[obm-l] Re:[obm-l] Re: Convergência de S érie
-- Cabeçalho original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Wed, 28 Jun 2006 19:46:42 -0300 Assunto: [obm-l] Re: Convergência de Série Também não sei se tá certo... Mas... =/ Ratio Test (Apostol 1 pag 400): (a_n+1 / a_n) - L qdo n- infinito. Se L 1, a série converge. Como Soma (n=1) (a_n)^2 converge, limite de (a_n+1/a_n)^2 quando n tende a infinito é menor que 1 - (a_n+1/a_n) quando n tende a infinito é menor que 1 Voce nao pode afirmar isso. O teste da razao dah apenas uma condicao suficiente mas nao necessaria. Por exemplo, SOMA 1/n diverge e SOMA 1/n^2 converge, mas o limite a(n+1)/a(n) eh 1 nos dois casos. Ratio Test no segundo somatório: ((a_n+1/n+1) / (a_n/n)) = (a_n+1/a_n) x (n/n+1) que é menor que 1, logo a série converge. Em 28/06/06, claudio.buffara[EMAIL PROTECTED] escreveu: Segue abaixo o problema 43 do cap. 4 do Curso de Análise - vol. 1 do Elon, juntamente com a minha solução errada. O problema que proponho é: achar o erro na solução e dar uma solução correta. Seja (a_n) uma sequência de números reais. Prove que se SOMA(n=1) (a_n)^2 converge, então SOMA(n=1) (a_n)/n também converge. Solução errada: Como SOMA(n=1) (a_n)^2 converge, deve existir n_0 tal que se n n_0 então (a_n)^2 1/n, já que a série harmônica diverge. Logo, para n = n_0, |a_n| = 1/raiz(n) == a_n/n = |a_n|/n = 1/n^(3/2) == SOMA(n=1) a_n/n converge, pela comparação com a série: SOMA(n=1) 1/n^(3/2), que é convergente. []s, Claudio. -- Aline Oliveira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re:[obm-l] Re: [obm-l] Condição d e Existência de quadriláteros
-- Cabeçalho original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Thu, 29 Jun 2006 02:00:42 -0300 Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Condição de Existência de quadriláteros Cada um dos lados deve ser menor do que a soma dos outros três. Essa condicao eh certamente necessaria, mas serah que tambem eh suficiente? Quadrilátero de lados a,b,c e d, e de diagonais x e y. ac+bd=x.y (T. Ptolomeu) O T. de Ptolomeu soh vale pra quadrilateros ciclicos. Supondo sem perda de generalidade dcba= como xd e yd, temos x.yd^2=ac+bdd^2 - Original Message - From: matduvidas48 To: obm-l Sent: Wednesday, June 28, 2006 8:56 PM Subject: [obm-l] Condição de Existência de quadriláteros Existe alguma condição de existência para se formar um quadrilátero de lados a , b , c e d? (ou seja existe alguma desigualdade?) Agradeço desde já = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] QUARTAS-DE-FINAL!
Ok! Nicolau e demais colegas! A resposta correta gira em torno da conjectura de Kepler, mas o incrível mesmo é como um enunciado tão óbvio pode ter uma resolução tão trabalhosa e sofisticada. Que o digam as abelhas...e que venham os Gauleses com toda sua tradição cultural a começar pelas eleições para presidente da República através de sufrágio universal direto. Uma urna contém N bolas, numeradas de 1 a N, sem repetições. Para estimar o valor desconhecido de N, um estatístico retira, ao acaso, três bolas dessa urna. As bolas retiradas foram as de números 15, 43 e 17. Ele toma para a estimativa de N o valor para o qual a média dos números das bolas retiradas é igual a média dos números de todas as bolas da urna. A estimativa que ele obtém para N é: Seis bolas (esferas) idênticas de raio r encontram-se posicionadas no espaço de tal forma que cada uma delas seja tangente a quatro bolas. Determine a aresta do cubo cujas faces tangenciam todas as bolas. Dispomos de quatro bolas alinhadas horizontalmente e seis bolas alinhadas verticalmente formando uma cruz. Qual o número mínimo de bolas que devemos mover para formar duas linhas que contenham seis bolas cada. A propósito, qual a condição necessária e suficiente para que uma bola que se movimenta com reflexão perfeita sobre uma mesa de bilhar de bordo circular passe uma infinidade de vezes por um mesmo ponto? Bom Placar! _ COPA 2006: Como se diz 'gol' em mais de 32 países? http://copa.br.msn.com/extra/curiosidades/futebol/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re:[obm-l] Re: [obm-l] Convergênci a de Série
-- Cabeçalho original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Wed, 28 Jun 2006 23:24:48 -0300 Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Convergência de Série Olá Claudio, nao analisei sua demonstracao, mas segue a minha: Sabemos que: (a_n - 1/n)^2 0, assim: a_n^2 - a_n/n + 1/n^2 0, logo: a_n/n a_n^2 + 1/n^2 como SOMA(a_n^2) converge e SOMA(1/n^2) converge, entao, sua soma converge. pelo teste da comparacao, SOMA(a_n/n) converge. Isso mesmo, sendo que a consequencia de (a_n - 1/n)^2 = 0 eh, de fato: a_n/n = (1/2)*(a_n^2 + 1/n^2). Tambem eh interessante notar que a reciproca nao vale. Tome a_n = 1/log(n)^2 Entao, SOMA a_n/n = SOMA 1/(n*log(n)^2) converge (teste da integral) mas SOMA a_n^2 = SOMA 1/log(n)^4 diverge. *** Outro problema interessante do mesmo capitulo do Elon eh: Provar que se (a_n) eh decrescente e SOMA a_n converge entao n*a_n - 0. Mais uma vez a reciproca nao vale. Tome a_n = 1/(n*log(n)). A condicao de a_n ser monotona tambem eh essencial. Tome a_n = (-1)^(n)/n. []s, Claudio. vou analisar agora sua solucao, se eu encontrar o erro mando em outro e-mail. abraços, Salhab - Original Message - From: claudio.buffara To: obm-l Sent: Wednesday, June 28, 2006 5:46 PM Subject: [obm-l] Convergência de Série Segue abaixo o problema 43 do cap. 4 do Curso de Análise - vol. 1 do Elon, juntamente com a minha solução errada. O problema que proponho é: achar o erro na solução e dar uma solução correta. Seja (a_n) uma sequência de números reais. Prove que se SOMA(n=1) (a_n)^2 converge, então SOMA(n=1) (a_n)/n também converge. Solução errada: Como SOMA(n=1) (a_n)^2 converge, deve existir n_0 tal que se n n_0 então (a_n)^2 1/n, já que a série harmônica diverge. Logo, para n = n_0, |a_n| = 1/raiz(n) == a_n/n = |a_n|/n = 1/n^(3/2) == SOMA(n=1) a_n/n converge, pela comparação com a série: SOMA(n=1) 1/n^(3/2), que é convergente. []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] desigualdades!!!
gostaria que alguem tambem resolvesse mais essas questoes: 1) para quaisquer reais positivos a,b,c mostre que : c(a²-ab+b²)^(1/2)+a(b²-bc+c²)^(1/2) =b(a²+ac+c²)^(1/2)2)se somatorio de xi²=1(sao reais positivos) entao determine o valor maximo de: nn somatorio[ (xi^5)/( (somatorio xj) - xi ) ]i=1j=1 Abra sua conta no Yahoo! Mail - 1GB de espaço, alertas de e-mail no celular e anti-spam realmente eficaz.
[obm-l] Re:[obm-l] Re: [obm-l] Convergênci a de Série
De:
Re: [obm-l] Converg�ncia de S�rie
Para eps0 arbitrariamente escolhido, o criterio de Cauchy implica a existencia de um k tal que, se n=k, entao a_k + ...a_n eps. Supondo-se os termos nao negativos, obtemos (n-k+1)* a_n eps = n*a_n eps + (k-1)*a_n para n=k. Assim, limsup(n*a_n) = limsup(eps + (k-1)*a_n) = lim( eps + (k-1)*a_n) = eps + 0 = eps, visto a_n -0 uma vez que Soma a_n converge. Para todo eps0, temos portanto que 0 = limsup (n*a_n) = eps = limsup(n*a_n) = 0. Como n*a_n =0 para todo n, segue-se que lim n*a_n = 0. Modificando-se um pouco este argumento, poderiamos nos basear diretamente na definicao de limite. Este teorema proporciona uma forma interessante e nao difundida de provarmos que a serie harmonica diverge, pois, se a_n = 1/n, entao n*a_n = 1 para todo n e a condicao do teorema naoeh satisfeita. Acho que no, problema original, o equivoco do Claudio foi supor que para n suficientemente grande teriamos (a_n) 1/n. Esta condicao tem que ocorrer para uma infinidae de indices n, mas creio que nao para todos. Artur *** Outro problema interessante do mesmo capitulo do Elon eh: Provar que se (a_n) eh decrescente e SOMA a_n converge entao n*a_n - 0. Mais uma vez a reciproca nao vale. Tome a_n = 1/(n*log(n)). A condicao de a_n ser monotona tambem eh essencial. Tome a_n = (-1)^(n)/n. [ __ Do You Yahoo!? Tired of spam? Yahoo! Mail has the best spam protection around http://mail.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Leitura estranha
Vi essa num fórum, mas sem a resposta. Tentei fazer e depois de muito trabalho, fiquei na dúvida se a resposta é 37 ou 377. Gostaria de saber um jeito memos complicado do que o meu para resolver, se é que estou no caminho certo. Obrigado pela ajuda. Um matemático excêntrico escreve um livro, numerando as páginas de 2 até 400, e com a recomendação de que a leitura deve ser feita na seguinte ordem. Identifica-se a última página não lida (no início da leitura é a página de número 400) e a seguir lê-se (na ordem usual) todas as páginas numeradas com números que não são relativamente primo com ela e que não tenham sido lidas anteriormente. Repete-se este procedimento até que se completa a leitura do livro. Deste modo, a ordem da leitura seria 2, 4, 5, , 400, 3, 7, 9, , 399, . Qual é a última página a ser lida?MSN Alertas -- |¯¯¯| É gl! Os gols da Copa no seu MSN Confira: = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Leitura estranha
Prezado Rhilbert, Acho que é assim: Como 400 = 24 x 52, inicialmente se lê as páginas cujos números são múltiplos de 2 e 5, menores do que ou iguais a 400: 2, 4, 5, , 400. Em seguida, como 399 é o maior número menor do que 400 ainda não lido e 399 = 3 x 7 x 19, a leitura prossegue com todas as páginas numeradas com múltiplos de 3, 7 e 19 e ainda não lidas: 3, 7, 9, , 399 (a leitura se dá na ordem usual). A seguir, vem a página numerada com o número 397, que é primo. A página seguinte é a de número 391 = 17 x 23. Neste caso, lê-se (na ordem usual) todas as páginas numeradas com múltiplos de 17 e 23, abaixo de 391. Nessa altura, tem-se lido as páginas numeradas com os múltiplos de todos os primos menores ou iguais a 23, exceto as numeradas com múltiplos de 11 e 13: 11, 13, 22, 26, 33, 39, ..., 341, 377. Desse modo, os únicos primos restantes são os maiores do que 31, já que 292 = 841 400. O último número é 37. Benedito - Original Message - From: Rhilbert Rivera To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, June 29, 2006 4:09 PM Subject: [obm-l] Leitura estranha Vi essa num fórum, mas sem a resposta. Tentei fazer e depois de muito trabalho, fiquei na dúvida se a resposta é 37 ou 377. Gostaria de saber um jeito memos complicado do que o meu para resolver, se é que estou no caminho certo. Obrigado pela ajuda. Um matemático excêntrico escreve um livro, numerando as páginas de 2 até 400, e com a recomendação de que a leitura deve ser feita na seguinte ordem. Identifica-se a última página não lida (no início da leitura é a página de número 400) e a seguir lê-se (na ordem usual) todas as páginas numeradas com números que não são relativamente primo com ela e que não tenham sido lidas anteriormente. Repete-se este procedimento até que se completa a leitura do livro. Deste modo, a ordem da leitura seria 2, 4, 5, , 400, 3, 7, 9, , 399, . Qual é a última página a ser lida? MSN Alertas -- |¯¯¯| É gl! Os gols da Copa no seu MSN Confira: = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Sequencias de funcoes continuas (Rudin)
O conjunto F(K) eh fechado porque F(K) = Inter (n=1,
oo) {x | |f[n](x| = K}. A continuidade de f[n]
implica que cada um dos conjuntos desta colecao seja
fechado, o que, por sua vez implica, que F(k) seja
fechado.
Um ponto interessante eh que este teorema nao se
limita ao conjunto dos reais. A mesma prova mostra
que, se X eh um espaco de Baire, Y eh um espaco
metrico normado e f[n] eh uma sequencia de funcoes
continuas de X em Y que convirja em todo o X, entao
existem um aberto V em X e M0 tais que ||f[n](x||
M para todo natural n e todo x em V.
Artur
--- niski lista [EMAIL PROTECTED] wrote:
Assim,
Considere F[K] = {x | |f[n](x)| = K, pra qq n 0}.
F[K] é fechado. Deixo pra voce verificar isso.
Ora, mas R = U F[K], uniao tomada de K = 1, ateh
infinito, nos naturais.
O teorema de baire garante que para algum desses
F[K] tem possui um
subconjunto aberto de interior nao vazio. Seja F[M]
este conjunto.
Extraia do seu subconjunto aberto de interior nao
vazio um intervalo
I. Ora, I esta contido em F[M] e por definicao para
todo x em I, vale
que |f[n](x) = M|. Como queriamos.
On 6/28/06, Mouse [EMAIL PROTECTED] wrote:
Olá pessoal! Esta é a minha primeira mensagem na
Lista. Sou engenheiro
de formação mas há algum tempo venho estudando
análise matematica por
hobby.
Este problema que estou enviando para a lista é do
livro de Walter
Rudin, Real and Complex analysis. É o 13 do
capitulo 5, acredito que
ninguem nesta lista tenha problemas com ingles
entao vou deixar o
enunciado na forma original.
Let {f[n]} be a sequence of continuous real
functions on the line which
converges at every point. Prove that there is an
interval I and a number
M oo such that |f[n](x)| M for every x \in I
and n = 1,2,3,...
Estou empacado nele há algumas semanas! Alguem
conhece a solucao ou pode
enviar para discutirmos?
Um abraço a todos!
Mouse
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[obm-l] Bola no conjunto A - A
Oi pessoal, eu tenho uma dúvida, talvez alguem possa ajudar. Eu li que se um
conjunto compacto A de R^n tem medida positiva, então o conjunto A - A = {x - y
| x e y estao em A} contem uma bola com centro na origem. A prova disso nao
parece facil, alguem a conhece? O teorema só vale para conjuntos compactos?
Obrigada
Sandra
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[obm-l] desigualdades!!!
gostaria que alguem tambem resolvesse mais essas questoes: 1) para quaisquer reais positivos a,b,c mostre que : c(a²-ab+b²)^(1/2)+a(b²-bc+c²)^(1/2) =b(a²+ac+c²)^(1/2)2)se somatorio de xi²=1(sao reais positivos) entao determine o valor maximo de: nn somatorio[ (xi^5)/( (somatorio xj) - xi ) ]i=1j=1 Novidade no Yahoo! Mail: receba alertas de novas mensagens no seu celular. Registre seu aparelho agora!
Re: [obm-l] Determinante, gemoetria
Opa, Cláudio. Não consegui chegar na identidade que você falou:(i) ctg(A/2) = (c+b-a)/(2r)E veja que pegando o triângulo pitagórico 3, 4, 5, o ângulo oposto a hipotenusa (=5) será 90 graus, usando em (i) teríamos: cotg(45o) = (4+3-5)/(2*5/2) = 2/5,mas a cotg(45o) é 1.Depois da dica do Peter (a = 4Rsen(A/2)cos(A/2) ) eu cheguei e empaquei no seguinte resultado:cotg(A/2) = abc / [(a^2 - (b-c)^2)R] On 6/28/06, claudio.buffara [EMAIL PROTECTED] wrote: Considerando o círculo inscrito em ABC, de raio r, é fácil provar que: ctg(A/2) = (c+b-a)/(2r), ctg(B/2) = (a+c-b)/(2r) e ctg(C/2) = (a+b-c)/(2r). Seja D o valor do determinante. Multiplicando a 1a. linha do determinate por 2r, você obtem um outro determinante igual a: (c+b-a) (a+c-b) (a+b-c) ab c 1 1 1 e cujo valor é igual a 2r*D. Agora, subtraindo a 1a. coluna das outras duas, obtemos o determinante: (c+b-a) 2(a-b) 2(a-c) a (b-a) (c-a) 1 00 cujo valor ainda é 2r*D. Mas esse determinante é igual a: 2(a-b)(c-a) - 2(a-c)(b-a) = 0 []s, Claudio. De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Mon, 26 Jun 2006 18:48:01 -0300 Assunto: [obm-l] Determinante, gemoetria Olá, pessoal. Estou com dúvida na seguinte questão do livro Iezzi/Hazzan 4 (D.250): Provar que: | cotg(A/2) cotg(B/2) cotg(C/2) | | a b c | = 0 | 1 1 1 | sendo A, B, C, ângulos de um triângulo e a, b, c os lados respectivamente, opostos aos mesmos ângulos. André FS = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] SELEÇÃO DESENCANTADA!
Uma urna contém 5 bolas numeradas de 1 até 5. O jogador A retirasucessivamente (com reposição) duas bolas dessa urna. Em seguida, o jogadorB retira da urna uma única bola. A ganha o jogo se pelo menos uma das bolas
por ele retiradas tiver um número maior do que o número da bola retirada porB. Caso contrário, a vitória é de B. Supondo que todas as retiradas sãoequiprováveis, determine as probabilidades de vitória dos dois jogadores.
Para A ganhar, uma bola A1 retirada deve ser maior q a bola de B. A bola A2, para fins de contagem, deve ser A2 A1.Se A1=5, A2 {1,2,3,4,5} e B {1,2,3,4}, portanto a probabilidade é (1/5)*(5/5)*(4/5)
Se A1=4, A2 {1,2,3,4} e B {1,2,3}, portanto a probabilidade é (1/5)*(4/5)*(3/5)Se A1=3, A2 {1,2,3} e B {1,2}, portanto a probabilidade é (1/5)*(3/5)*(2/5)
Se A1=2, A2 {1,2} e B {1}, portanto a probabilidade é (1/5)*(2/5)*(1/5)
Se A1=1, A2 {1} e B { }, portanto a probabilidade é (1/5)*(1/5)*(0/5)Somando todas essas probabilidades, temos 40/125.Como A1 e A2 foram pela minha hipótese ordenados, e no problema não sao distintos, devemos multiplicar o resultado por 2: 80/125.
Temos agora que tirar os casos em que A1=A2, pois eles foram contados duas vezes, que será (1/5)*(1/5)*[(4+3+2+1+0)/5]=10/125 a menos.Para A vencer, temos a probabilidade de (80-10)/625=70/125.Considerando que empates favoreçam B (entendi isso do enunciado), as outras possibilidades favorecem B.
A: 54%B: 46%
[obm-l] Probleminhas de Porcentagem
Oi galera!Estava resolvendo um monte de problemas de porcentagem, já fiz uns 200 e poucos. Infelizmente esses ai não consegui fazer, se alguem puder resolver ou me ajudar a resolver, fico muito grato.194. Cesgranrio-RJ O GNV (gás natural veicular) é um combustível que provoca menor impacto ambiental, pois, devido à sua composição, produz uma queima mais limpa i uniforme. Além disso, é mais econômico do que os demais combustíveis (álcool, diesel ou gasolina), já que 1m^3 de GNV rende quilometragem 20% superior a 1 litro de gasolina e que o preço de 1m^3 de GNV corresponde a, aproximadamente, 50% do preço de 1 litro de gasolina. Tomando-se como base as informações do texto acima, a redução nos custos referentes ao consumo de combustível de um automóvel a gasolina que é convertido para GNV é, aproximadamente, de: a) 55,6% b) 58,3% c) 59,4% d) 72,5% e) 83,3%197. FGV-SP Um aparelho de TV é vendido por R$ 1000,00 em dois pagamentos iguais, sem acréscimo, sendoo 1º como entrada e o 2º, um mês após a compra. Se o pagamento for feito à vista, há um desconto de 4% sobre o preço de R$ 1000,00. A taxa mensal de juros simples do financiamento é aproximadamente igual a: a) 8,7% b) 7,7% c) 6,7% d) 5,7% e) 4,7%219. Uespi Um artigo é vendidoà vista com 15% de desconto ou em duas parcelas iguais, sem desconto, uma paga no ato da compra e a outra após um mês. Quais os juros mensais embutidos na compra a prazo? Indique o inteiro mais próximo. a) 41% b) 42% c) 43% d) 44% e) 45%221. UFBA Uma pessoa tomou um empréstimo de R$ 6.000,00 a uma taxa de juros compostos de 10% ao ano e saldou a dívida da seguinte maneira: - 2 anos após ter contraído a dívida, pagou R$2.260,00 - 2 anos após o primeiro pagamento, pagou mais R$ 3.050,00 - 1 ano após o segundo pagamento, quitou a dívida. Nessas condições, pode-se afirmar: 01. Depois do primeiro pagamento, a pessoa ficou devendo R$ 4.340,00 02. Após o segundo pagamento, a dívida correspondia a 50% di valor do empréstimo. 04. No momento em quea pessoa quitou o empréstimo, a dívida correspondia a R$ 3.300,00 08. O montante pago pelo empréstimo foi igual a R$ 9.000,00 16. O valor pago pelos juros da dívida correspondeu a 43,5% do empréstimo.222. FGV-SP b) Certa loja tem como política de venda de crédito exigir, como entrada, 20% do valor à vista da mercadoria e o restante a ser liquidado no final de 3 meses. Neste caso, o saldo devedor é acrescido de 10% do valor à vista da mercadoria, a título de "despesas administrativas". Qual é a taxa anual de juros simples cobrada por essa loja?224.FGV-SP O "Magazine Lúcia" e a rede "Corcovado" de hipermercados vendem uma determinada marca de aparelho de som do tipo Home Cinema pelo mesmo preço à vista. Na venda a prazo, ambas as lojas cobram a taxa de juros compostos de 10% ao mês, com planos de pagamentos distintos. Comprando a prazo no "Magazine Lúcia", um consumidor deve pagar R$2.000,00 no ato da compra e R$ 3.025,00 depois de 2 meses, enquanto que na rede "Corcovado" ele pode levar o aparelho sem desembolsar dinheiro algum, pagando uma parcela de R$1.980,00, 1 mês após a compra, e o saldo em 2 meses após a compra. a) Qual o valor avista do aparelho de som? b) Se um consumidor compraro aparelho de som a prazo na rede "Corcovado", qual o valor da parcela final, vencível 2 meses após a compra.GABARITO 194. B 197.A 219.B 221. Estão corretas 02 04 e 16 222. b) 50% ao ano 224. a) R$ 4.500,00 b) R$ 3.267,00 Galera, algumas questões tinham gabarito errado. Essas não soube resolver, portanto não sei se enquadra-se no conjunto das com gabarito errado.Em todo caso, esta tudo ai.Atenciosamente, André Sento Sé BarretoPS:Como demorou pra digitar tudo isso =( Yahoo! Search Música para ver e ouvir: You're Beautiful, do James Blunt
