O conjunto F(K) eh fechado porque F(K) = Inter (n=1, oo) {x | |f[n](x| <= K}. A continuidade de f[n] implica que cada um dos conjuntos desta colecao seja fechado, o que, por sua vez implica, que F(k) seja fechado. Um ponto interessante eh que este teorema nao se limita ao conjunto dos reais. A mesma prova mostra que, se X eh um espaco de Baire, Y eh um espaco metrico normado e f[n] eh uma sequencia de funcoes continuas de X em Y que convirja em todo o X, entao existem um aberto V em X e M>0 tais que ||f[n](x|| < M para todo natural n e todo x em V.
Artur --- niski lista <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > Assim, > Considere F[K] = {x | |f[n](x)| <= K, pra qq n >0}. > F[K] é fechado. Deixo pra voce verificar isso. > Ora, mas R = U F[K], uniao tomada de K = 1, ateh > infinito, nos naturais. > O teorema de baire garante que para algum desses > F[K] tem possui um > subconjunto aberto de interior nao vazio. Seja F[M] > este conjunto. > Extraia do seu subconjunto aberto de interior nao > vazio um intervalo > I. Ora, I esta contido em F[M] e por definicao para > todo x em I, vale > que |f[n](x) <= M|. Como queriamos. > > > > > > > On 6/28/06, Mouse <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > > Olá pessoal! Esta é a minha primeira mensagem na > Lista. Sou engenheiro > > de formação mas há algum tempo venho estudando > análise matematica por > > hobby. > > Este problema que estou enviando para a lista é do > livro de Walter > > Rudin, Real and Complex analysis. É o 13 do > capitulo 5, acredito que > > ninguem nesta lista tenha problemas com ingles > entao vou deixar o > > enunciado na forma original. > > > > "Let {f[n]} be a sequence of continuous real > functions on the line which > > converges at every point. Prove that there is an > interval I and a number > > M < oo such that |f[n](x)| < M for every x \in I > and n = 1,2,3,... " > > > > > > Estou empacado nele há algumas semanas! Alguem > conhece a solucao ou pode > > enviar para discutirmos? > > > > Um abraço a todos! > > > > Mouse > > > ========================================================================= > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e > usar a lista em > > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > > ========================================================================= > > > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e > usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ========================================================================= > __________________________________________________ Do You Yahoo!? Tired of spam? Yahoo! Mail has the best spam protection around http://mail.yahoo.com ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================