Re: [obm-l] [obm-l] OBM 1999 Fase 2, Nível 3, Problema 5
Bem, isto pode ser provado com indução. Mas se você quer saber o método, dê uma olhada na Eureka! 9, Equações de Recorrência. É, até o momento, a melhor referência que posso passar, haha! Em 09/08/07, Pedro Cardoso [EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá, estou com dúvidas em relação à solução da banca para o problema 5 da segunda fase do nível 3, na OBM de 1999. Vou indicar a parte que não entendi abaixo e deixar no final da mensagem a versão integral da questão. Notação: m_n é o n-ésimo termo de uma sequência. A banca conclui, com os dados do problema, que m_(n+1) = [1 - m_n]/2. Até aí tudo bem. Disso, ela chega em... ... m_n = [1 - (-2)^(2-n)] / 3, sem explicar como. Foi exatamente essa passagem que não compreendi. Agradeceria a quem me explicasse como se chegou a isso. Abaixo segue o enunciado: José tem três pares de óculos, um magenta, um amarelo e um ciano. Todo dia de manhã ele escolhe um ao acaso, tendo apenas o cuidado de nunca usar o mesmo que usou no dia anterior. Se dia primeiro de agosto ele usou o magenta, qual a probabilidade de que dia 31 de agosto ele volte a usar o magenta? Pedro Lazéra Cardoso _ Verificador de Segurança do Windows Live OneCare: combata já vírus e outras ameaças! http://onecare.live.com/site/pt-br/default.htm = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- Ideas are bulletproof. V
Re: [obm-l] Sequencia densa em [0, 1]
O que, afinal, demonstraria que a sequencia e densa em (0,1)? Acho que o Emanuel deu uma demo disso, na sua solucao do problema 3 na 1a. OBM universitária (Eureka! 13). P.S.: Teorema de Kronecker, esse é o nome! Em 08/08/07, Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] escreveu: Para x 0, seja frac(x) a parte fracionaria de x, dada por frac(x) = x - [x], onde [x] eh o maior inteiro menor ou igual a x. Se p0 eh irracional, pelo pricipio da casa dos pombos eh facil mostrar que, para todo eps 0, existem inteiros positivos m e n tais que |frac(m*p) - frac(n*p)| eps. Mas isto nao prova que frac(n*p) eh densa em [0, 1]. Alguem jah mostrou isso? Obrigado Artur -- Ideas are bulletproof. V
[obm-l] Anáise
Se A é um conjunto próprio de I_n, não pode existir uma bijeção f: A-I_n.
Esse é um teorema que tem no livro do Elon Volume I - Análise Real. pag .4
Só que tem uma parte que não entendo. Segue abaixo:
Neste caso, a restrição de g a A - {n_0} é uma bijeção do subconjunto próprio
A - {n_0} sobre I_{n_(0-1)}, o que contraria a minimalidade de n_0.
Grato.
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Re: [obm-l] Incompletude dos Sistemas Formais
Ralonso Salve ! Ralonson disse: Como não li o livro de Göedel todo ...eu posso ter dito besteiras... quem tiver paciência, então, por favor me corrija. Meu velho voçe explicou magnificamente bem ! Eu ja tinha esse pensamento em mente mais nao tinha certeza se era isso mesmo. O problema é que a matematica se torna meio fisica olhando por esses moldes. Os fisicos fazen exatamente isso, constroi um modelo e testa pra ver se esse modelo preve todas as experiencias, se sim entao eles usam esse modelo pra construir a base axiomatica da teoria (exatamente como era feito na epoca do intuicionismo). A unica diferença entre o fisico e o matematico e que o fisico usa para purificar seu modelo são os aceleradores de particulas etc ja o matematico usa a logica. Ralonson disse : não? Quais axiomas foram usados em cada caso? Um computador saberia dizer? Sim. Com boa programação e com uma representação formal é possível fazer um programa que diga isso, mas na prática, em verdade, nem nós que resolvemos sabemos A minha pergunta é qual software eu posso usar prar editar e estudar axiomas e teoremas (sistemas dedutivos) Um abração e muito obrigado ;) Alertas do Yahoo! Mail em seu celular. Saiba mais.
Re: [obm-l] Geo espacial
Obrigado Rogério Forte Abraço Vieira Flickr agora em português. Você clica, todo mundo vê. Saiba mais.
Re: [obm-l] Incompletude dos Sistemas Formais
A minha pergunta é qual software eu posso usar prar editar e estudar axiomas e teoremas (sistemas dedutivos) Um abração e muito obrigado ;)Alertas do Yahoo! Mail em seu celular. Saiba mais. O Software chama-se Isabelle e usa, se eu não me engano, lógica de segunda ordem. Digite as palavras chaves Isabelle proof theorem no google and have fun! Ronaldo Luiz Alonso.
[obm-l] Ajuda ( reta simétrica)
Amigos gostaria da ajuda de vocês neste problema: A reta (s), simétrica de (r) x-y+1=0 em relação à reta (t) 2x+y+4=0, a) passa pela origem. b) forma um ângulo de 60º com (r). c) tem -1/5 como coeficiente angular. d) é paralela à reta de equação 7y-x+7=0 Obrigado Forte abraço Vieira Flickr agora em português. Você clica, todo mundo vê. Saiba mais.
Re: [obm-l] Re: IMO 2007 (agora vai)
Prezado Ponce:Ola' Joao,nao foi pouco caso: ja' e' a 4a vez que mando esta mensagem, e, ate' agora, neca de pitibiriba - parece que o servidor da lista encruou...Mas, voltando 'a vaca fria, quero assinalar que tentar resolver certos problemas usando analogias pode ser ingrato porque frequentemente voce acaba destruindo (estabelecendo) vinculos e/ou mecanismos (nao) existentes no problema original.As retificações necessárias para passar da analogia ao original foram feitas, vc que, por algum lapso,nãopercebeu.Veja que com a historia do barro, voce deixou escapar que os pedacos "retalhados", quando estao na mesma sala, NAO permanecem inertes e "retalhados". Este e' o comportamento do barro, mas nao e' o que acontece com os cliques, que se reagrupam automaticamente.As ligações dosretalhos se estabelecem (na mesma sala) exatamente até ao limite queexistiamantes de seremrecortados. Isso já havia sido dito.
Permita-me dizer: perceba que todas as vezes que escrevi jamais desejei dar uma solução irretocável,mas cada vez que escrevi esforçei-me ao máximo para chegar a ela. São considerações distintas. A busca de solução é um caminhar.
Vc próprio poderia do ponto onde parei, em cada vez que escrevi, ter seguido em frente para chegar ao fim.
Não tenho mais em que contribuir com o problema, pois creio que ele acabou. Solicitemos auxílio, se ainda julgares necessário.
Fraternalmente, João.Assim, por mais sem graca que pareca, experimente usar uma vezinha so' os numeros que estou sugerindo, e verifique o que acontece em cada passo.Consideremos a seguinte situacao:Competidores 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13Cliques existentes:1,2,3,45, 6, 78, 9, 1011, 12, 135, 7, 95, 7, 115, 8, 95, 8, 115, 9, 126, 7, 107, 9, 107, 11, 13Agora, vamos seguir o seu proprio raciocinio, usando as salas A e B:- separar o clique maximo integralmente: {1,2,3,4}- dividi-lo ao meio: {1,2}-A e {3,4}-B-dividir montes menores em 2 partes proximas da metade (vamos percorrer a lista de cliques, obtendo o seguinte):{5,6,7}: {5,6}-A e {7}-B{8,9,10}: {8,9}-A e {10}-B{11, 12, 13}: {11,12}-A e {13}-BOpa! neste ponto aparece um problema: o que fazer com o clique {5,7,9}?Ele faz parte do grupo "cliques existentes", e voce recomenda uma acao de divisao sobre este clique...so' que voce ja' havia dado destino a cada um dos elementos. E entao, como fica o algoritmo? Vou supor que ele termine aqui.Mas ha' um outro problema pior, pois as salas A e B estao com a seguinte distribuicao de competidores:A={1,2,5,6,8,9,11,12} e B={3,4,7,10,13}Repare que o clique {1,2,3,4} deu lugar a 2 cliques com tamanho 2 ({1,2} e {3,4}), mas voce reagrupou dois cliques (5,8,9 por exemplo) com tamanho 3 em A, enquanto em B, nenhum clique tem mais que 2 elementos.Assim, por enquanto, esta forma de dividir esta' mostrando o contrario do que queremos provar.E a pergunta principal e' : como e' que voce garante que nao vai haver algum reagrupamento maior que a metade do maior clique inicial?Bem, ao final de tudo, qualquer que seja o algoritmo que voce encontre, ele tem que funcionar como prova (conforme o enunciado) e nao como algo que talvez funcione. Significa que, seguindo a logica que voce explicitar, deve ficar muito claro, em todas as transferencias de pessoas, o que aumenta e o que diminui, de forma a mostrar que e' sempre possivel fazer a divisao dos competidores em 2 salas com clique maximo de mesmo tamanho.Vamos la', Joao ![]'sRogerio Ponce--JoaoCarlos_Junior escreveu:Se a amizade não existia no conjunto competição, então, ela não passará a existir nas salas.Uma amizade é restabelecida se os recíprocos amigos forem inclusos na mesma sala, mesmo que em momentos distintos.Sim de fato, a amizade somente ficará quebrada (cortada, como queira) somente se os amigos estiverem nas salas distintas.Podemos continuar a escrever algo (que, a meu ver, está cada vez mais próximo de uma resposta integralmente satisfatória) na linguagem da própria pergunta, porém, devemos ser agradecidos com o êxtase - princípio do auxílio? que nos conduziu ou quer nos conduzir à resposta, por analogia. Prefiro a segunda à primeira. Permita-me, assim, expressar-me. Passar da linguagem em analogia à do próprio problema me não parece difícil. Então:1) Da massa de argila (toda a competição), podemos separar dela o conjunto clique máximo integralmente. Empós, dividimo-lo no meio, jogando cada metade em duas mesas distintas (as salas).2) Os montes menores também devem ser divididos em duas partes, de forma que cada uma dessas partes cliques sejam de tamanho menor que as metades acima (no máximo, há uma igualdade, não é difícil verificar). Percebamos que se havia anteriormente amizade entre os elementos desses conjuntos menores entre eles próprios e deles para com os elementos do conjunto maior, as amizades ficarão restabelecidas entre os elementos que já eram previamente amigos, porém, agora, só para aqueles que estão na mesma sala. Esses restabelecimentos, no entanto, não
Re: RES: [obm-l] Provar que k + raiz(k^2 +a ) eh irracional
Demetrio Freitas wrote: O Leandro tem muita razão quando diz que é necessário cuidado neste tipo de raciocínio. Conceitos familiares de cálculo e análise parecem ter utilidade restrita em questões de transcendência ou mesmo irracionalidade. Eu não conheço a prova de Lindemann. Na verdade, eu a vi uma vez e quase tudo o que me lembro é que não a entendi... --- ralonso [EMAIL PROTECTED] escreveu: Como você mesmo disse: Mas x = 0 é solução de sen(x) = 0. Posso expressar sen(x) igualmente bem em série de potência, e no entanto 0 está longe de ser transcendente. Isto mostra que qualquer número a princípio pode ser solução de uma equação que envolva uma série, ou a expansão em séries de uma função. Sem dúvida. Mas note que um número ser raiz de um polinômio de grau N não é suficiente para dizer que tal número seja algébrico de grau N. É necessário também que o polinômio seja irredutível. Logo, o fato de funções analíticas (ou suas expansões em séries de potências) possuírem valores racionais ou algébricos em alguns pontos não serve, por si só, como contra-exemplo para a idéia inicial. ... (ver texto da mensagem anterior). ... (3) - Ok, então os r[n] são algébricos de grau crescente. Porém, não convergem para um número transcendente. Convergem para r = (2*k+1 + sqrt(4*k+1))/2, que é claramente algébrico Olá Demétrio! Linda contra-prova. Agora se você notar bem, seu exemplo foi construir um polinômio de grau tendendo ao infinito sempre atendendo ao critério de irredutibilidade Eiseinstein, porém construído de uma forma um tanto quanto artificial (usando uma sequência iterativa de polinômios para definí-lo). Vc consegui assim uma sequência de algébricos que não tende a um transcendente. Tende para um algébrico. Agora atente para o detalhe: A sequência de soluções (raízes) deste polinômio sempre pode ser definida por números escritos em termos de radicais! Para polinômios de grau = 5 essas soluções nem sempre podem ser definidas em termos de radicais. Então vem a minha idéia de associar grupos a essas construções. A pergunta que fica no ar é quando uma sequência de números algébricos tende a um número transcendente. A transcendência, então, precisa ser melhor categorizada matemáticamente e isso exige um rigor. A teoria dos grupos está aí para nos ajudar. Eu confesso que também não entendi completamente a prova de Lindemann. Mas ela pode oferecer uma resposta a essa profunda pergunta. []s Ronaldo. []´s Demétrio Alertas do Yahoo! Mail em seu celular. Saiba mais em http://br.mobile.yahoo.com/mailalertas/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: IMO 2007 (agora vai)
Ponce: Na realidade, percebi agora sua verdadeira emoção. Confesso quenão queria olhar seus escritos. É o egoísmo que implica dessinteresse. Porém, agora, vou fazê-lo pela suahonesta postura.Ponce, será que você não poderia dialogar comigo na linguagem em que me manifesto? Diga-me diretamente se as frases que escrevi estãocertas ou erradas? Um abraço, ficamos mais amigos de alguma forma.Fraternalmente, João.[EMAIL PROTECTED] escreveu: -Para: obm-l@mat.puc-rio.brDe: [EMAIL PROTECTED]Enviado por: [EMAIL PROTECTED]Data: 09/08/2007 10:47Assunto: Re: [obm-l] Re: IMO 2007 (agora vai)Prezado Ponce: Ola' Joao, nao foi pouco caso: ja' e' a 4a vez que mando esta mensagem, e, ate' agora, neca de pitibiriba - parece que o servidor da lista encruou... Mas, voltando 'a vaca fria, quero assinalar que tentar resolver certos problemas usando analogias pode ser ingrato porque frequentemente voce acaba destruindo (estabelecendo) vinculos e/ou mecanismos (nao) existentes no problema original. As retificações necessárias para passar da analogia ao original foram feitas, vc que, por algum lapso,nãopercebeu. Veja que com a historia do barro, voce deixou escapar que os pedacos "retalhados", quando estao na mesma sala, NAO permanecem inertes e "retalhados". Este e' o comportamento do barro, mas nao e' o que acontece com os cliques, que se reagrupam automaticamente. As ligações dosretalhos se estabelecem (na mesma sala) exatamente até ao limite queexistiamantes de seremrecortados. Isso já havia sido dito. Permita-me dizer: perceba que todas as vezes que escrevi jamais desejei dar uma solução irretocável,mas cada vez que escrevi esforçei-me ao máximo para chegar a ela. São considerações distintas. A busca de solução é um caminhar. Vc próprio poderia do ponto onde parei, em cada vez que escrevi, ter seguido em frente para chegar ao fim. Não tenho mais em que contribuir com o problema, pois creio que ele acabou. Solicitemos auxílio, se ainda julgares necessário. Fraternalmente, João. Assim, por mais sem graca que pareca, experimente usar uma vezinha so' os numeros que estou sugerindo, e verifique o que acontece em cada passo. Consideremos a seguinte situacao: Competidores 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13 Cliques existentes: 1,2,3,4 5, 6, 7 8, 9, 10 11, 12, 13 5, 7, 9 5, 7, 11 5, 8, 9 5, 8, 11 5, 9, 12 6, 7, 10 7, 9, 10 7, 11, 13 Agora, vamos seguir o seu proprio raciocinio, usando as salas A e B: - separar o clique maximo integralmente: {1,2,3,4} - dividi-lo ao meio: {1,2}-A e {3,4}-B -dividir montes menores em 2 partes proximas da metade (vamos percorrer a lista de cliques, obtendo o seguinte): {5,6,7}: {5,6}-A e {7}-B {8,9,10}: {8,9}-A e {10}-B {11, 12, 13}: {11,12}-A e {13}-B Opa! neste ponto aparece um problema: o que fazer com o clique {5,7,9}? Ele faz parte do grupo "cliques existentes", e voce recomenda uma acao de divisao sobre este clique...so' que voce ja' havia dado destino a cada um dos elementos. E entao, como fica o algoritmo? Vou supor que ele termine aqui. Mas ha' um outro problema pior, pois as salas A e B estao com a seguinte distribuicao de competidores: A={1,2,5,6,8,9,11,12} e B={3,4,7,10,13} Repare que o clique {1,2,3,4} deu lugar a 2 cliques com tamanho 2 ({1,2} e {3,4}), mas voce reagrupou dois cliques (5,8,9 por exemplo) com tamanho 3 em A, enquanto em B, nenhum clique tem mais que 2 elementos. Assim, por enquanto, esta forma de dividir esta' mostrando o contrario do que queremos provar. E a pergunta principal e' : como e' que voce garante que nao vai haver algum reagrupamento maior que a metade do maior clique inicial? Bem, ao final de tudo, qualquer que seja o algoritmo que voce encontre, ele tem que funcionar como prova (conforme o enunciado) e nao como algo que talvez funcione. Significa que, seguindo a logica que voce explicitar, deve ficar muito claro, em todas as transferencias de pessoas, o que aumenta e o que diminui, de forma a mostrar que e' sempre possivel fazer a divisao dos competidores em 2 salas com clique maximo de mesmo tamanho. Vamos la', Joao ! []'s Rogerio Ponce -- JoaoCarlos_Junior escreveu: Se a amizade não existia no conjunto competição, então, ela não passará a existir nas salas. Uma amizade é restabelecida se os recíprocos amigos forem inclusos na mesma sala, mesmo que em momentos distintos. Sim de fato, a amizade somente ficará quebrada (cortada, como queira) somente se os amigos estiverem nas salas distintas. Podemos continuar a escrever algo (que, a meu ver, está cada vez mais próximo de uma resposta integralmente satisfatória) na linguagem da própria pergunta, porém, devemos ser agradecidos com o êxtase - princípio do auxílio? que nos conduziu ou quer nos conduzir à resposta, por analogia. Prefiro a segunda à primeira. Permita-me, assim, expressar-me. Passar da linguagem em analogia à do próprio problema me não parece difícil. Então: 1) Da massa de argila (toda a competição), podemos separar dela o conjunto clique máximo integralmente.
[obm-l] Resultado da IMC -2007
Caros(as) amigos(as) da OBM: O resultado da equipe brasileira que participou da 14th. Olimpíada Internacional de Matemática Universitária - IMC entre os dias 3 e 9 de agosto de 2007 na cidade de Blagoevgrad - Bulgária é o seguinte: Medalha de Ouro: Fabio Dias Moreira, PUC-Rio Medalha de Prata: Eduardo Poço, ITA Medalha de Bronze: Murilo Vasconcelos, IME Rafael Marini Silva, ITA Kellem Correa Santos, IME Menção Honrosa: Levi Viana, IME Thiago Sobral, ITA Luiz Filipe Marini Silva, ITA Henry Hsu, ITA Elder Campos, IME Elton Coriolano, UNICAMP Abraços, Nelly = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Ajuda ( reta simétrica)
As retas sao concorrentes em x=-5/3 y=-2/3 achando o angulo que a reta r e a t formam entre si: mr=(-2+1)/(1+2)=-1/3 o angulo agudo e +1/3 1/3= (-2+y)/(1+2y) 1+2y=-6+3y y=7 7=(3y+2)/(3x+5) 21x+35=3y+2 3y-21x=33 y-7x=11 On 8/9/07, cleber vieira [EMAIL PROTECTED] wrote: Amigos gostaria da ajuda de vocês neste problema: A reta (s), simétrica de (r) x-y+1=0 em relação à reta (t) 2x+y+4=0, a) passa pela origem. b) forma um ângulo de 60º com (r). c) tem -1/5 como coeficiente angular. d) é paralela à reta de equação 7y-x+7=0 Obrigado Forte abraço Vieira Flickr agora em português. Você clica, todo mundo vê. Saiba maishttp://br.rd.yahoo.com/taglines/flickr/*http://www.flickr.com.br/.
[obm-l] Prova formal dos Teoremas de Sylow usando Isabelle.
Para as pessoas interessadas achei esse paper interessante: http://portal.acm.org/citation.cfm?id=594135.594268dl=GUIDEdl=GUIDECFID=31274872CFTOKEN=72229214 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Prova formal dos Teoremas de Sylow usando Isabelle.
Devo estar fazendo besteira, porque só consegui ver o abstract... Cai no site springerlink.com e lá ou pede login ou pede pra você comprar o texto completo. - Leandro.
Re: [obm-l] Anáise
Olá Klaus,
Na demonstração do Teorema que você cita, esse n_0 foi tomado
como a cardinalidade do menor conjunto para o qual este Teorema
é falso.
Em outras palavras: Suponha, por exemplo, que conjuntos com
1 e 2 elementos não admitem bijeções sobre subconjuntos próprios
deles, mas existem conjuntos com 3 e conjuntos com 4 elementos
que admitem uma bijeção sobre seus subconjuntos próprios.
Então o seu n_0 seria 3, porque foi tomado como o menor possível.
No entanto, quando você elimina o elemento 'a' de A, e elimina
'f(a)' = 'n_0' de I_{n_0}, você ganha ainda uma bijeção, que agora
aplica A-{a} em I_{n_0 - 1}. Note que A-{a} ainda é subconjunto
próprio de I_{n_0 - 1}.
Mas aí está a contradição; você conseguiu uma bijeção de
um subconjunto próprio de I_{n_0 - 1} em I_{n_0 - 1}.
Ora, n_0 - 1 é menor do que n_0.. mas você não tinha tomado
n_0 como o menor onde isso pudesse acontecer?
Conclui-se assim que tal bijeção não pode existir.
- Leandro.
Re: [obm-l] BETONEIRA
Seria correto dizer que se as massas não fossem iguais a resposta seria a média harmônica ponderada, com as massas sendo os ponderadores ? - Original Message - From: Carlos Eddy Esaguy Nehab To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, August 09, 2007 2:17 AM Subject: Re: [obm-l] BETONEIRA Oi, Arkon, Ponce e Desejo... Já que o Desejo (Ojesed Mirror) deu esta ótima resposta, fica aqui uma dica, pois problemas desta natureza já apareceram diversas vezes por aqui... Quando se introduz o conceito de médias (mesmo na 6 ou 7 séries) é extremamente oportuno sugerir contextos onde elas ocorrem (para não parecer um negócio artificial) e a resposta do Ojesed mostra que ele já adquiriu a malicia que eu acho legal. Na Física a média harmônica ocorre com freqüência, pois ela é usual em todas as situações onde a grandeza da qual se deseja calcular a média é o quociente entre duas variáveis e vejamos: Velocidade é distância / tempo... Densidade é massa / volume, resistência = voltagem/ corrente ... Logo, se desejamos calcular velocidade média, densidade média, resistência equivalente, fatalmente a média harmônica entra na jogada (caso os valores das distâncias, volumes ou voltagens sejam iguais e isto ocorre na ligação em paralelo - como as voltagens não se somam, a resistência equivalente é o dobro da média harmônica...), posto que velocidade média = dist total / tempo total; densidade final = massa total / volume total... e resistencia = mesma voltagem / corrente total Vejamos um exemplinho clássico (o outro é o do Arkon, posto que se misturam iguais quantidades de MASSA...) Você vai a 60 km por hora num trecho de estrada e no mesmo trecho volta a 90 km/h. Qual sua velocidade média? Ora, você está querendo medir velocidade média, mas a variável chave, que é o tempo, está no denominador das velocidades e as duas distâncias, de ida e de volta são iguais ... Logo a velocidade média (vm) é a média harmônica. Veja: vm = distância total / tempo total = (d1 + d2) / (t1 + t2) (A) Ocorre que t1 = d1 /v1 e t2 = d2/v2 Levando estas expressoes em (A) voce obtem dist total / tempo total = (x + x) / [x/v1 + x/v2] = 2v1.v2 (v1+v2) que é a média harmônica... Abraços, Nehab At 22:39 8/8/2007, you wrote: A densidade total é a média harmônica das densidades parciais. - Original Message - From: arkon To: obm-l Sent: Wednesday, August 08, 2007 10:49 AM Subject: [obm-l] BETONEIRA Alguém pode resolver esta, por favor: Uma betoneira está sendo preparada para produzir concreto. Receberá iguais quantidades, em massa, de areia, cimento e brita de densidades iguais a 1,5; 1,3 e 2,4, respectivamente. Calcular a densidade do concreto que vai ser produzido pela betoneira. Multiplique o resultado por 10 e despreze a parte fracionária, caso exista. DESDE JÁ MUITO OBRIGADO -- No virus found in this incoming message. Checked by AVG Free Edition. Version: 7.5.476 / Virus Database: 269.11.8/941 - Release Date: 7/8/2007 16:06 -- No virus found in this incoming message. Checked by AVG Free Edition. Version: 7.5.476 / Virus Database: 269.11.8/941 - Release Date: 7/8/2007 16:06
