Re:Res: [obm-l] SEQUENCIAS II
b_k - 0 significa que lim(k - infinito) b_k = 0 Isso quer dizer que, dado eps 0, existe n_1 em N (conjunto dos naturais) tal que: se k n_1 entao |b_k - 0| = |b_k| eps. Em portugues: dizer que b_k tende a 0 significa dizer que, para todos os k suficientemente grandes, b_k estarah tao proximo de zero quanto quisermos. Esta eh simplesmente a definicao de limite de uma sequencia. Que tal entrar no Google e digitar: Cesaro sum? De qualquer forma, a soma de Cesaro de uma sequencia (a_n) eh, por definicao, a sequencia (b_n) dada por: b_n = (a_1+a_2+...+a_n)/n. Eu disse que eh manjadissima porque praticamente todos os livros de analise demonstram ou pedem, como exercicio, a demonstracao do resultado abaixo: se a_n - a, entao b_n - a. Tambem pode acontecer de (a_n) divergir mas (b_n) convergir. Voce consegue dar um exemplo disso? []s, Claudio. -- Cabeçalho original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Mon, 9 Apr 2007 12:17:33 -0700 (PDT) Assunto: Res: [obm-l] SEQUENCIAS II Ola Claudio, não entendi b_k - 0 == existe n_1 tal que k n_1 implica |b_k| eps/2. o que é n_1? pq vc tomou kn_1? pq |b_k|eps/2? Nao encontrei nada sobre essa soma de Cesaro. vlw. - Mensagem original De: claudio.buffara [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Domingo, 8 de Abril de 2007 13:46:28 Assunto: Re:[obm-l] SEQUENCIAS II -- Cabeçalho original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Thu, 5 Apr 2007 10:43:56 -0700 (PDT) Assunto: [obm-l] SEQUENCIAS II Suponha que a_n--a. Mostre que : 1/n*sum_(k=1, n) a_k--a. Essa eh a manjadissima soma de Cesaro. Para cada k, seja b_k = a_k - a. Como a_k - a, b_k - 0. Seja eps 0. b_k - 0 == existe n_1 tal que k n_1 implica |b_k| eps/2. Fixado n_1, existe n_2 n_1 tal que k n_2 implica |b_1+...+b_(n_1)|/k eps/2. Mas entao, tomando k n_2, teremos: |b_1 + b_2 + ... + b_(n_1) + b_(n_1+1) + ... + b_k|/k = |b_1 + ... + b_(n_1)|/k + (|b_(n_1+1)| + ... + |b_k|)/k eps/2 + (k - n_1)*(eps/2)/k eps/2 + eps/2 = eps. Ou seja, (b_1+...+b_k)/k - 0 == (a_1+...+a_k)/k - a. Suponha que 0=a_1=a_2=.=a_k. Calcule lim(n-oo) (a_1^n+a_2^n+a_3^n+..+a_k^n)1/n. Vou supor que a expressao eh a raiz n-esima da soma das n-esimas potencias dos a_i. Se todos os a_k forem 0, entao o limite eh zero. Caso contrario, escreva: a_1^n + ... + a_k^n = a_k^n*((a_1/a_k)^n + ... + (a_(k-1)/a_k)^n + 1). Isso implica que a_k^n = a_1^n + ... + a_k^n = k*a_k^n == a_k = (a_1^n + ... + a_k^n)^(1/n) = k^(1/n)*a_k. Fazendo n - infinito e usando o teorema do sanduiche, concluimos que o limite procurado eh igual a a_k. (alias, essa eh a razao pela qual a norma do maximo eh chamada de norma infinito - repare que se n = 1, teremos a norma da soma e se n = 2, a norma euclidiana usual do R^k). Um problema correlato eh encarar n como uma variavel real e fazer n - 0+. O limite nesse caso eh um pouco mais surpreendente. []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Off-Topic mas nem tanto...
Pro pessoal de exatas... LEITE Por que o queijo e a manteiga são derivadas do leite? Porque o leite é integral! - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - JESUS Jesus disse a seus apóstolos: - Irmãos, y = ax²+bx+c... Os apóstolos, confusos, responderam: - Mas, senhor... o que é isso? Jesus disse: - Apenas uma parábola. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - VOVÔ Estavam o avô e o neto conversando, quando o neto diz: - Ah vovô eu vou desistir de engenharia, não consigo terminar! E o avô retruca para o neto: - Você pode desistir, mas eu vou continuar! - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - FESTA (Essa é a campeã) Uma vez houve uma festa com todas as funções... estavam lá, todos se divertindo, menos o e^x, que estava meio isolado. Então chegaram pro e^x e perguntaram: - Por que você não se integra? E ele respondeu: - Ah, dá na mesma... - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - PROFISSÃO MAIS ANTIGA Um médico, um administrador e um engenheiro discutiam sobre qual seria a mais antiga das profissões. O médico: - Está na Bíblia - Deus criou Eva a partir de uma costela de Adão. Houve, então, um procedimento cirúrgico o que prova que a minha profissão é a mais antiga. O administrador: - Lá no Gênesis está escrito que Deus criou o céu e a terra a partir do caos. Não há dúvidas de que isso requer um bom conhecimento de Administração. O engenheiro: - E quem vocês acham que criou o caos? - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - RAPIDINHAS O que foi que um vetor disse pro outro? - Um momento, por favor! O que é um menino complexo? - É o que tem a mãe real e o pai imaginário. O Engenheiro e a Teologia: - Deus é real, a não ser que seja declarado inteiro. O que é um urso polar? - É um urso retangular, depois de uma troca de coordenadas. (Muito boa!!) Para uma pessoa otimista, o copo está meio-cheio. Para um pessimista, ele está meio-vazio. Para um engenheiro ele está super-dimensionado. Como se desmaia um vetor? - Apaga a pontinha que ele perde o sentido. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - VOCÊ É UM ENGENHEIRO SE... - Você sabe calculo vetorial, mas não lembra como fazer uma divisão com números decimais. - Você tem uma calculadora cientifica e conhece TODAS as suas funções. - Você já usou o AutoCAD para projetar uma pipa para o seu filho. - Você passa horas realizando o relatório de um experimento que durou alguns minutos. - Você tem um bichinho de estimação com o nome de um grande cientista. - Você ri de piadas sobre matemáticos. - Você considera qualquer curso não-científico fácil. - Você não entende como algumas pessoas podem achar difícil programar um videocassete. - Você assistiu Apollo 13 e achou que os verdadeiros heróis foram os caras no Controle da Missão. (Mas é claro) - Você assume que um cavalo é equivalente a uma esfera para facilitar os cálculos. - Uma criança de quatro anos lhe pergunta por que o céu e azul e você tenta explicar toda a teoria da absorção atmosférica. - Você vai a uma loja de informática e os vendedores não conseguem responder suas perguntas. - Você costuma assobiar a musica tema de MacGyver. - O que você mais gosta no Natal é montar os brinquedos das crianças. - Você já tentou consertar alguma coisa usando elásticos, clipes de papel e fita adesiva. - Seu PC vale mais do que um carro. - Você pode lembrar de 7 senhas de computador, mas não da data do aniversario da sua mãe. - Você sabe qual será o sentido de rotação da água quando puxar a descarga. - Você esta sendo processado pela Sociedade Protetora dos Animais por realmente ter realizado o experimento do Gato de Schrodinger. - Você SABE o que é o experimento do Gato de Schrodinger. - Você consegue digitar 70 palavras por minuto, mas não entende sua própria caligrafia. - Você já abriu alguma coisa só para ver como é por dentro. - Você guarda peças de eletrodomésticos estragados. - Você assiste filmes de ficção cientifica e fica procurando cenas que estão cientificamente incorretas. - Você tem o habito de estragar coisas tentando descobrir como elas funcionam. - Você não tem vida. E pode provar isso matematicamente. Não há limite: Integra pra Deus, porque dele tudo deriva. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] séries numéricas
Ola Claudio e demais colegas desta lista ... OBM-L, O carissimo Artur ja resolveu a questao usando o teste da integral. Mas nao ha problema em conhecer uma outra maneira de resolver a mesma questao. Aqui vai uma forma mais elementar : Como 3*log(3) 4*log(4) e 4*log(4) = 4*log(4), podemos inverter as 2 desigualdades e, a seguir, soma-las. Isto dara : 1/(3*log(3) ) + 1/(4*log(4)) 1/(4*log(4)) + 1/(4*log(4)) 1/(3*log(3) ) + 1/(4*log(4)) ( 1/(2*log(2)) )*(1/4 + 1/4) 1/(3*log(3) ) + 1/(4*log(4)) ( 1/(2*log(2)) )*(1/2) Como 5*log(5) 8*log(8) , 6*log(6) 8*log(8) , 7*log(7) 8*log(8) e 8*log(8) = 8*log(8), podemos inverter as 4 desigualdades e, a seguir, soma-las. Isto dara : 1(5*log(5)) + 1/(6*log(6)) + 1/(7*log(7)) + 1/(8*log(8)) ( 1/(2*log(2)) )*(1/3) Partindo agora de 9*log(9) 16*log(16), 10*log(10) 16*log(16) ... ate finalizar em 16*log(16) = 16*log(16), invertendo cada uma das 8 desigualdades e somando-as depois, chegaremos facilmente a : 1/(9*log(9)) + 1/(10*log(10)) + ... + 1/(16*log(16)) ( 1/(2*log(2)) )*(1/4 Somando tudo, e facil ver que : 1/2(log(2)) + 1/(3*log(3)) + ... + 1/(N*(log(N)) + ... ( 1/(2*log(2)) )*(1 + 1/2 + 1/3 + ... ) Como a serie da direita consabidamente diverge, pelo criterio de comparacao ( se nao me falha a memoria e o Teste M de Weiertrass ) segue que a serie da esquerda tambem diverge. Generalizano esta tecnica e prove o caso (N*log(N))^r E com os melhores votos de paz profunda, sou Paulo Santa Rita 3,150B,100407 Em 07/04/07, Claudio Gustavo[EMAIL PROTECTED] escreveu: Oi. Sou Claudio Gustavo e esta é a primeira vez que escrevo para esta lista. Gostaria de alguma dica para demonstrar que a soma de n=2 até infinito de 1/(n*logn) diverge e a soma 1/(n*(logn)^r), com r mairo que 1, converge. Tem alguma possibilidade de comparar com as somas harmônicas? Pois a soma 1/n diverge e 1/(n^r) converge para r maior que 1. Obrigado. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] SEQUENCIAS II
Ola Klaus, isto vem diretamente da definicao de lim b_k = 0 ... vejamos: lim a_k = L qualquer que seja eps0, existe n tal que k n implica |a_k - L| eps basta fazermos L=0, a_k = b_k e, ao inves de eps, vamos colocar eps/2 abracos, Salhab On 4/9/07, Klaus Ferraz [EMAIL PROTECTED] wrote: Ola Claudio, não entendi b_k - 0 == existe n_1 tal que k n_1 implica |b_k| eps/2. o que é n_1? pq vc tomou kn_1? pq |b_k|eps/2? Nao encontrei nada sobre essa soma de Cesaro. vlw. - Mensagem original De: claudio.buffara [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Domingo, 8 de Abril de 2007 13:46:28 Assunto: Re:[obm-l] SEQUENCIAS II -- Cabeçalho original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Thu, 5 Apr 2007 10:43:56 -0700 (PDT) Assunto: [obm-l] SEQUENCIAS II Suponha que a_n--a. Mostre que : 1/n*sum_(k=1, n) a_k--a. Essa eh a manjadissima soma de Cesaro. Para cada k, seja b_k = a_k - a. Como a_k - a, b_k - 0. Seja eps 0. b_k - 0 == existe n_1 tal que k n_1 implica |b_k| eps/2. Fixado n_1, existe n_2 n_1 tal que k n_2 implica |b_1+...+b_(n_1)|/k eps/2. Mas entao, tomando k n_2, teremos: |b_1 + b_2 + ... + b_(n_1) + b_(n_1+1) + ... + b_k|/k = |b_1 + ... + b_(n_1)|/k + (|b_(n_1+1)| + ... + |b_k|)/k eps/2 + (k - n_1)*(eps/2)/k eps/2 + eps/2 = eps. Ou seja, (b_1+...+b_k)/k - 0 == (a_1+...+a_k)/k - a. Suponha que 0=a_1=a_2=.=a_k. Calcule lim(n-oo) (a_1^n+a_2^n+a_3^n+..+a_k^n)1/n. Vou supor que a expressao eh a raiz n-esima da soma das n-esimas potencias dos a_i. Se todos os a_k forem 0, entao o limite eh zero. Caso contrario, escreva: a_1^n + ... + a_k^n = a_k^n*((a_1/a_k)^n + ... + (a_(k-1)/a_k)^n + 1). Isso implica que a_k^n = a_1^n + ... + a_k^n = k*a_k^n == a_k = (a_1^n + ... + a_k^n)^(1/n) = k^(1/n)*a_k. Fazendo n - infinito e usando o teorema do sanduiche, concluimos que o limite procurado eh igual a a_k. (alias, essa eh a razao pela qual a norma do maximo eh chamada de norma infinito - repare que se n = 1, teremos a norma da soma e se n = 2, a norma euclidiana usual do R^k). Um problema correlato eh encarar n como uma variavel real e fazer n - 0+. O limite nesse caso eh um pouco mais surpreendente. []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re:Res: [obm-l] SEQUENCIAS II
Oi, Klaus:
Sem querer ser chato (mas provavelmente sendo...):
Como você pode demonstrar que uma sequência convergente (a_n) e a soma de
Cesaro correspondente ((a_1+...+a_n)/n) têm o mesmo limite se, aparentemente,
você nem sabe a definição precisa de limite de uma sequência?
[]s,
Claudio.
De:[EMAIL PROTECTED]
Para:obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data:Mon, 9 Apr 2007 15:58:35 -0700 (PDT)
Assunto:Res: [obm-l] SEQUENCIAS II
Valeu Bruno França. Tah meio complicado pra eu entender. Mas de qualquer forma
valeu.
- Mensagem original
De: Bruno França dos Reis [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Segunda-feira, 9 de Abril de 2007 18:22:29
Assunto: Re: [obm-l] SEQUENCIAS II
Isso aí vem da definição de limite. Seria bom vc tê-la muito clara em sua
mente antes de tentar tais demonstrações.
Veja só:
Dizemos que a_k -- L quando k -- o se, para cada eps 0 existir um natural
N tal que para todo n N teremos |a_n - L| eps.
Ou seja: escolha uma distância ao ponto L (ie, um intervalinho centrado em L,
com o tamanho que vc quiser); vc então verificará que a partir de certo
instante, para algum N suficientemente grande, todos os elementos
subsequêntes da sua seqüência cairão dentro desse intervalinho. Se isso
ocorrer para qualquer tamanho de intervalinho, por menor que seja, então
diremos que a_k tende a L qd k -- 0 (essa é a definiçãoa de limite de
maneira informal e em texto).
Pois bem, se b_k -- 0, isso quer dizer que para cada eps 0 podemos
encontrar N natural tal que n N == |b_n - 0| eps == |b_n| eps, isso
pela própria definição de limite, concorda?
Muito bem, se podemos garantir que existe esse número N tal que todos os
elementos a partir do N-ésimo caem todos a uma distância de no máximo eps do
pto 0, então podemos dizer o mesmo para uma outra distância, por exemplo,
eps/2. A essa nova distância corresponderá um outro número N', possivelmente
maior que N (isso é MUITO informal, mas só pra ficar mais fácil de
visualizar), tal que a partir do N'-ésimo elemento, todos estarão no máximo à
distância eps/2.
Agora vc pode se perguntar, de onde veio esse eps/2? E pq ele falou de um
n_1? Isso é um artifício muito usado em demonstrações que envolvem uso de
limites, quando há somas, por exemplo. Se vc quiser demonstrar que a_n -- A
e b_n - B implica (a_n + b_n) - (A+B) (o que não é trivial), vc argumenta
mais ou menos assim: para qualquer eps positivo, podemos encontrar um natural
n_1 tal que todo mundo da sequência {a}, a partir desse n_1-ésimo elemento,
estará à distância máxima de eps/2 do número A. Da mesma forma, tomamos n_2
para a seq. {b} de forma que a partir desse n_2-ésimo elemento, todo mundo
estará à dist. max. de eps/2 do número B. Agora, se vc pegar o maior dos dois
naturais n_1 e n_2 (chamemos de N), então com certeza, a partir de N, para
qualquer uma das seqüências, estaremos a uma dist. de no máximo eps/2 do
respectivo limite. Agora se vc pegar a seq. c_n = a_n + b_n, a partir desse N
estaremos à distância eps/2 + eps/2 = eps do valor A+B. Assim vemos que para
qualquer eps, podemos encontrar um natural N tal que a partir dele, a seq.
c_n = a_n + b_n estará a no máximo uma distância eps de A+B!!!
Entendeu a idéia? Agora consegue entender essa passagem?
Até mais
Bruno França dos Reis
On 4/9/07, Klaus Ferraz [EMAIL PROTECTED] wrote:
Ola Claudio,
não entendi b_k - 0 == existe n_1 tal que k n_1 implica |b_k| eps/2.
o que é n_1? pq vc tomou kn_1? pq |b_k|eps/2?
Nao encontrei nada sobre essa soma de Cesaro.
vlw.
- Mensagem original
De: claudio.buffara [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Domingo, 8 de Abril de 2007 13:46:28
Assunto: Re:[obm-l] SEQUENCIAS II
-- Cabeçalho original ---
De: [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data: Thu, 5 Apr 2007 10:43:56 -0700 (PDT)
Assunto: [obm-l] SEQUENCIAS II
Suponha que a_n--a. Mostre que :
1/n*sum_(k=1, n) a_k--a.
Essa eh a manjadissima soma de Cesaro.
Para cada k, seja b_k = a_k - a. Como a_k - a, b_k - 0.
Seja eps 0.
b_k - 0 == existe n_1 tal que k n_1 implica |b_k| eps/2.
Fixado n_1, existe n_2 n_1 tal que k n_2 implica |b_1+...+b_(n_1)|/k
eps/2.
Mas entao, tomando k n_2, teremos:
|b_1 + b_2 + ... + b_(n_1) + b_(n_1+1) + ... + b_k|/k =
|b_1 + ... + b_(n_1)|/k + (|b_(n_1+1)| + ... + |b_k|)/k
eps/2 + (k - n_1)*(eps/2)/k eps/2 + eps/2 = eps.
Ou seja, (b_1+...+b_k)/k - 0 == (a_1+...+a_k)/k - a.
Suponha que 0=a_1=a_2=.=a_k. Calcule
lim(n-oo) (a_1^n+a_2^n+a_3^n+..+a_k^n)1/n.
Vou supor que a expressao eh a raiz n-esima da soma das n-esimas potencias dos
a_i.
Se todos os a_k forem 0, entao o limite eh zero.
Caso contrario, escreva:
a_1^n + ... + a_k^n = a_k^n*((a_1/a_k)^n + ... + (a_(k-1)/a_k)^n + 1).
Isso implica que a_k^n = a_1^n + ... + a_k^n = k*a_k^n ==
a_k = (a_1^n + ... + a_k^n)^(1/n) = k^(1/n)*a_k.
Fazendo n - infinito e usando o teorema do sanduiche,
[obm-l] Potências
[ OCM - 1997 ] Se x^2 + x + 1 = 0 , calcule o valor numérico de ( x + 1 / x )^2 + ( x^2 + 1 / x ^2)^2 + ... + ( x^27 + 1 / x ^27)^2 . _ Chegou o Windows Live Spaces com rede social. Confira http://spaces.live.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Off-Topic mas nem tanto...
Excelentes! Tentando contribuir com esse brilhante acervo, trancrevo abaixo uma que ouvi e achei muito engraçada: O cosseno cos(x) estava conversando com a exponencial exp(x), quando, de repente: - corre porque a derivada tá vindo aí e ela vai modificar a gente! - comigo não tem problema!... Minutos depois chega a derivada e pergunta à exp(x) porque ela não fugiu como seu amigo cosseno; - Não tem problema, você não me faz nada, eu sou a exponencial em x!... - Aha!, diz a derivada, mas eu sou a derivada em y !... Sds., Fernando Em 10/04/07, Rafael [EMAIL PROTECTED] escreveu: Muito boas mesmo. - Você assume que um cavalo é equivalente a uma esfera para facilitar os cálculos. Essa ai acima chega a ser impressionante. On 4/10/07, claudio.buffara [EMAIL PROTECTED] wrote: Pro pessoal de exatas... LEITE Por que o queijo e a manteiga são derivadas do leite? Porque o leite é integral! - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - JESUS Jesus disse a seus apóstolos: - Irmãos, y = ax²+bx+c... Os apóstolos, confusos, responderam: - Mas, senhor... o que é isso? Jesus disse: - Apenas uma parábola. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - VOVÔ Estavam o avô e o neto conversando, quando o neto diz: - Ah vovô eu vou desistir de engenharia, não consigo terminar! E o avô retruca para o neto: - Você pode desistir, mas eu vou continuar! - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - FESTA (Essa é a campeã) Uma vez houve uma festa com todas as funções... estavam lá, todos se divertindo, menos o e^x, que estava meio isolado. Então chegaram pro e^x e perguntaram: - Por que você não se integra? E ele respondeu: - Ah, dá na mesma... - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - PROFISSÃO MAIS ANTIGA Um médico, um administrador e um engenheiro discutiam sobre qual seria a mais antiga das profissões. O médico: - Está na Bíblia - Deus criou Eva a partir de uma costela de Adão. Houve, então, um procedimento cirúrgico o que prova que a minha profissão é a mais antiga. O administrador: - Lá no Gênesis está escrito que Deus criou o céu e a terra a partir do caos. Não há dúvidas de que isso requer um bom conhecimento de Administração. O engenheiro: - E quem vocês acham que criou o caos? - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - RAPIDINHAS O que foi que um vetor disse pro outro? - Um momento, por favor! O que é um menino complexo? - É o que tem a mãe real e o pai imaginário. O Engenheiro e a Teologia: - Deus é real, a não ser que seja declarado inteiro. O que é um urso polar? - É um urso retangular, depois de uma troca de coordenadas. (Muito boa!!) Para uma pessoa otimista, o copo está meio-cheio. Para um pessimista, ele está meio-vazio. Para um engenheiro ele está super-dimensionado. Como se desmaia um vetor? - Apaga a pontinha que ele perde o sentido. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - VOCÊ É UM ENGENHEIRO SE... - Você sabe calculo vetorial, mas não lembra como fazer uma divisão com números decimais. - Você tem uma calculadora cientifica e conhece TODAS as suas funções. - Você já usou o AutoCAD para projetar uma pipa para o seu filho. - Você passa horas realizando o relatório de um experimento que durou alguns minutos. - Você tem um bichinho de estimação com o nome de um grande cientista. - Você ri de piadas sobre matemáticos. - Você considera qualquer curso não-científico fácil. - Você não entende como algumas pessoas podem achar difícil programar um videocassete. - Você assistiu Apollo 13 e achou que os verdadeiros heróis foram os caras no Controle da Missão. (Mas é claro) - Você assume que um cavalo é equivalente a uma esfera para facilitar os cálculos. - Uma criança de quatro anos lhe pergunta por que o céu e azul e você tenta explicar toda a teoria da absorção atmosférica. - Você vai a uma loja de informática e os vendedores não conseguem responder suas perguntas. - Você costuma assobiar a musica tema de MacGyver. - O que você mais gosta no Natal é montar os brinquedos das crianças. - Você já tentou consertar alguma coisa usando elásticos, clipes de papel e fita adesiva. - Seu PC vale mais do que um carro. - Você pode lembrar de 7 senhas de computador, mas não da data do aniversario da sua mãe. - Você sabe qual será o sentido de rotação da água quando puxar a descarga. - Você esta sendo processado pela Sociedade Protetora dos Animais por realmente ter realizado o experimento do Gato de Schrodinger. - Você SABE o que é o experimento do Gato de Schrodinger. - Você consegue digitar 70 palavras por minuto, mas não entende sua própria caligrafia. - Você já abriu alguma coisa só para ver como é por dentro. - Você guarda
Re: [obm-l] Off-Topic mas nem tanto...
Então aí vai uma de topologia algébrica: Em uma festa, todos os asteriscos foram convidados. O ponto final tentou entrar mas o ponto de exclamação, que era o segurança recusou: ( ponto de exclamação) -- O senhor não pode entrar, a festa é somente para os * ( ponto final ) -- Mas eu sou um *. ( ponto de exclamação) -- Onde estão seus cabelos ? ( ponto final ) -- Eu passei gel. On 4/10/07, claudio.buffara [EMAIL PROTECTED] wrote: Pro pessoal de exatas... LEITE Por que o queijo e a manteiga são derivadas do leite? Porque o leite é integral! - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - JESUS Jesus disse a seus apóstolos: - Irmãos, y = ax²+bx+c... Os apóstolos, confusos, responderam: - Mas, senhor... o que é isso? Jesus disse: - Apenas uma parábola. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - VOVÔ Estavam o avô e o neto conversando, quando o neto diz: - Ah vovô eu vou desistir de engenharia, não consigo terminar! E o avô retruca para o neto: - Você pode desistir, mas eu vou continuar! - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - FESTA (Essa é a campeã) Uma vez houve uma festa com todas as funções... estavam lá, todos se divertindo, menos o e^x, que estava meio isolado. Então chegaram pro e^x e perguntaram: - Por que você não se integra? E ele respondeu: - Ah, dá na mesma... - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - PROFISSÃO MAIS ANTIGA Um médico, um administrador e um engenheiro discutiam sobre qual seria a mais antiga das profissões. O médico: - Está na Bíblia - Deus criou Eva a partir de uma costela de Adão. Houve, então, um procedimento cirúrgico o que prova que a minha profissão é a mais antiga. O administrador: - Lá no Gênesis está escrito que Deus criou o céu e a terra a partir do caos. Não há dúvidas de que isso requer um bom conhecimento de Administração. O engenheiro: - E quem vocês acham que criou o caos? - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - RAPIDINHAS O que foi que um vetor disse pro outro? - Um momento, por favor! O que é um menino complexo? - É o que tem a mãe real e o pai imaginário. O Engenheiro e a Teologia: - Deus é real, a não ser que seja declarado inteiro. O que é um urso polar? - É um urso retangular, depois de uma troca de coordenadas. (Muito boa!!) Para uma pessoa otimista, o copo está meio-cheio. Para um pessimista, ele está meio-vazio. Para um engenheiro ele está super-dimensionado. Como se desmaia um vetor? - Apaga a pontinha que ele perde o sentido. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - VOCÊ É UM ENGENHEIRO SE... - Você sabe calculo vetorial, mas não lembra como fazer uma divisão com números decimais. - Você tem uma calculadora cientifica e conhece TODAS as suas funções. - Você já usou o AutoCAD para projetar uma pipa para o seu filho. - Você passa horas realizando o relatório de um experimento que durou alguns minutos. - Você tem um bichinho de estimação com o nome de um grande cientista. - Você ri de piadas sobre matemáticos. - Você considera qualquer curso não-científico fácil. - Você não entende como algumas pessoas podem achar difícil programar um videocassete. - Você assistiu Apollo 13 e achou que os verdadeiros heróis foram os caras no Controle da Missão. (Mas é claro) - Você assume que um cavalo é equivalente a uma esfera para facilitar os cálculos. - Uma criança de quatro anos lhe pergunta por que o céu e azul e você tenta explicar toda a teoria da absorção atmosférica. - Você vai a uma loja de informática e os vendedores não conseguem responder suas perguntas. - Você costuma assobiar a musica tema de MacGyver. - O que você mais gosta no Natal é montar os brinquedos das crianças. - Você já tentou consertar alguma coisa usando elásticos, clipes de papel e fita adesiva. - Seu PC vale mais do que um carro. - Você pode lembrar de 7 senhas de computador, mas não da data do aniversario da sua mãe. - Você sabe qual será o sentido de rotação da água quando puxar a descarga. - Você esta sendo processado pela Sociedade Protetora dos Animais por realmente ter realizado o experimento do Gato de Schrodinger. - Você SABE o que é o experimento do Gato de Schrodinger. - Você consegue digitar 70 palavras por minuto, mas não entende sua própria caligrafia. - Você já abriu alguma coisa só para ver como é por dentro. - Você guarda peças de eletrodomésticos estragados. - Você assiste filmes de ficção cientifica e fica procurando cenas que estão cientificamente incorretas. - Você tem o habito de estragar coisas tentando descobrir como elas funcionam. - Você não tem vida. E pode provar isso matematicamente. Não há limite: Integra pra Deus, porque dele tudo deriva. = Instruções para entrar na
Re: [obm-l] terceira fase, nivel 2, 2005
Olá Marcelo: 2006 * [ ... ] + 1003^2005 = 1003 * [ 2*(...) + 1003^2004 ] assim, o numero eh divisivel por 1003 falta mostrarmos que ainda eh divisivel por 2005 Ok, você somou as igualdades e colocou o 2006 em evidência, mas daqui para frente ficou confuso, pelo menos para mim. Será que não tem como fazer por congruência? Estava tentado isso agora pouco. Mas sua solução está bem legal. Estava tentando seguir essa linha sua mas achei complicado. Cara ... vc pensa rápido mesmo ! - mdc(2005, 1003) = mdc(1003, 1002) = mdc(1002, 1) = 1 opa.. sao primos relativos.. vamos analisar a expressao original entao: temos que mostrar que 2005 divide: 1^2005 + 2^2005 + 3^2005 + ... + 2004^2005 opa.. usando a mesma ideia do 2006, vamos ter: 2005 * [ ... ].. logo, eh divisivel por 2005 como eles sao primos relativos e 2005 e 1003 dividem o numero, entao: 1+2+3+...+2005 tbem divide! espero que nao tenha ficado mto confuso, abracos, Salhab On 4/9/07, Renato Sidnei [EMAIL PROTECTED] wrote: Questão da Obm do ano de 2005 para nivel de 5a. a 8a. série PROBLEMA 5 Prove que o número 1^2005+2^2005+3^2005+...+2005^2005 é múltiplo de 1+2+3+...+2005. Renato Sidnei [EMAIL PROTECTED] __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- - Analista de Desenvolvimento Conselho Regional de Engenharia, Arquitetura e Agronomia de SP.
[obm-l] Combinatória
Um mágico, se apresenta em público vestindo calça e paletó de cores diferentes. Para que ele possa se apresentar em 24 sessões com conjuntos diferentes, o número mínimo de peças (número de paletós mais número de calças) de que ele precisa é: a) 24 b) 11 c) 12 d) 10 e) 8 -- Bjos, Bruna
[obm-l] Combinatória II
Se dispomos dos algarismos 2, 3, 4, 6 e 9, quantos números de 4 dígitos distintos pode-se formar de modo que este seja múltiplo de 3? -- Bjos, Bruna
Res: Res: [obm-l] SEQUENCIAS II
Vlw Claudio, vou pensar! - Mensagem original De: claudio.buffara [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Terça-feira, 10 de Abril de 2007 7:50:54 Assunto: Re:Res: [obm-l] SEQUENCIAS II b_k - 0 significa que lim(k - infinito) b_k = 0 Isso quer dizer que, dado eps 0, existe n_1 em N (conjunto dos naturais) tal que: se k n_1 entao |b_k - 0| = |b_k| eps. Em portugues: dizer que b_k tende a 0 significa dizer que, para todos os k suficientemente grandes, b_k estarah tao proximo de zero quanto quisermos. Esta eh simplesmente a definicao de limite de uma sequencia. Que tal entrar no Google e digitar: Cesaro sum? De qualquer forma, a soma de Cesaro de uma sequencia (a_n) eh, por definicao, a sequencia (b_n) dada por: b_n = (a_1+a_2+...+a_n)/n. Eu disse que eh manjadissima porque praticamente todos os livros de analise demonstram ou pedem, como exercicio, a demonstracao do resultado abaixo: se a_n - a, entao b_n - a. Tambem pode acontecer de (a_n) divergir mas (b_n) convergir. Voce consegue dar um exemplo disso? []s, Claudio. -- Cabeçalho original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Mon, 9 Apr 2007 12:17:33 -0700 (PDT) Assunto: Res: [obm-l] SEQUENCIAS II Ola Claudio, não entendi b_k - 0 == existe n_1 tal que k n_1 implica |b_k| eps/2. o que é n_1? pq vc tomou kn_1? pq |b_k|eps/2? Nao encontrei nada sobre essa soma de Cesaro. vlw. - Mensagem original De: claudio.buffara [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Domingo, 8 de Abril de 2007 13:46:28 Assunto: Re:[obm-l] SEQUENCIAS II -- Cabeçalho original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Thu, 5 Apr 2007 10:43:56 -0700 (PDT) Assunto: [obm-l] SEQUENCIAS II Suponha que a_n--a. Mostre que : 1/n*sum_(k=1, n) a_k--a. Essa eh a manjadissima soma de Cesaro. Para cada k, seja b_k = a_k - a. Como a_k - a, b_k - 0. Seja eps 0. b_k - 0 == existe n_1 tal que k n_1 implica |b_k| eps/2. Fixado n_1, existe n_2 n_1 tal que k n_2 implica |b_1+...+b_(n_1)|/k eps/2. Mas entao, tomando k n_2, teremos: |b_1 + b_2 + ... + b_(n_1) + b_(n_1+1) + ... + b_k|/k = |b_1 + ... + b_(n_1)|/k + (|b_(n_1+1)| + ... + |b_k|)/k eps/2 + (k - n_1)*(eps/2)/k eps/2 + eps/2 = eps. Ou seja, (b_1+...+b_k)/k - 0 == (a_1+...+a_k)/k - a. Suponha que 0=a_1=a_2=.=a_k. Calcule lim(n-oo) (a_1^n+a_2^n+a_3^n+..+a_k^n)1/n. Vou supor que a expressao eh a raiz n-esima da soma das n-esimas potencias dos a_i. Se todos os a_k forem 0, entao o limite eh zero. Caso contrario, escreva: a_1^n + ... + a_k^n = a_k^n*((a_1/a_k)^n + ... + (a_(k-1)/a_k)^n + 1). Isso implica que a_k^n = a_1^n + ... + a_k^n = k*a_k^n == a_k = (a_1^n + ... + a_k^n)^(1/n) = k^(1/n)*a_k. Fazendo n - infinito e usando o teorema do sanduiche, concluimos que o limite procurado eh igual a a_k. (alias, essa eh a razao pela qual a norma do maximo eh chamada de norma infinito - repare que se n = 1, teremos a norma da soma e se n = 2, a norma euclidiana usual do R^k). Um problema correlato eh encarar n como uma variavel real e fazer n - 0+. O limite nesse caso eh um pouco mais surpreendente. []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
Re: [obm-l] Combinatória II
Bruna Carvalho escreveu: Se dispomos dos algarismos 2, 3, 4, 6 e 9, quantos números de 4 dígitos distintos pode-se formar de modo que este seja múltiplo de 3? -- Bjos, Bruna Para ser múltiplo de 3, a soma dos algarismos deve ser múltiplo de 3. Isso acontece com: (2,3,4,6); (2,3,4,9);( 2,4,6,9) pois, a soma dos algarimos de cada grupo vale 15, 18 e 21 respectivamente. Cada grupo poderá formar 4! números distintos. Portanto, o total de números distintos múltiplos de 3 será 3.4! , ou seja, 72. Abraços, Emanuel Valente. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re:[obm-l] diofantina
Um ponto de partida pode ser:
http://www.sfb013.uni-linz.ac.at/reports/2004/pdf-files/rep_04-32_pilnikova.pdf
[]s,
Claudio.
-- Cabeçalho original ---
De: [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data: Mon, 9 Apr 2007 19:00:06 -0300
Assunto: [obm-l] diofantina
Para resolver a eq. diofantina:
a*x^2 + b*y^2 + c*z^2 = 0
Temos o teorema de legendre.
Gostaria de saber se existe algum resultado mais geral , para soma de vario
quadrados
Para
sum_{i=1}_{k} (a_i*X_i^2)
Se a resposta for sim gostaria tambem das referencias
=
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Re: [obm-l] Potências
Ola, veja: (a + 1/a)^2 = a^2 + 1/a^2 + 2 assim: Sum (k=1 - 27) (x^k + 1/x^k)^2 = Sum (k=1 -27) (x^(2k) + 1/x^(2k) + 2) = = Sum (k=1 -27) (x^(2k) + 1/x^(2k)) + 54 = = Sum (k=1 -27) [x^(2k)] + Sum(k=1-27) [1/x^(2k)] + 54 opa.. temos 2 somatorios de PG finita, logo: = x^2*[x^54 - 1]/[x^2 - 1] + (1/x^2)*[1/x^54 - 1]/[1/x^2 - 1] + 54 mas: (1/x^2)*[1/x^54 - 1]/[1/x^2 - 1] = [1/x^54 - 1]/[1-x^2] = (1/x^54)*[1-x^54]/[1-x^2] = = (1/x^54)*[x^54 - 1]/[x^2 - 1] substituindo temos: = x^2*[x^54 - 1]/[x^2 - 1] + (1/x^2)*[1/x^54 - 1]/[1/x^2 - 1] + 54 = = x^2*(x^54 - 1)/(x^2 - 1) + (1/x^54)*(x^54 - 1)/(x^2 - 1) + 54 = = (x^2 + 1/x^54)*(x^54 - 1)/(x^2 - 1) + 54 cara, nao sei c errei alguma conta.. mas acho q esta perto do fim já.. nao consegui fechar a questao.. dps eu tento de novo e se eu tiver alguma ideia eu mando.. abracos, Salhab On 4/10/07, Fabio Honorato dos Santos [EMAIL PROTECTED] wrote: [ OCM - 1997 ] Se x^2 + x + 1 = 0 , calcule o valor numérico de ( x + 1 / x )^2 + ( x^2 + 1 / x ^2)^2 + ... + ( x^27 + 1 / x ^27)^2 . _ Chegou o Windows Live Spaces com rede social. Confira http://spaces.live.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Combinatória
Ola, seja x o numero de calcas e y o numero peletos.. entao ele pode se apresentar com x*y conjuntos.. queremos que xy = 24... vamos dizer que xy = r.. queremos minimizar x+y.. usando desigualdade das medias, temos: x+y = 2*sqrt(xy) = 2*sqrt(r) x+y = 2*sqrt(r) o menor valor de r é 24... logo: x+y = 2*sqrt(24) queremos o menor inteiro maior ou igual a 2*sqrt(24)... e ele é: 10 logo: x+y = 10 letra D abracos, Salhab On 4/10/07, Bruna Carvalho [EMAIL PROTECTED] wrote: Um mágico, se apresenta em público vestindo calça e paletó de cores diferentes. Para que ele possa se apresentar em 24 sessões com conjuntos diferentes, o número mínimo de peças (número de paletós mais número de calças) de que ele precisa é: a) 24 b) 11 c) 12 d) 10 e) 8 -- Bjos, Bruna = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Potências
achoque fiz uma conta errada o que da meio sao 19 somente 32+19=51 On 4/10/07, saulo nilson [EMAIL PROTECTED] wrote: x^2+x+1=0 delta=-3 x=(-1+-iraiz3)/2 x=-1/2+-iraiz3/2 x1=cos120+isen120 x2=cos210+isen210 o modulo dos numeros complexos e 1, lembrando da propriedade bem conhecida, que e z^n+1/z^n=2cosnteta onde teta e o argumento ai vamos ter substituindo na equaçao pomos o 4 em evidencia , sobrando cos120^2+cos2*120^2+cos^23*120+,,,+cos^2 27*120 lembranbdo que 120=360/3 achoque agora e so contar, os valores vao varia entre 1 e 1/2 somente como esta ao quadrado entao o sinal nao importa multiplos de 3 3,6,9,12,15,18,24,27 todos esses cossennos vao dar 1 soma deles e 8 que vai dar 1/2, todos os outros 21*1/4 logo a soma total da 4*(8+21*1/4)=32+21=53 On 4/10/07, Fabio Honorato dos Santos [EMAIL PROTECTED] wrote: [ OCM - 1997 ] Se x^2 + x + 1 = 0 , calcule o valor numérico de ( x + 1 / x )^2 + ( x^2 + 1 / x ^2)^2 + ... + ( x^27 + 1 / x ^27)^2 . _ Chegou o Windows Live Spaces com rede social. Confira http://spaces.live.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Enicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] séries numéricas
Obrigado pelas soluções. Tb peguei a solução do Rudin. Abraço, CG. Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] escreveu: Ola Claudio e demais colegas desta lista ... OBM-L, O carissimo Artur ja resolveu a questao usando o teste da integral. Mas nao ha problema em conhecer uma outra maneira de resolver a mesma questao. Aqui vai uma forma mais elementar : Como 3*log(3) 4*log(4) e 4*log(4) = 4*log(4), podemos inverter as 2 desigualdades e, a seguir, soma-las. Isto dara : 1/(3*log(3) ) + 1/(4*log(4)) 1/(4*log(4)) + 1/(4*log(4)) 1/(3*log(3) ) + 1/(4*log(4)) ( 1/(2*log(2)) )*(1/4 + 1/4) 1/(3*log(3) ) + 1/(4*log(4)) ( 1/(2*log(2)) )*(1/2) Como 5*log(5) 8*log(8) , 6*log(6) 8*log(8) , 7*log(7) 8*log(8) e 8*log(8) = 8*log(8), podemos inverter as 4 desigualdades e, a seguir, soma-las. Isto dara : 1(5*log(5)) + 1/(6*log(6)) + 1/(7*log(7)) + 1/(8*log(8)) ( 1/(2*log(2)) )*(1/3) Partindo agora de 9*log(9) 16*log(16), 10*log(10) 16*log(16) ... ate finalizar em 16*log(16) = 16*log(16), invertendo cada uma das 8 desigualdades e somando-as depois, chegaremos facilmente a : 1/(9*log(9)) + 1/(10*log(10)) + ... + 1/(16*log(16)) ( 1/(2*log(2)) )*(1/4 Somando tudo, e facil ver que : 1/2(log(2)) + 1/(3*log(3)) + ... + 1/(N*(log(N)) + ... ( 1/(2*log(2)) )*(1 + 1/2 + 1/3 + ... ) Como a serie da direita consabidamente diverge, pelo criterio de comparacao ( se nao me falha a memoria e o Teste M de Weiertrass ) segue que a serie da esquerda tambem diverge. Generalizano esta tecnica e prove o caso (N*log(N))^r E com os melhores votos de paz profunda, sou Paulo Santa Rita 3,150B,100407 Em 07/04/07, Claudio Gustavo escreveu: Oi. Sou Claudio Gustavo e esta é a primeira vez que escrevo para esta lista. Gostaria de alguma dica para demonstrar que a soma de n=2 até infinito de 1/(n*logn) diverge e a soma 1/(n*(logn)^r), com r mairo que 1, converge. Tem alguma possibilidade de comparar com as somas harmônicas? Pois a soma 1/n diverge e 1/(n^r) converge para r maior que 1. Obrigado. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
Re: [obm-l] séries numéricas
Muito legal essa solução! E usa a mesma idéia da demonstração da série harmônica. Obrigado. Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] escreveu: Ola Claudio e demais colegas desta lista ... OBM-L, O carissimo Artur ja resolveu a questao usando o teste da integral. Mas nao ha problema em conhecer uma outra maneira de resolver a mesma questao. Aqui vai uma forma mais elementar : Como 3*log(3) 4*log(4) e 4*log(4) = 4*log(4), podemos inverter as 2 desigualdades e, a seguir, soma-las. Isto dara : 1/(3*log(3) ) + 1/(4*log(4)) 1/(4*log(4)) + 1/(4*log(4)) 1/(3*log(3) ) + 1/(4*log(4)) ( 1/(2*log(2)) )*(1/4 + 1/4) 1/(3*log(3) ) + 1/(4*log(4)) ( 1/(2*log(2)) )*(1/2) Como 5*log(5) 8*log(8) , 6*log(6) 8*log(8) , 7*log(7) 8*log(8) e 8*log(8) = 8*log(8), podemos inverter as 4 desigualdades e, a seguir, soma-las. Isto dara : 1(5*log(5)) + 1/(6*log(6)) + 1/(7*log(7)) + 1/(8*log(8)) ( 1/(2*log(2)) )*(1/3) Partindo agora de 9*log(9) 16*log(16), 10*log(10) 16*log(16) ... ate finalizar em 16*log(16) = 16*log(16), invertendo cada uma das 8 desigualdades e somando-as depois, chegaremos facilmente a : 1/(9*log(9)) + 1/(10*log(10)) + ... + 1/(16*log(16)) ( 1/(2*log(2)) )*(1/4 Somando tudo, e facil ver que : 1/2(log(2)) + 1/(3*log(3)) + ... + 1/(N*(log(N)) + ... ( 1/(2*log(2)) )*(1 + 1/2 + 1/3 + ... ) Como a serie da direita consabidamente diverge, pelo criterio de comparacao ( se nao me falha a memoria e o Teste M de Weiertrass ) segue que a serie da esquerda tambem diverge. Generalizano esta tecnica e prove o caso (N*log(N))^r E com os melhores votos de paz profunda, sou Paulo Santa Rita 3,150B,100407 Em 07/04/07, Claudio Gustavo escreveu: Oi. Sou Claudio Gustavo e esta é a primeira vez que escrevo para esta lista. Gostaria de alguma dica para demonstrar que a soma de n=2 até infinito de 1/(n*logn) diverge e a soma 1/(n*(logn)^r), com r mairo que 1, converge. Tem alguma possibilidade de comparar com as somas harmônicas? Pois a soma 1/n diverge e 1/(n^r) converge para r maior que 1. Obrigado. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
Re: [obm-l] Potências
x^2+x+1=0 delta=-3 x=(-1+-iraiz3)/2 x=-1/2+-iraiz3/2 x1=cos120+isen120 x2=cos210+isen210 o modulo dos numeros complexos e 1, lembrando da propriedade bem conhecida, que e z^n+1/z^n=2cosnteta onde teta e o argumento ai vamos ter substituindo na equaçao pomos o 4 em evidencia , sobrando cos120^2+cos2*120^2+cos^23*120+,,,+cos^2 27*120 lembranbdo que 120=360/3 achoque agora e so contar, os valores vao varia entre 1 e 1/2 somente como esta ao quadrado entao o sinal nao importa multiplos de 3 3,6,9,12,15,18,24,27 todos esses cossennos vao dar 1 soma deles e 8 que vai dar 1/2, todos os outros 21*1/4 logo a soma total da 4*(8+21*1/4)=32+21=53 On 4/10/07, Fabio Honorato dos Santos [EMAIL PROTECTED] wrote: [ OCM - 1997 ] Se x^2 + x + 1 = 0 , calcule o valor numérico de ( x + 1 / x )^2 + ( x^2 + 1 / x ^2)^2 + ... + ( x^27 + 1 / x ^27)^2 . _ Chegou o Windows Live Spaces com rede social. Confira http://spaces.live.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] lógica_negação e trigonometr ia
1) Como se nega esta proposição : para todo x, existe y, tal que, se x+y=5 e xy=6 então y0 2) O dominio de f(x)= sqrt [ 3 - arctg^2 x ]
