Re: [obm-l] Sequencias de funcoes continuas (Rudin)
De fato eu tambem vi este problema mais geral numa
edicao do livro do Rudin. Eh uma edicao de um livro
compado em 2002.
Considerando a reta real, o problema que o Mouse
postou leva a uma conclusao interesante. Existe um
intervalo, logo um intervalo compacto I, no qual
|f[n](x)| M para todo n e todo x. As funcoes f[n]
sao continuas e, portanto, Lebesgue e Riemann
integraveis em I. As integrais de Riemann e de
Lebesgue, portanto, coincidem. A seq. f[n] eh dominada
em I por M, logo pela funcao constante g(x) = M, que
eh integravel em I. Pelo teorema da convergencia
dominada de Lebesgue, a funcao limite f eh Lebesgue
integravel em I e a seq. das integrais de Lebesgue
(que se igualam aas de Riemann ) das funcoes f[n] em I
converge para a integral de Lebesgue de f. f tambem eh
dominada por M, logo limitada em I. Mas serah que eh
Riemann integravel em I? Se o conjunto das
descontinuidades de f em I tiver medida de Lebesgue
nula, a resposta eh sim, mas nao sei se isso eh
verdade. O conjunto destas descontinuidades eh magro
na classificacao de Baire, mas isto nao implica que
tenha mnedida nula.
Artur
--- niski lista [EMAIL PROTECTED] wrote:
É engraçado que esse exercicio que o Artur citou
estava na segunda
edicao do Real and Complex analysis. Na terceira o
Rudin simplificou e
só deixou a que o Mouse postou.
On 6/29/06, Artur Costa Steiner
[EMAIL PROTECTED] wrote:
O conjunto F(K) eh fechado porque F(K) = Inter
(n=1,
oo) {x | |f[n](x| = K}. A continuidade de f[n]
implica que cada um dos conjuntos desta colecao
seja
fechado, o que, por sua vez implica, que F(k) seja
fechado.
Um ponto interessante eh que este teorema nao se
limita ao conjunto dos reais. A mesma prova mostra
que, se X eh um espaco de Baire, Y eh um espaco
metrico normado e f[n] eh uma sequencia de funcoes
continuas de X em Y que convirja em todo o X,
entao
existem um aberto V em X e M0 tais que
||f[n](x||
M para todo natural n e todo x em V.
Artur
--- niski lista [EMAIL PROTECTED] wrote:
Assim,
Considere F[K] = {x | |f[n](x)| = K, pra qq n
0}.
F[K] é fechado. Deixo pra voce verificar isso.
Ora, mas R = U F[K], uniao tomada de K = 1, ateh
infinito, nos naturais.
O teorema de baire garante que para algum desses
F[K] tem possui um
subconjunto aberto de interior nao vazio. Seja
F[M]
este conjunto.
Extraia do seu subconjunto aberto de interior
nao
vazio um intervalo
I. Ora, I esta contido em F[M] e por definicao
para
todo x em I, vale
que |f[n](x) = M|. Como queriamos.
On 6/28/06, Mouse [EMAIL PROTECTED] wrote:
Olá pessoal! Esta é a minha primeira mensagem
na
Lista. Sou engenheiro
de formação mas há algum tempo venho estudando
análise matematica por
hobby.
Este problema que estou enviando para a lista
é do
livro de Walter
Rudin, Real and Complex analysis. É o 13 do
capitulo 5, acredito que
ninguem nesta lista tenha problemas com ingles
entao vou deixar o
enunciado na forma original.
Let {f[n]} be a sequence of continuous real
functions on the line which
converges at every point. Prove that there is
an
interval I and a number
M oo such that |f[n](x)| M for every x \in
I
and n = 1,2,3,...
Estou empacado nele há algumas semanas! Alguem
conhece a solucao ou pode
enviar para discutirmos?
Um abraço a todos!
Mouse
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RES: [obm-l] Bola no conjunto A - A
O teorema, na realidade, nao se restringe a conjuntos compactos, vale para
todo subconjunto de R^n que tenha medida (de Lebesgue) positiva. Para efeito
de demonstracao, podemos, entretanto, nos restringir a conjuntos compactos,
visto que todo subconjunto de R^n com medida positiva (sempre me referindo
aa medida de Lebesgue)contem um compacto com medida tambem positiva. Como B
contido em A implica que B - B esteja contido em A - A, eh imediato que
basta considerarmos conjuntos compactos. A demonstracao que eu conheco
baseia-se neste lema. Se houver interesse, eu possa apresenta-la mais tarde.
Eh muito bonita, exigindo que se conhecam os fundamentos da teoria de
medidas e diversos outros teoremas a respeito de conjuntos mensuraveis.
Conhecidos estes teoremas, eu diria que o entendimento da demonstracao exige
um esforco cerebral de 3 neuris, onde 1 neuril eh definido como o esforco
mental que um bom aluno de nivel medio deve fazer para entender a classica
demonstracao de que raiz(2) eh irracional.
Eu jah vi o fato que vc cita ser empregado para demonstrar que o chamado
conjunto de Vitali nao eh mensuravel.
Artur
-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
nome de Sandra
Enviada em: quinta-feira, 29 de junho de 2006 21:07
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Bola no conjunto A - A
Oi pessoal, eu tenho uma dúvida, talvez alguem possa ajudar. Eu li que se um
conjunto compacto A de R^n tem medida positiva, então o conjunto A - A = {x
- y | x e y estao em A} contem uma bola com centro na origem. A prova disso
nao parece facil, alguem a conhece? O teorema só vale para conjuntos
compactos?
Obrigada
Sandra
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Re: [obm-l] Bola no conjunto A - A
O teorema, na realidade, nao se restringe a conjuntos
compactos, vale para todo subconjunto de R^n que tenha
medida (de Lebesgue) positiva. Para efeito de
demonstracao, podemos, entretanto, nos restringir a
conjuntos compactos, visto que todo subconjunto de R^n
com medida positiva (sempre me referindo aa medida de
Lebesgue)contem um compacto com medida tambem
positiva. Como B contido em A implica que B - B esteja
contido em A - A, eh imediato que basta considerarmos
conjuntos compactos. A demonstracao que eu conheco
baseia-se neste lema. Se houver interesse, eu possa
apresenta-la mais tarde. Eh muito bonita, exigindo que
se conhecam os fundamentos da teoria de medidas e
diversos outros teoremas a respeito de conjuntos
mensuraveis. Conhecidos estes teoremas, eu diria que o
entendimento da demonstracao exige um esforco cerebral
de 3 neuris, onde 1 neuril eh definido como o esforco
mental que um bom aluno de nivel medio deve fazer para
entender a classica demonstracao de que raiz(2) eh
irracional.
Eu jah vi o fato que vc cita ser empregado para
demonstrar que o chamado conjunto de Vitali nao eh
mensuravel.
Artur
--- Sandra [EMAIL PROTECTED] wrote:
Oi pessoal, eu tenho uma dúvida, talvez alguem possa
ajudar. Eu li que se um conjunto compacto A de R^n
tem medida positiva, então o conjunto A - A = {x - y
| x e y estao em A} contem uma bola com centro na
origem. A prova disso nao parece facil, alguem a
conhece? O teorema só vale para conjuntos compactos?
Obrigada
Sandra
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