define-se: A*B=(A-B)U(B-A)Prove que dados 3 conjuntos arbitrários X, Y e Z temos X inter (Y * Z)=(X inter Y) * (X inter Z)inter=intersecçãoobrigada,michele Yahoo! Acesso Grátis Internet rápida e grátis. Instale o discador agora!
Re: [obm-l] Conjectura/Paper sobre Fibonacci/DNA
Bem... eu acredito que isso não tenha aplicação apenas na dupla hélice de DNA, mas também na descrição do enovelamento do RNA e no enovelamento de proteínas. O DNA e folhas-beta em proteínas seriam casos particulares pois os pares de bases (resp. aminoácidos) são complementares. Poderíamos começar estudando hélices alpha em proteínas (que ocorrem também em outros tipos de polímeros) e tentar daí estender as conclusões. Estou aguardando seu contato para conversarmos em off. Vc é brasileiro? De que cidade você é? Acho que se a gente trabalhar junto pode publicar alguma coisa significativa em uma revista do tipo science ou nature. []s From: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Saturday, March 11, 2006 6:42 PM Subject: RE: [obm-l] Conjectura/Paper sobre Fibonacci/DNA Ola Alonso ( Ou te chamo de Gandi ? ) Estou respondendo agora apenas para voce saber que imprime a sua mensagem e vou passar o fim-de-semana estudando-a. Vou te escrever em off sobre as minhas impressoes. O que me parece incrivel e que voce partiu de um problema basicamente de biologia e chegou a Matematica e mais especificamente a seq de fibonaci. Eu parti desta e cheguei a algumas conclusoes insanas que so parecem ter aplicacao nas helices do DNA em biologia. Parece que descobrimos um ponto de convergencia ... Te escrevo em off mais adiante. Um Abracao Paulo Santa Rita 7,1845,110306 From: Ronaldo Luiz Alonso [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Conjectura/Paper sobre Fibonacci/DNA Date: Fri, 10 Mar 2006 16:37:52 -0300 Paulo Santa Rita wrote: Ola Alonso ( voce e o Gandi ? ), Sim. E o que o leva a supor que a relacao existe ? Voce quer falar mais sobre isso ? Eu tenho uma ideia de como as coisas funcionam ... É uma longa história ... Mas ela pode ser resumida em poucas palavras como: O DNA é um código. Existe somente uma teoria da codificação (que surgiu dos trabalhos de Jean Jackes Hadamard). Logo esta teoria matemática da codificação seria a única capaz de explicar como a sequência de aminoácios de uma cadeia polipetídica codifica a forma geométrica de uma molécula de proteína (que por sua fez determina sua função biológica). Em 2003 comecei os estudos em biologia molecular. Minha intenção era fazer um doutorado interdisciplinar. Então li o livro de J. Watson e F. Crick -- Molecular Biology of the Gene. Fui aos poucos aprendendo como as coisas funcionavam dentro da célula. O que eu queria era atacar questões profundas como por que ocorre o envelhecimento celular ?. Antes dos cientistas descobrirem que a restrição calórica atrasava o envelhecimento, os cientistas não tinham a menor noção de como fazer isso. Porém, a partir desta descoberta, um entendimento dos efeitos da RC poderia trazer luz ao problema: http://www.ronaldoalonso.hpg.ig.com.br/cr/mol_biol_all.htm Descobri então que a montagem da proteína era um processo construtivo e resolvi fazer uma animação em flash disso (pois estava estudando para um concurso público na época): http://www.ronaldoalonso.hpg.ig.com.br/flash/ProtSynthFla.htm Fiquei imaginando então que o computador poderia calcular os ângulos phi_i e psi_i da cadeia de aminoácidos, dada a sequência deles. Mas ao conversar com alguns cientistas da USP de São Carlos (Richard Garrat e Igor Policarpov) eles disseram para mim que isso não era possível pois não havia poder computacional suficiente para tal. Na verdade eles estavam falando de um problema um pouco mais complexo que era o problema do dobramento de proteínas (protein folding) que era NP-completo. Proteínas biológicas são estáveis em seu mínimo global de energia de Gibbs na temperatura biológica. Do ponto de vista teórico, isso implica que podemos estudar o dobramento sem auxílio de nenhuma maquinária celular: http://www.physics.ubc.ca/~steve/pubs.html (Plotkin and Onuchic: Understanding protein folding with energy landscape theory I e II). De fato eles conseguem fazer isso cm proteínas pequenas usando supercomputadores da NASA. Comecei a estudar alguma coisa sobre dinâmica simbólica e fractais. O professor André Carlos Ponce de León Carvalho do ICMC então me apresentou o professor Zhao, que seria meu futuro orientador, por estudar redes complexas e sistemas dinâmicos. Por acaso passei na sala dele e lá havia um livro: Symbolic Dynamics and Coding - Lind and Marcus. Percebi então que essa teoria (dinâmica simbólica) vinha da teoria do caos em sistemas dissipativos (Bao-Lin et al) e tentava descrever o movimento de pontos em conjuntos invariantes de uma transformação em tais sistemas (ex de transformação dissipativa: mapa logístico -- Ex. de conjunto invariante: conjunto de Cantor) homeomorfos a sequências infinitas de símbolos. A montagem da proteína pelo ribossomo gastava 1 ATP por aminoácido, da mesma forma que o crescimento de
[obm-l] Re: [obm-l] Equação
Basta colocar a equção na forma
x = 3^x / 4
daí você coloca:
x_{n+1} = 3^{x_n} /4
Se 0x 1 deve convergir (será?)e
a solução
será única pois
a exponencial não assume valores
negativos.
Ronaldo, Luiz, Alonso ou Gandhi (como quiserem
;-))
- Original Message -
From:
Júnior
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Sunday, March 12, 2006 12:13
PM
Subject: [obm-l] Equação
Como resolver 3^x - 4x = 0
?Júnior.
[obm-l] Re: [obm-l] exercício - conjuntos
Para provar que dois conjuntos são iguais (A==B), vc tem que provar : 1) A cont B e 2) B cont A Prove que todo elemento de X inter (Y * Z) está contido em (X inter Y) * (X inter Z) e vice versa. Para isso aplique a definição de *. Deixo os detalhes para vc (o computador consegue fazer prova disso automáticamente, pois operações com conjuntos são isomórficas a operações com álgebra booleana) ... - Original Message - From: Michele Calefe To: OBM Sent: Monday, March 13, 2006 9:11 AM Subject: [obm-l] exercício - conjuntos Alguém poderia me ajudar a resolver este exercício? Ele apareceu numa prova do IME, de 87. Dados dois conjuntos A e B, define-se: A*B=(A-B)U(B-A) Prove que dados 3 conjuntos arbitrários X, Y e Z temos = inter=intersecção obrigada, michele Yahoo! Acesso Grátis Internet rápida e grátis. Instale o discador agora!
[obm-l] Re: [obm-l] Livro de equações diferenciais ordin árias
Esses aí já são ótimos. Olha só os autores: Stephen Smale. George D. Birkoff Vladmir I.Arnold Jorge Stomayer ... Só gente crânio !!! - Original Message - From: Afonso Sabino To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Sunday, March 12, 2006 8:08 PM Subject: [obm-l] Livro de equações diferenciais ordinárias Olá Gostaria obter recomendações de livro(s) de equações diferenciais ordinárias no nível de mestrado/doutorado. Estou mandando a bibliografia dos cursos do impa e da unicamp para ajudar, mas podem ser outros livros também: IMPA ARNOLD, V. - Équations Differentialles Ordinaires. Moscou, Ed. Mir, 1974.HIRSCH, M., SMALE, S. - Differential Equations, Dynamical Systems and Linear Algebra. New York, Academic Press, 1974.PONTRYAGIN, L. S. - Ordinary Differential Equations. Reading, Mass., Addison-Wesley, 1969.SOTOMAYOR, J. - Lições de Equações Diferenciais Ordinárias. Rio de Janeiro, IMPA, Projeto Euclides, 1979. Unicamp G. Birhoff, G. C. Rota. Ordinary Differencial Equations. Blaisdell, 1969.M. W. Hirsh, S. Smale. Differencial Equations, Dynamical Systems and Linear Algebra. Academic Press, 1974.J. Sotomayor, Lições de Equações Diferenciais Ordinárias. Projeto Euclides, IMPA, CNPq, 1985 Agradeço por qualquer ajuda. Yahoo! Messenger com voz - Instale agora e faça ligações de graça.
Re: [obm-l] exercício - conjuntos
Fala Mi, E se fizermos assim: A * B = ( A - B ) U ( B - A ) = ( A U B ) - ( A inter B ) e lembrando das distributivas A inter ( B U C ) = ( A inter B ) U ( A inter C ) A U ( B inter C ) = ( A U B ) inter ( A U C ) entao X inter ( Y * Z ) = = X inter [( Y - Z ) U ( Z - Y)] = = X inter [( Y U Z ) - ( Y inter Z )] = = X inter ( Y U Z ) - X inter ( Y inter Z ) = = ( X inter Y ) U ( X inter Z ) - ( X inter Y ) inter ( X inter Z ) = = [( X inter Y ) - ( X inter Z )] U [( X inter Z ) - ( X inter Y )] = = ( X inter Y ) * ( X inter Z ) Abraco Giancarlo On 3/13/06, Michele Calefe [EMAIL PROTECTED] wrote: Alguém poderia me ajudar a resolver este exercício? Ele apareceu numa prova do IME, de 87. Dados dois conjuntos A e B, define-se: A*B=(A-B)U(B-A) Prove que dados 3 conjuntos arbitrários X, Y e Z temos X inter (Y * Z)=(X inter Y) * (X inter Z) inter=intersecção obrigada, michele Yahoo! Acesso Grátis Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! -- Giancarlo Miragliotta A Lua única reflete-se onde quer que haja um lençol de água, E todas as luas nas águas estão abraçadas no seio da Lua única. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] exercício - conjuntos
pegue o material feito pelo sergio na paG 149 ESTA ESTE EXERCICIO http://www.aspmath2006.somee.com/sergio.htm - Original Message - From: Michele Calefe To: OBM Sent: Monday, March 13, 2006 9:11 AM Subject: [obm-l] exercício - conjuntos Alguém poderia me ajudar a resolver este exercício? Ele apareceu numa prova do IME, de 87. Dados dois conjuntos A e B, define-se: A*B=(A-B)U(B-A) Prove que dados 3 conjuntos arbitrários X, Y e Z temos X inter (Y * Z)=(X inter Y) * (X inter Z) inter=intersecção obrigada, michele Yahoo! Acesso Grátis Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! No virus found in this incoming message.Checked by AVG Free Edition.Version: 7.1.375 / Virus Database: 268.2.1/279 - Release Date: 10/3/2006
Re: [obm-l] Re: [obm-l] exercício - conjuntos
A prova exposta no material do Sergio foi feita usando o diagrama de Venn. Essa prova nao é aceita. Parece que o link passado pelo Tio Cabri st está quebrado. Entao coloquei a versao mais nova que eu tenho do pdf no meu site http://cauchy.somee.com/pub/imev8.pdf Aproveitem, esse material é muito bom. Júnior. Em 13/03/06, Tio Cabri st [EMAIL PROTECTED] escreveu: pegue o material feito pelo sergio na paG 149 ESTA ESTE EXERCICIO http://www.aspmath2006.somee.com/sergio.htm - Original Message - From: Michele Calefe To: OBM Sent: Monday, March 13, 2006 9:11 AM Subject: [obm-l] exercício - conjuntos Alguém poderia me ajudar a resolver este exercício? Ele apareceu numa prova do IME, de 87. Dados dois conjuntos A e B, define-se: A*B=(A-B)U(B-A) Prove que dados 3 conjuntos arbitrários X, Y e Z temos X inter (Y * Z)=(X inter Y) * (X inter Z) inter=intersecção obrigada, michele Yahoo! Acesso Grátis Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! No virus found in this incoming message.Checked by AVG Free Edition.Version: 7.1.375 / Virus Database: 268.2.1/279 - Release Date: 10/3/2006
[obm-l] Re: [obm-l] exercício - conjuntos
VEJA ESTE, o link anterior era temporario http://www.lps.ufrj.br/~sergioln/ime/IMEv8.pdf - Original Message - From: Michele Calefe To: OBM Sent: Monday, March 13, 2006 9:11 AM Subject: [obm-l] exercício - conjuntos Alguém poderia me ajudar a resolver este exercício? Ele apareceu numa prova do IME, de 87. Dados dois conjuntos A e B, define-se: A*B=(A-B)U(B-A) Prove que dados 3 conjuntos arbitrários X, Y e Z temos X inter (Y * Z)=(X inter Y) * (X inter Z) inter=intersecção obrigada, michele Yahoo! Acesso Grátis Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! No virus found in this incoming message.Checked by AVG Free Edition.Version: 7.1.375 / Virus Database: 268.2.1/279 - Release Date: 10/3/2006
Re: [obm-l] Esfera inscrita em tetraedo
Note: 4 pontos no espaço determinam uma esfera (um tetraedro tem 4 vértices) Como eu sei a equação da esfera com 4 pontos ? x_0,y_0,z_0 x_1,y_1,z_1 x_2,y_2,z_2 x_3,y_3,z_3 ? Ora, basta lembrar a equação da esfera. As incógnitas são x_c,y_c,z_c e r (raio da esfera). A eq. geral da circunferência é: (x-x_c )^2 + (y-y_c)^2 + (z-z_c)^2 = r^2. Ficou mais fácil certo? Errado. Se vc não eliminar os termos cruzados acima o sistema fica de difícil solução. Mas se vc conseguir colocar o tetraedro na origem do sistema cartesiano dá para tornar o sistema linear (fazendo x^2 = p, por exemplo). O problema se reduz então a achar um ponto equidistante de 4 pontos dados no espaço. reciprocamente: Achar um ponto equidistante de 3 pontos dados no plano. Sugestão: Tente chegar a um sistema linear em duas dimensões e extenda os resulados para três... Abraços. Ronaldo Luiz Alonso - Original Message - From: Erick Nascimento To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Saturday, March 11, 2006 2:57 PM Subject: [obm-l] Esfera inscrita em tetraedo Alguém poderia me ajudar a resolver este problema:Seja WXYZ as faces de um tetraedo eL1, L2, L3, L4, L5 e L6os comprimentos das arestas WX, WY, WZ, XY, XZ eYZ, respectivamente. Qual é o raio da esfera circunscrita a este tetraedro? Qualquer ajuda será bem vinda.Obrigado.Erick
[obm-l] Números Complexos
Olá pessoal da lista!!! Estou repetindo uma mensagem que havia postado na semana passada, pois não houve respostas: Estou lendo um artigo em inglês sobre números complexos e gostaria de saber como mostrar o seguinte (tentarei colocar traduzido): O algoritmo de Euclides para números complexos é uma conseqüência do algoritmo de Euclides para inteiros. Se alfa é um número complexo e se beta é um número complexo não nulo, então existe um número complexo gama tal que o número complexo delta = alfa - beta * gama satisfaz a inequação delta' * delta beta' * beta. O número gama é escolhido de forma que o número complexo beta' * alfa - beta' * beta * gama é igual a u + v * i para inteiros u e v os quais satisfazem as inequações -beta' * beta = 2 * u = beta' * beta e -beta' * beta = 2 * v = beta' * beta. A inequação 4 * u^2 + 4 * v^2 = 2 * (beta' * beta)^2 é então satisfeita. Desde que beta' * delta = u + v * i a inequação (beta' * beta) * (delta' * delta) = u^2 + v^2 é satisfeita. Desde que beta' * beta seja positivo, a inequação 2 * delta' * delta = beta' * beta é satisfeita. O apóstrofo representa o conjugado e i representa a parte imaginária do número complexo. Qualquer problema com relação ao exposto, posso enviar o arquivo pdf do artigo em anexo. Este artigo pode ser achado em pdf: http://www.math.purdue.edu/~branges/site/Papers Acho que esta página foi colocada no ar após matemáticos da Universidade de Purdue disserem ter provado a Hipótese de Riemann, mas dias depois foi disponibilizado outro arquivo com uma desculpa porque a prova estava errada. O que escrevi acima para sanar minhas dúvidas está no arquivo Complex Analysis - Chapter 1. Espero que alguém responda para tirar minha dúvida, pois sozinho estou com muitas dificuldades em entender esta parte do artigo e não sei se é fundamental para um bom entendimento dos artigos com as supostas provas da Hipótese de Riemann. Estou há um tempo estudando a Hipótese de Riemann desde que eu adquiri o livro Os Problemas do Milênio do autor Keith Devlin. Após terminar de ler o primeiro capítulo, que é sobre a hipótese, fui atrás de mais literatura sobre o assunto e achei o livro Prime Obsession do autor John Derbyshire. Acabando de ler este último fui atrás de outras fontes e achei uma mensagem aqui na lista da OBM postado pelo Demétrio. Enfim, agradeço pela atenção ao ler minha mensagem. Fico no aguardo de uma ajuda. Abraços!!! -- Henrique Não há ninguém que seja tão grande que não possa aprender e nem tão pequeno que não possa ensinar. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Números Complexos
Estou repetindo uma mensagem que havia postado na semana passada, pois não houve respostas: Esse problema é complicado para provar, assim de sopetão ... Estou c/ pouco tempo agora. Mas vou analisar em casa com calma e se conseguir alguma coisa significativa eu coloco aqui (se alguém não o fizer antes). []s = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Números Complexos
Olá Ronaldo!!! Agradeço deveras sua atenção e de todo pessoal que porventura possa me ajudar. Abraços!!! On 3/13/06, Ronaldo Luiz Alonso [EMAIL PROTECTED] wrote: Estou repetindo uma mensagem que havia postado na semana passada, pois não houve respostas: Esse problema é complicado para provar, assim de sopetão ... Estou c/ pouco tempo agora. Mas vou analisar em casa com calma e se conseguir alguma coisa significativa eu coloco aqui (se alguém não o fizer antes). []s = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- Henrique Não há ninguém que seja tão grande que não possa aprender e nem tão pequeno que não possa ensinar. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] elemento suprimido e geometria [era: Racionais]
Sauda,c~oes,
Suprimindo-se um dos elementos do conjunto {1,2,,n} a media aritmetica
dos elementos restantes é igual a 16,1. Determine:
a) o valor de n
b) o elemento suprimido
n=31 , a=13
Este é o exercício 46 do livro Manual de Progressões. Mostre que
n/2 = 16,1 = (2+n)/2 = n=31 ou 32.
Conclua que n=31 pois os valores envolvidos são inteiros.
Pediram-me para resolver o seguinte problema:
El menor de los ángulos de un triángulo ABC es 30º. Sean O e I el
circuncentro
y el incentro de ABC. Sean D, E sobre AB y AC respectivamente tales que
BD = CE = BC.
Demostrar que DE es perpendicular (a OI) y con la misma
longitud (comprimento) que OI.
Com coordenadas dá trabalho mas sai. Solução sintética?
Um abraço,
Luís
From: Eduardo Wilner [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: Re: [obm-l] Racionais
Date: Fri, 10 Mar 2006 14:32:13 -0300 (ART)
A solucao eh primeira mas nao unica.
n(n+1)/2 - a = 16,1*(n-1) = n(n+1) - 32,2*(n-1) = 2a ,
onde a eh o elemento suprimido.
Sendo n(n-1) e 2n pares 32,2*(n-1) tambem deverah se-lo.
Assim n-1 = 10m, com m natural maior que 2 (para que a seja
positivo).
Teremos, entao (n,a) = (31 ; 13) , (41 ; 217) ...(10m+1 ; 50m^2 -
146m + 1 )
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
RE: [obm-l] Complexo
Já responderam esse tópico, mas eu não entendi o jeito elementar. Eu acho que é assim: |z-2|=1, no plano, é uma circunferencia de raio=1 e centro em (0,2). Já |z+i| tem como centro o ponto (-1,0). Agora faz-se a reta passando por esses dois pontos. Essa reta interceptará a circunferencia em dois pontos. A distância entre (-1,0) e a interceção mais próxima será o valor mínimo do módulo, e entre o ponto e a distância mais longe será o módulo máximo. Como resposta terá assim sqrt(5) +/- 1 (máximo e mínimo) sqrt = raiz quadrada From: Júnior [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Complexo Date: Sat, 11 Mar 2006 22:26:29 -0300 Se |z-2| = 1, quais os valores máximo e minimo |z+i| pode assumir ? Júnior. _ Copa 2006: Sabe como se diz pênalti em alemão? Clique aqui! http://copa.br.msn.com/extra/dicionario/l-z/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] P.A
Existe uma progressao aritmetica infinita de razao diferente de zero que pode ser formada apenas por numeros primos ? ProveA sequencia X_1,X_2,...,X_100 é tal que cada x_k é igual a k a menos que a soma dos outros 99 numeros. Determine x_50. 75/98 Yahoo! Acesso Grátis Internet rápida e grátis. Instale o discador agora!
[obm-l] Integral em coordenadas esf�ricas, dif�cil !
Olá pessoal boa noite. Não é pra resolver a integral, não. É somente para passar de coordenadas cilíndricas, nas quais ela está escrita para coordenadas esféricas. Se alguém puder dar uma mãozinha agradeço muito, obrigadão. É uma integral tripla: int [0,2pi] int [0,1] int [r^2,sqr(2-r^2)] r^2 cos (theta) dz dr d(theta). Um abraço, Marcelo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] P.A
x_k = S - x_k - k ou S - 2x_k = k (i) Aplicando para k de 1 a 100 e somando, temos 98*S=1+2+...+100=101*50 ou S=101*50/98. Substituindo em (i) para k = 50 temos 2*x_50 = 101*50/98 -50 = 3*50/98.Klaus Ferraz [EMAIL PROTECTED] escreveu: Existe uma progressao aritmetica infinita de razao diferente de zero que pode ser formada apenas por numeros primos ? ProveA sequencia X_1,X_2,...,X_100 é tal que cada x_k é igual a k a menos que a soma dos outros 99 numeros. Determine x_50. 75/98 Yahoo! Acesso Grátis Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! Yahoo! Acesso Grátis Internet rápida e grátis. Instale o discador agora!
Re: [obm-l] Esfera inscrita em tetraedo
Inscrita ou circunscrita?Erick Nascimento [EMAIL PROTECTED] escreveu: Alguém poderia me ajudar a resolver este problema:Seja WXYZ as faces de um tetraedo eL1, L2, L3, L4, L5 e L6os comprimentos das arestas WX, WY, WZ, XY, XZ eYZ, respectivamente. Qual é o raio da esfera circunscrita a este tetraedro? Qualquer ajuda será bem vinda.Obrigado.Erick Yahoo! Acesso Grátis Internet rápida e grátis. Instale o discador agora!
