Re: [obm-l] Olímpiada. Nível 2. Fase 3.
Prezado Paulo Santa Rita: Como posso sentir amargura de tuas honestas palavras que buscam auxiliar-me. Tu que deixaste de realizar as atividades de teu interesse para ocupar-te com as minhas. E ainda, foste o único a tal ato. Em realidade, quando alguém sente amargor ao ouvir, tal sentimento não deriva diretamente do que ouve, mas de uma interpretação própria e particular do que escuta; essa interpretação, se implica tal sentido, é fruto do orgulho do próprio ouvinte, não está em quem explana. Portanto, obrigado. Estou tentando olhar o meu interior, como sugeres. E, com desassombro, exponho-o, pois, de forma distinta, não evoluo. Assim, digo: não tentei fazer demonstração por indução, mas buscar com k=3 e k=4 descobrir uma regra que me pudesse levar a uma demonstração direta para k=n. Eu sei que existem muitos casos, como, por exemplo, com k=3, conforme você exarou. No entanto, esses casos são todos semelhantes. Logo, creio que tratando de um, estarei tratando de todos, pois, os demais são repetição. As simbologias: J1, J2, J3 são genéricas, logo, há uma simetria entre elas. Assim, quando concluí que só pode existir J1J2, J2J3 e J3J1 (J1J2J3), sei que também há outros casos, mas esses outros estão inclusos nesse aí. Por exemplo: lógico que poderia ser J1J2, J2J3 e J3J1 (J3J1J2), mas chamando J3 de A1, J1 de A2 e J2 de A3, teríamos: A1A2A3, que é a mesma coisa. É isso que estou tentando dizer. Veja que, sempre, posso reorganizar os termos simétricos com outra nomenclatura de forma que os números apresentem-se em seqüência crescente, que não é melhor nem pior que qualquer outra, apenas me facilita. Para mim, 1, 2, 3 não são: (um, dois, três), e sim: o primeiro, o segundo, o terceiro, sempre nessa ordem, fixa, independentemente do nome das variáveis. Não fico apegado à linguagem, creio que a ordem é de mais valia, ela implica uma espécie de justiça (simetria) entre os símbolos. É razoável essa idéia? Muito grato, com sinceridade, sem fingimento. João. ** Ola Joao Carlos e demaiscolegas desta lista ... OBM-L,Releia a sua mensagem inicial ... Nela voce afirma que a UNICAHIPOTESE QUE NAO EXISTE e J1 J2, J2 J3 e J3 J1. Nao e verdadeisso. A hipotese adotada e que nao existe ciclos. Assim, tambem naopode existir, por exemplo : J3 J2, J2 J1 e J1 J3. De maneirageral, com 3 jogadores e possivel formar seis ciclos, veja :J1 J2 J3 J1J1 J3 J2 J1J2 J1 J3 J2J2 J3 J1 J2J3 J1 J2 J3J3 J2 J1 J3Ate aqui, com grande generosidade, ainda da pra aceitar. O que eu naocompreendo e a conclusao ... voce diz :-- Logo, so pode existir, J1J2, J2 J3 e J3 J1Acima mostrei que a sua suposicao inicial estava errada, pois ha seisciclos possiveis. Agora, afirmo que a sua conclusao tambem estaerrada, pois, admitindo que A UNICA HIPOTESE QUE NAO EXISTE e J1 J2, J2 J3 e J3 J1 nao se pode inferir que o unico resultadopossivel e J1J2, J2 J3 e J3 J1 ... Tambem podem existir, porexemplo :J1 J2, J2 J3 e J3 J1Entao, como voce ve, voce faz uma suposicao errada e tira umaconclusao errada. E nao para por ai ... Para que serviu esta conclusao? Para mostrar que J3 venceu todos os jogos e que J2 perdeu todos,confirmando assim a tese ? Se foi por isso voce deveria enunciarexplicitamente, por exemplo, assim :vemos que no caso de 3 jogadores a nossa tese se confirma.Agora, pergunto : para que analisar o caso com 4 jogadores ? Parareforcar o que ? Se admitimos que voce fez o caso 3 corretamente, onornal e natural seria supor a validade do caso para um N naturalqualquer e provar que isto implica a validade para o caso N+1, talcomo o Claudio Buffara fez. Assim, o caso de 4 jogadores e redundante.Portanto, diante de tantas idiossincrasias eu me senti desestimuladoem analisar mais profundamente a sua solucao ...Eu estava pesquisando semelhancas entre as estrutura das solucoes deequacoes diferencias quando vi a sua mensagem. Percebi nela um sincerodesejo de aprender e resolvi te responder. Se nalgum momento a minharesposta parecer amarga, por favor, desconsidere isso, pois nao e domeu carater. E que realmente eu ando bastante ocupado e sem tempo,investigando muitas coisas para mim empolgantes ao mesmo tempo tendoque responder as exigencias burocraticas do meu trabalho.A Matematica nao esta fora mas sim dentro de todos nos. Ela pre-existeaos nossos pensamentos e fazer Matematica e apenas olhar dentro denos mesmos. Assim, aprenda a olhar o seu interior, a escutá-lo : Issoe Matematica.Um Abraco a TodosPaulo Santa Rita4,0D39,160507Em 16/05/07, [EMAIL PROTECTED][EMAIL PROTECTED]escreveu: Prezados Paulo Santa Rita e Cláudio Buffara: Agradeço a ambos pelas respostas. Gostaria, se possível, de saber qual parte é que não foi compreendida, pois, necessito saber se fui pouco claro ou se estou enganando a mim mesmo. ATT. João=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista
Re: [obm-l] Problema da Eureka 25
Olá Saulo! Não entendi. Você poderia explicar com mais detalhes? Se você também puder apontar onde errei na solução. Obrigado! On 5/18/07, saulo nilson [EMAIL PROTECTED] wrote: a1a2a,,,an nao precisa terminar em zero, ja que ele e multiplicado por 100 que e divisivel portodos os numeros xyi. um numero par em baixo, cancela com 100 ficando um outro nuymero em baixo. -- Henrique
Re: [obm-l] Problema da Eureka 25
Acho que resolvi. Já que temos que achar o número a1a2...an00 que seja divisível por XY, onde 1 = X = 9 e 1 = Y = 4, e o número a1a2...an é divisível por 100, nos fatores de 100 temos 2,2,5,5, ou seja, de todos os números de dois dígitos que podemos formar com os fatores de 100 o único que estaria nas condições da seqüência iniciada em XY é 25. Dessa forma, qualquer seqüência de 6 números consecutivos que tenha entre um deles os dois últimos dígitos 25 é uma seqüência válida. Portanto a1a2...an poderia assumir os seguintes valores: 21*22*23*24*26 = 6630624 22*23*24*26*27 = 8525088 23*24*26*27*28 = 10850112 24*26*27*28*29 = 13680576 As possíveis seqüências seriam: 663062421, 663062422, 663062423, 663062424, 663062425, 663062426 852508822, 852508823, 852508824, 852508825, 852508826, 852508827 1085011223, 1085011224, 1085011225, 1085011226, 1085011227, 1085011228 1368057624, 1368057625, 1368057626, 1368057627, 1368057628, 1368057629 Acredito que sejam essas as respostas. Abraços! On 5/18/07, Henrique Rennó [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá Saulo! Não entendi. Você poderia explicar com mais detalhes? Se você também puder apontar onde errei na solução. Obrigado! On 5/18/07, saulo nilson [EMAIL PROTECTED] wrote: a1a2a,,,an nao precisa terminar em zero, ja que ele e multiplicado por 100 que e divisivel portodos os numeros xyi. um numero par em baixo, cancela com 100 ficando um outro nuymero em baixo. -- Henrique -- Henrique
Re: [obm-l] Olímpiada. Nível 2. Fase 3.
Ola Joao Carlos e demais colegas desta lista ... OBM-L, (escreverei sem acentos) Depois desta sua explicacao entendo o que voce queria fazer ... Sim, a ideia e razoavel. Neste caso, a sua mensagem e um DIARIO DE PESQUISA ou ESBOCO DE SOLUCAO AINDA APENAS INTUIDA. As provas que eu apresentei sao diretas no sentido de nao usarem INDUCAO FINITA. Assim, talvez eu tenha atendido ao seu desejo original por uma tal prova ... Vou terminar com um fragmento de um texto do Paul Halmos que penso descrever muito bem aspectos importantes do ato de estudar Matematica : Don't just read it; fight it ! Ask your own questions, look for your own examples, discover your own proofs. Is the hypothesis necessary ? Is the converse true ? What happens in the classical special case ? What about the degenerate cases ? Where does the proof use the hypothesis ? Um Abraco a todos Paulo Santa Rita 6,0A29,120507 Em 18/05/07, [EMAIL PROTECTED][EMAIL PROTECTED] escreveu: Prezado Paulo Santa Rita: Como posso sentir amargura de tuas honestas palavras que buscam auxiliar-me. Tu que deixaste de realizar as atividades de teu interesse para ocupar-te com as minhas. E ainda, foste o único a tal ato. Em realidade, quando alguém sente amargor ao ouvir, tal sentimento não deriva diretamente do que ouve, mas de uma interpretação própria e particular do que escuta; essa interpretação, se implica tal sentido, é fruto do orgulho do próprio ouvinte, não está em quem explana. Portanto, obrigado. Estou tentando olhar o meu interior, como sugeres. E, com desassombro, exponho-o, pois, de forma distinta, não evoluo. Assim, digo: não tentei fazer demonstração por indução, mas buscar com k=3 e k=4 descobrir uma regra que me pudesse levar a uma demonstração direta para k=n. Eu sei que existem muitos casos, como, por exemplo, com k=3, conforme você exarou. No entanto, esses casos são todos semelhantes. Logo, creio que tratando de um, estarei tratando de todos, pois, os demais são repetição. As simbologias: J1, J2, J3 são genéricas, logo, há uma simetria entre elas. Assim, quando concluí que só pode existir J1J2, J2J3 e J3J1 (J1J2J3), sei que também há outros casos, mas esses outros estão inclusos nesse aí. Por exemplo: lógico que poderia ser J1J2, J2J3 e J3J1 (J3J1J2), mas chamando J3 de A1, J1 de A2 e J2 de A3, teríamos: A1A2A3, que é a mesma coisa. É isso que estou tentando dizer. Veja que, sempre, posso reorganizar os termos simétricos com outra nomenclatura de forma que os números apresentem-se em seqüência crescente, que não é melhor nem pior que qualquer outra, apenas me facilita. Para mim, 1, 2, 3 não são: (um, dois, três), e sim: o primeiro, o segundo, o terceiro, sempre nessa ordem, fixa, independentemente do nome das variáveis. Não fico apegado à linguagem, creio que a ordem é de mais valia, ela implica uma espécie de justiça (simetria) entre os símbolos. É razoável essa idéia? Muito grato, com sinceridade, sem fingimento. João. ** Ola Joao Carlos e demais colegas desta lista ... OBM-L, Releia a sua mensagem inicial ... Nela voce afirma que a UNICA HIPOTESE QUE NAO EXISTE e J1 J2, J2 J3 e J3 J1. Nao e verdade isso. A hipotese adotada e que nao existe ciclos. Assim, tambem nao pode existir, por exemplo : J3 J2, J2 J1 e J1 J3. De maneira geral, com 3 jogadores e possivel formar seis ciclos, veja : J1 J2 J3 J1 J1 J3 J2 J1 J2 J1 J3 J2 J2 J3 J1 J2 J3 J1 J2 J3 J3 J2 J1 J3 Ate aqui, com grande generosidade, ainda da pra aceitar. O que eu nao compreendo e a conclusao ... voce diz : -- Logo, so pode existir, J1J2, J2 J3 e J3 J1 Acima mostrei que a sua suposicao inicial estava errada, pois ha seis ciclos possiveis. Agora, afirmo que a sua conclusao tambem esta errada, pois, admitindo que A UNICA HIPOTESE QUE NAO EXISTE e J1 J2, J2 J3 e J3 J1 nao se pode inferir que o unico resultado possivel e J1J2, J2 J3 e J3 J1 ... Tambem podem existir, por exemplo : J1 J2, J2 J3 e J3 J1 Entao, como voce ve, voce faz uma suposicao errada e tira uma conclusao errada. E nao para por ai ... Para que serviu esta conclusao ? Para mostrar que J3 venceu todos os jogos e que J2 perdeu todos, confirmando assim a tese ? Se foi por isso voce deveria enunciar explicitamente, por exemplo, assim : vemos que no caso de 3 jogadores a nossa tese se confirma. Agora, pergunto : para que analisar o caso com 4 jogadores ? Para reforcar o que ? Se admitimos que voce fez o caso 3 corretamente, o nornal e natural seria supor a validade do caso para um N natural qualquer e provar que isto implica a validade para o caso N+1, tal como o Claudio Buffara fez. Assim, o caso de 4 jogadores e redundante. Portanto, diante de tantas idiossincrasias eu me senti desestimulado em analisar mais profundamente a sua solucao ... Eu estava pesquisando semelhancas entre as estrutura das solucoes de equacoes diferencias quando vi a sua mensagem. Percebi nela um
Re:[obm-l] Isometria
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Assunto: Re:[obm-l] Isometria
Ola Claudio.
De fato,T(b) e T(-b) sao simetricos em relacao a T(0). O meu contra
exemplo mostra que apesar disso ser verdadeiro não se pode concluir que
T(0)=0.
Pode-se sim.
Suponha que T(0) = a 0.
Escolha eps tal que a maior corda de B que tem a como ponto medio tenha
comprimento inferior a 2 - eps.
(Se a 0, entao um tal eps 0 sempre pode ser escolhido, mas vai depender da
norma usada. Por exemplo, com a norma
euclidiana, a corda maxima vai ser um diametro do circulo com centro em a e
paralelo ao circulo maximo ortogonal a a. Esse
diametro mede 2*raiz(1 - |a|^2) 2 - eps, desde que eps |a|^2, pois raiz(1 -
|a|^2) 1 - |a|^2/2 1 - eps/2.)
Enfim, escolha b tal que |b| = 1 - eps/2 (=|-b|).
Entao, |T(b) - a| = |T(-b) - a| = |b| = 1 - eps/2.
T(b), a e T(-b) estao em linha reta.
Mas:
|T(b) - a| + |a - T(-b)| =
|T(b) - T(-b)| =
|b - (-b)| =
2|b| =
2 - eps ==
contradicao, pois a maior corda de B que tem a como ponto medio mede menos que
isso.
Logo, nao podemos ter a 0.
***
O problema do seu contra-exemplo eh que tomando, em R^2, a =(0,1/2) e |b_n| = 1
- 1/(2n),
T(b_n) vai cair fora de B. Ou seja, voce nao levou em conta que o contradominio
tambem eh B.
Se o enunciado falasse de uma isometria T:B - R^2, entao uma realizacao
concreta do seu contra-exemplo seria:
T(x,y) = (x,y+1/2).
Nesse caso, teriamos T(0,0) = (0,1/2) e T(1-1/(2n),0) = (1-1/(2n),1/2), cuja
norma seria:
raiz((1-1/(2n))^2 + (1/2)^2) = raiz(5/4 - 1/n + 1/4n^2) 1, se n = 4.
***
Abaixo segue a demostração que T(0)=0.
Defina A_n = {x em B/ |T(x)-T(0)|1/n } e B_n = {x em B/ |x|1/n }
Sejam C = intersecção dos A_n , com n variando de 1 a infinito
e D = intersecção dos B_n , com n variando de 1 a infinito, é facil
mostrar que C = {T(0)} e D = { 0 }. Agora como |T(x)-T(0)|=|x| então
A_n = B_n para todo n em N e portanto C = D, isto é, T(0)= 0 .
De fato, mais sofisticada do que a minha...
[]s,
Claudio.
Oi, Rivaldo:
Voce admite que se T eh isometria, entao:
T(b) e T(-b) sao simetricos em relacao a T(0)?
Soh pra facilitar, repito aqui a demonstracao:
Seja T(0) = a.
Seja b um ponto qualquer de B.
O simetrico de b (em relacao a 0) eh -b.
Entao:
|T(b) - a| = |T(b) - T(0)| = |b - 0| = |b| (*)
|T(-b) - a| =|T(-b) - T(0)| = |-b - 0| = |b| (**)
|T(b) - a| + |a - T(-b)| = 2|b| = |2b| = |b - (-b)| = |T(b) - T(-b)| ==
igualdade na desigualdade triangular, que associada a (*) e (**) implica
que:
T(-b) eh o simetrico de T(b) em relacao a a.
O que isso significa pro seu contra-exemplo?
[]s,
Claudio.
Ok, o problema continua em aberto, pois como mostrei anteriormente, no
R^2, tomando b_n = (1 - 1/(2n),0), temos
temos: |b_n| = 1 - 1/(2n)
|T(b_n) - a| = |T(-b_n) - a| = 1 - 1/(2n), mas a não eh necessariamente
o centro de um segmento (aberto) de comprimento 2 - 1/n contido em B.
Abs.
Rivaldo
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Assunto: Re:[obm-l] Isometria
Claudio, imagine no R^2, T(0,0)=(0,1/2)= a e b_n = (1 - 1/(2n),0)
dai
temos: |b_n| = 1 - 1/(2n)
|T(b_n) - a| = |T(-b_n) - a| = 1 - 1/(2n) mas a não eh o centro de um
segmento (aberto) de comprimento 2 - 1/n contido em B.
Nao eh mesmo, pois nesse caso, T(b_n) ou T(-b_n) (ou ambos) nao pertence
a
B.
Pelo que eu provei abaixo, como b_n e -b_n sao simetricos em relacao a
(0,0),
T(b_n) e T(-b_n) sao simetricos em relacao a a = (0,1/2).
Mas a maior corda contida em B que tem (0,1/2) como ponto medio mede
raiz(3).
Logo, se n 4, entao |T(b_n) - T(-b_n)| = 2 - 1/n 1.75 raiz(3).
Logo, n 4 == pelo menos um dentre T(b_n) e T(-b_n) nao pertence a B.
[]s,
Claudio.
Abs.
Rivaldo.
Mas nao eh preciso que o limite de (b_n) esteja em B. De fato, (b_n)
nem
precisa ter um limite.
Basta que o limite de |b_n| seja 1.
Pense na situacao em R^2 com a norma euclidiana, por exemplo:
Se T(0) = a 0, entao a maior corda do disco unitario que pode ter
a
como ponto tem comprimento 2*raiz(1-|a|^2) 2.
Logo, para n 1/|a|^2, teremos |b_n| = 1 - 1/(2n) 1 - |a|^2/2
raiz(1
- |a|^2).
Logo, |b_n - (-b_n)| = 2*(1 - 1/n) 2*raiz(1 - |a|^2).
Enfim, o importante eh que, qualquer que seja k e qualquer que seja a
norma de R^(k+1) adotada, se a 0, entao a maior
corda de B que tem a como ponto medio tem comprimento estritamente
inferior a a.
De qualquer forma, T eh isometria ==
T eh Lipschitz-continua (L = 1) ==
T eh uniformemente continua ==
T pode ser estendida a fronteira de B de modo que a funcao resultante
seja
uniformemente continua em fecho(B).
Nesse caso, se (b_n) tiver um limite, este limite estarah em
Re:[obm-l] Derivabilidade e Continuidade
-- Cabeçalho original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Thu, 17 May 2007 16:36:40 -0300 Assunto: [obm-l] Derivabilidade e Continuidade Olá, peço ajuda da lista na resolução do seguinte exercício 1. Seja g:R ! R uma funçãoo contínua, com g(0) = 2 e tal que g não é derivável em x = 0. (a) Considere a função f(x) = x g(x). Calcule f'(0), se existir. Caso contrário, justifique. Para x 0, (f(x) - f(0))/x = (x*g(x) - 0*g(0))/x = g(x). Logo, f'(0) = lim(x - 0) g(x) = g(0) = 2, pois g eh continua. (b) Seja f(x) = x(1 + e| x|). Calcule f'(0), se existir. Para x 0, (f(x) - f(0))/x = (1 + e|x|). Logo, f'(0) = lim(x - 0) (1 + e|x|) = 1. []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Olímpiada. Nível 2. Fase 3.
A Matematica nao esta fora mas sim dentro de todos nos. Ela pre-existe aos nossos pensamentos e fazer Matematica e apenas olhar dentro de nos mesmos. Assim, aprenda a olhar o seu interior, a escutá-lo : Isso e Matematica. Bastante bonito e motivador. Me fez lembrar a frase de Albert Einstein: A maioria das pessoas prefere olhar para fora e não para dentro de si mesmas. De fato, todos nós temos que sobreviver, e para isso atender as exigencias burocraticas de nossos trabalhos. Assim como Paulo Santa Rita, Albert Einstein também era funcionário público e precisava daquele emprego para sobreviver. Apesar disso possuia dentro de si este interesse sincero e desinteressado pela matemática. Certamente isso foi que ao longo do tempo o fez evoluir e conseguir o grau de abstração e intuição evidente para todos os que leêm sua obra. Abraços. Ronaldo Luiz Alonso Um Abraco a Todos Paulo Santa Rita 4,0D39,160507 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re:[obm-l] Isometria
Claudio, no meu contra exemplo em nenhum momento eu falei que
T(x,y) = (x,y+1/2). Existem um numero infinito de isometrias T:B-B,
Não se pode pegar uma em particular pra mostrar que meu contra exemplo não
funciona. Pra fazer isso vc teria que mostrar que T (b_n) vai cair fora de
B sem tomar um exemplo particular.
Abs.
Rivaldo.
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Assunto: Re:[obm-l] Isometria
Ola Claudio.
De fato,T(b) e T(-b) sao simetricos em relacao a T(0). O meu contra
exemplo mostra que apesar disso ser verdadeiro não se pode concluir que
T(0)=0.
Pode-se sim.
Suponha que T(0) = a 0.
Escolha eps tal que a maior corda de B que tem a como ponto medio tenha
comprimento inferior a 2 - eps.
(Se a 0, entao um tal eps 0 sempre pode ser escolhido, mas vai
depender da norma usada. Por exemplo, com a norma
euclidiana, a corda maxima vai ser um diametro do circulo com centro em a
e paralelo ao circulo maximo ortogonal a a. Esse
diametro mede 2*raiz(1 - |a|^2) 2 - eps, desde que eps |a|^2, pois
raiz(1 - |a|^2) 1 - |a|^2/2 1 - eps/2.)
Enfim, escolha b tal que |b| = 1 - eps/2 (=|-b|).
Entao, |T(b) - a| = |T(-b) - a| = |b| = 1 - eps/2.
T(b), a e T(-b) estao em linha reta.
Mas:
|T(b) - a| + |a - T(-b)| =
|T(b) - T(-b)| =
|b - (-b)| =
2|b| =
2 - eps ==
contradicao, pois a maior corda de B que tem a como ponto medio mede menos
que isso.
Logo, nao podemos ter a 0.
***
O problema do seu contra-exemplo eh que tomando, em R^2, a =(0,1/2) e
|b_n| = 1 - 1/(2n),
T(b_n) vai cair fora de B. Ou seja, voce nao levou em conta que o
contradominio tambem eh B.
Se o enunciado falasse de uma isometria T:B - R^2, entao uma realizacao
concreta do seu contra-exemplo seria:
T(x,y) = (x,y+1/2).
Nesse caso, teriamos T(0,0) = (0,1/2) e T(1-1/(2n),0) = (1-1/(2n),1/2),
cuja norma seria:
raiz((1-1/(2n))^2 + (1/2)^2) = raiz(5/4 - 1/n + 1/4n^2) 1, se n = 4.
***
Abaixo segue a demostração que T(0)=0.
Defina A_n = {x em B/ |T(x)-T(0)|1/n } e B_n = {x em B/ |x|1/n }
Sejam C = intersecção dos A_n , com n variando de 1 a infinito
e D = intersecção dos B_n , com n variando de 1 a infinito, é facil
mostrar que C = {T(0)} e D = { 0 }. Agora como |T(x)-T(0)|=|x| então
A_n = B_n para todo n em N e portanto C = D, isto é, T(0)= 0 .
De fato, mais sofisticada do que a minha...
[]s,
Claudio.
Oi, Rivaldo:
Voce admite que se T eh isometria, entao:
T(b) e T(-b) sao simetricos em relacao a T(0)?
Soh pra facilitar, repito aqui a demonstracao:
Seja T(0) = a.
Seja b um ponto qualquer de B.
O simetrico de b (em relacao a 0) eh -b.
Entao:
|T(b) - a| = |T(b) - T(0)| = |b - 0| = |b| (*)
|T(-b) - a| =|T(-b) - T(0)| = |-b - 0| = |b| (**)
|T(b) - a| + |a - T(-b)| = 2|b| = |2b| = |b - (-b)| = |T(b) - T(-b)|
==
igualdade na desigualdade triangular, que associada a (*) e (**)
implica
que:
T(-b) eh o simetrico de T(b) em relacao a a.
O que isso significa pro seu contra-exemplo?
[]s,
Claudio.
Ok, o problema continua em aberto, pois como mostrei anteriormente,
no
R^2, tomando b_n = (1 - 1/(2n),0), temos
temos: |b_n| = 1 - 1/(2n)
|T(b_n) - a| = |T(-b_n) - a| = 1 - 1/(2n), mas a não eh
necessariamente
o centro de um segmento (aberto) de comprimento 2 - 1/n contido em B.
Abs.
Rivaldo
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Data: Mon, 14 May 2007 08:44:07 -0300 (BRT)
Assunto: Re:[obm-l] Isometria
Claudio, imagine no R^2, T(0,0)=(0,1/2)= a e b_n = (1 -
1/(2n),0)
dai
temos: |b_n| = 1 - 1/(2n)
|T(b_n) - a| = |T(-b_n) - a| = 1 - 1/(2n) mas a não eh o centro de
um
segmento (aberto) de comprimento 2 - 1/n contido em B.
Nao eh mesmo, pois nesse caso, T(b_n) ou T(-b_n) (ou ambos) nao
pertence
a
B.
Pelo que eu provei abaixo, como b_n e -b_n sao simetricos em relacao
a
(0,0),
T(b_n) e T(-b_n) sao simetricos em relacao a a = (0,1/2).
Mas a maior corda contida em B que tem (0,1/2) como ponto medio mede
raiz(3).
Logo, se n 4, entao |T(b_n) - T(-b_n)| = 2 - 1/n 1.75 raiz(3).
Logo, n 4 == pelo menos um dentre T(b_n) e T(-b_n) nao pertence a
B.
[]s,
Claudio.
Abs.
Rivaldo.
Mas nao eh preciso que o limite de (b_n) esteja em B. De fato, (b_n)
nem
precisa ter um limite.
Basta que o limite de |b_n| seja 1.
Pense na situacao em R^2 com a norma euclidiana, por exemplo:
Se T(0) = a 0, entao a maior corda do disco unitario que pode
ter
a
como ponto tem comprimento 2*raiz(1-|a|^2) 2.
Logo, para n 1/|a|^2, teremos |b_n| = 1 - 1/(2n) 1 - |a|^2/2
raiz(1
- |a|^2).
Logo, |b_n - (-b_n)| = 2*(1 - 1/n) 2*raiz(1 - |a|^2).
Enfim, o importante eh que, qualquer que seja k e qualquer que
seja a
norma de R^(k+1) adotada, se a 0, entao a maior
corda de B que
[obm-l] Re:[obm-l] [obm-l] Combinatória: n úmero de soluções de uma equa ção
De:[EMAIL PROTECTED] Para:obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data:Fri, 18 May 2007 00:19:30 -0300 Assunto:[obm-l] [obm-l] Combinatória: número de soluções de uma equação Saudações, amigos da lista. Bem, surgiu aqui uma dúvida quando eu estava estudando combinatória. É em relação a uma variação não tão clássica do problema clássico do número de soluções inteiras não-negativas de uma equação. x_1+x_2+x_3...+x_n = k O número de soluções não-negativas e inteiras, para k também inteiro, é (k+n-1)/[k!*(n-1)!]. É fácil visualizar isso utlizando 'bolinhas' e 'barrinhas'. Limitar por baixo o valor das incógnitas (garantir que todas ou algumas delas não possam ser inferiores a algum valor dado) também é simples. O problema é limitar 'por cima'. Exemplo: x1+x2+x3+x4 = 21 x_i = 6, para qualquer i inteiro. Como eu determino o número de soluções dessa equação? Coeficiente de t^21 na expansão de (1+t+t^2+t^3+t^4+t^5+t^6)^4 Ou seja, 20. Como você obtem um expoente 21 por meio da soma de 4 expoentes entre 0 e 6 (inclusive)? 6+6+6+3: 4 maneiras; 6+6+5+4: 2*Binom(4,2) = 12 maneiras; 6+5+5+5: 4 maneiras. Total = 20 maneiras. O caso 6+6+5+4 é: Escolha dos 2 polinômios que vão contribuir o expoente 6: Binom(4,2) = 6 maneiras; Escolha do polinômio que vai contribuir o expoente 5: Binom(2,1) = 2 maneiras; Escolha do polinômio que vai contrinuir o expoente 4: 1 maneira. *** Use essa idéia (coeficiente de t^n de um produto de polinômios especialmente escolhidos) pra achar o número de soluções inteiras e não-negativas de: x + 2y + 3z + 4w = 10. Resp: 23 []s, Claudio.
