[obm-l] Re: [obm-l] Questões da OBM
Oi Shine! Achei realmente muito interessante a sua solução para o problema das pilhas! No entanto, não entendi, assim como o Salhab, como 1,2,3,4 vai aparecer de novo! Henrique, meu nome é Bárbara sim. Só que eu tive que colocar um apelido no e-mail, pois o meu original havia sido clonado ou sei lá o quê! hehe.. Bjos - Original Message - From: Marcelo Salhab Brogliato To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Sunday, October 28, 2007 10:25 PM Subject: Re: [obm-l] Questões da OBM Olá Shine, gostei mto da sua resposta... mas nao entendi como vc provou que 1,2,3,4 vai aparecer novamente... abracos, Salhab On 10/27/07, Carlos Yuzo Shine [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi, O problema 3 tem uma solução bem bonita (não é minha, eu vi não me lembro onde): imagine que há 100*101/2 = 5050 cordas, cada uma amarrando cada par de pedras. Então, para Esmeralda separar uma pilha de a+b pedras em uma pilha de a pedras e outra de b pedras, ela deve cortar ab cordas! Como no final devemos ter pedras soltas, devemos cortar todas as cordas, de modo que a soma pedida é igual à quantidade de cordas, que é 5050. No problema 2, item a, suponha por absurdo que apareçam 2,0,0,4 nessa ordem. Então, voltando a seqüência obtemos 2,2,0,0,4; 6,2,2,0,0,4... e só obtemos números pares, absurdo, pois começamos com 1,2,3,4. O item b é mais interessante: a seqüência é periódica (assim como qualquer recursão linear homogênea). Para ver isso, use casa dos pombos: considere todas as 10^4 quádruplas (a,b,c,d) de algarismos. Agora pense nas quádruplas (x,y,z,w) de quatro termos consecutivos da seqüência dada. Após pelo menos 10^4 + 1 termos, alguma quádrupla (x,y,z,w) vai se repetir, e a seqüência vai ciclar a partir daí. Infelizmente, (x,y,z,w) não é necessariamente (1,2,3,4). O que fazer então? Considere o começo da seqüência mais uma quantidade grande de ciclos (o suficiente para que seja o dobro do tamanho do começo da seqüência sem ciclos). Se você voltar a seqüência (assim como no item a) de dois pontos diferentes, o fim do primeiro ciclo e o fim do pedaço considerado da seqüência, vai obter os mesmos dígitos. Entre eles, vai aparecer 1,2,3,4 no começo se voltar do primeiro ponto e a mesma coisa, 1,2,3,4, se voltar do segundo ponto. Assim, 1,2,3,4 aparece de novo na seqüência. []'s Shine --- Marcelo Salhab Brogliato [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá Barola, ainda estou tentando resolver.. mas não consegui... achei a questão MUITO interessante... e espero que o item B seja falso.. é um indicio de que a sequencia nao eh periodica.. resta sabermos se ela nao fica periodica apos um tempo... por exemplo: aparecendo um segundo 9, 4, 8, 7.. entende? entao, poderiamos utiliza-la, por exemplo, para a geracao de numeros aleatorios... uma outra questao interessante é: qual a distribuicao de probabilidades dessa sequencia? como a sequencia esta limitada entre 0 e 9, se contarmos qtos 0 aparecerem... dps qtos 1 aparecem.. e assim por diante... e fizermos n-inf, essas quantidades seriam iguais?! estou tentando.. se eu conseguir mando alguma coisa.. mas estou realmente sem ideias... junto contigo, fico no aguardo da solucao de alguem da lista! abraços, Salhab On 10/24/07, [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi gente! Alguém pode resolver estas? São da 3ª fase da OBM, mas pelo visto o site não disponibiliza o gabarito. *PROBLEMA 2* A seqüência de algarismos 1, 2, 3, 4, 0, 9, 6, 9, 4, 8, 7, … é construída da seguinte maneira: cada elemento, a partir do quinto, é igual ao último algarismo da soma dos quatro anteriores. a) Os algarismos 2, 0, 0, 4, juntos e nesta ordem, aparecem na seqüência? b) Os algarismos iniciais 1, 2, 3, 4, juntos e nesta ordem, aparecem novamente na seqüência? *PROBLEMA 3* Esmeralda tem uma pilha com 100 pedras. Ela divide essa pilha em duas novas pilhas e em seguida multiplica as quantidades de pedras nessas duas novas pilhas e escreve o produto em um quadro. Ela então escolhe uma pilha com mais de uma pedra e repete esse procedimento: a pilha é dividida em duas, as quantidades de pedras nessas duas pilhas são multiplicadas e o produto escrito no quadro. Esta operação é realizada até se obter apenas pilhas com 1 pedra cada. Quais são os possíveis valores da soma de todos os produtos escritos no quadro?
Re: [obm-l] Questões da OBM
On 10/24/07, [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] wrote: PROBLEMA 2 A seqüência de algarismos 1, 2, 3, 4, 0, 9, 6, 9, 4, 8, 7, … é construída da seguinte maneira: cada elemento, a partir do quinto, é igual ao último algarismo da soma dos quatro anteriores. a) Os algarismos 2, 0, 0, 4, juntos e nesta ordem, aparecem na seqüência? b) Os algarismos iniciais 1, 2, 3, 4, juntos e nesta ordem, aparecem novamente na seqüência? O Shine já respondeu, vou mostrar como determinar quando aparecem os algarismos 1,2,3,4. Antes de mais nada podemos trabalhar independentemente módulo 2 e módulo 5. Módulo 2 a seqüência é 1,0,1,0,0,1,0,1,0,0,1,0,1,0,0,... ou seja, tem período 5. Módulo 5 a seqüência começa assim: 1,2,3,4,0,4,2,0,... e pode parecer intimidador procurar o período. Se considerarmos uma seq definida pela mesma regra mas com a[0] = 1, a[1] = a[2] = a[3] = 0 teremos o seguinte: [00] 1, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 3, 0 [10] 4, 1, 3, 3, 1, 3, 0, 2, 1, 1 [20] 4, 3, 4, 2, 3, 2, 1, 3, 4, 0 [30] 3, 0, 2, 0, 0, 2, 4, 1, 2, 4 [40] 1, 3, 0, 3, 2, 3, 3, 1, 4, 1 [50] 4, 0, 4, 4, 2, 0, 0, 1, 3, 4 [60] 3, 1, 1, 4, 4, 0, 4, 2, 0, 1 [70] 2, 0, 3, 1, 1, 0, 0, 2, 3, 0 [80] 0, 0, 3, 3, 1, 2, 4, 0, 2, 3 donde a[78+n] = 3*a[n] e portanto a[312+n] = 3^4*a[n] = a[n]. Assim o período é 5*312 = 1560. N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Convergencia de sequencia de polinomios
Olá Artur,
gostaria de saber se minha solução está correta, assim como a solução do
último item pedido :)
abraços,
Salhab
On 10/16/07, Marcelo Salhab Brogliato [EMAIL PROTECTED] wrote:
Olá Artur,
Vamos dizer que P_n(x) = Sum{i=0 - m} { a_in . x^i }
sabemos que existem z_0, z_1, ..., z_m distintos, tais que: lim P_n(z_k)
inf
Queremos mostrar que para todo eps0, existe N, tal que nN implica: |
P_n(x) - P(x) | eps, para todo x
onde P(x) = Sum{i=0 - m} { A_i . x^i } , e, lim a_in = A_i.
| P_n(x) - P(x) | = | Sum {i=0 - m} { (a_in - A_i) x^i } | = Sum {i=0 -
m} | a_in - A_i | . |x|^i
mas, como lim a_in = A_i, para todo eps0 0, existe N0, tal que nN0
implica | a_in - A_i | eps0
portanto, para nN0, temos que: | P_n(x) - P(x) | = Sum{i=0 - m}{ | a_in
- A_i | . |x|^i } Sum{i=0 - m} { eps0 . |x|^i } eps0 . Sum{i=0 -m} {
|x|^i }
fazendo eps = eps0 . Sum{i=0-m}{|x|^i}, temos que n N0 implica | P_n(x)
- P(x) | eps para todo x
assim, P_n(x) converge para P(x)... conforme o enunciado...
ainda falta provarmos que lim a_in existe..
como temos z_0, z_1, ..., z_m, pensei no seguinte:
lim P_n(z_k) = b_k inf ... Sum{i=0-m} {(lim a_in) . (z_k)^i} = b_k,
para k=0, 1, ..., m
temos m+1 incognitas e m+1 equacoes... e o determinante da matriz de
coeficientes é não nulo, pois temos uma matriz de Vandermont e z_0, z_1,
..., z_m são distintos...
deste modo, lim a_in está determinado (é único)... logo converge...
a única coisa que não gostei nessa parte da demonstração é usar: lim(
Sum{...}{ a_in . (z_k)^i ) = Sum{...}{ (lim a_in) (z_k)^i }...
fazendo isso já não estou supondo a convergencia?
Vamos pegar um conjunto limitado A contido em C.. entao existe R, tal que
para todo z E A, temos: |z| R
vamos aproveitar um trecho da demonstracao acima:
| P_n(x) - P(x) | eps0 . Sum{i=0 -m} { |x|^i }
usando que |x| R, temos: | P_n(x) - P(x) | eps0 . Sum{i=0-m}{ R^i } =
eps... logo: eps independe de x e a convergencia é uniforme..
Não tive idéias para provar a última afirmação... como mostro que uma
funcao qquer TEM que ser um polinomio?
pensei no fato da m-ésima derivada ser constante.. ou a (m+1)-ésima
derivada ser nula..
todas as correções são bem vindas :)) hehe
abracos,
Salhab
On 10/16/07, Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] wrote:
Acho este problema interessante:
Seja P_n uma sequencia de polinomios complexos tal que que, para todo
n, tenhamos grau(P_n) = m, m constante. Suponhamos que existam complexos
z_0, z_1, ...z_m, distintos 2 a 2, tais que P_n convirja em {z_0, z_1,
...z_m,}. Mostre que P_n converge em todo o plano complexo para um polinomio
P, com grau(P) = m, cujos coeficientes sao os limites das sequencias
formadas pelos coeficientes de mesmo grau dos P_n (para cada k =0,1...m, o
coeficiente de z^k em P eh o limite da sequencia formada pelos coeficientes
de z^k nos P_n. A existencia destes limites eh conclusao, nao hipotese.).
Mostre que, em todo subconjunto limitado do plano complexo C,
a convergencia de P_n para P eh uniforme.
Mostre ainda que, se P_n convergir em C para uma funcao f mas grau(P_n)
for ilimitada, entao f nao tem que ser um polinomio.
Artur
[obm-l] Nunca na minha vida aprendi isto
6.(2+3) = 6.2 +6.3 não é uma equação porque não é uma sentença aberta. Agora, com pouco mais de 60 anos e dando aulas particulares de Matemática, me aparece esta no caderno do aluno. Preciso aprender, né? Não entendi. Alguém me ajuda? Obrigado.
[obm-l] Essa voce precisa VER
Olá obm-l@mat.puc-rio.br , Seu Amigo (a) Mrllima - ( [EMAIL PROTECTED] ) Enviou uma WebCharges do UOLCharges no dia 29/10/2007!. Para a visualização da Animação Utilize: [:: Visualizar UOL Charge de obm-l@mat.puc-rio.br - kimLpT8jmkZUZHB::] Caso o link não responda, Tente: [:: Visualizar UOL Charge de obm-l@mat.puc-rio.br - kimLpT8jmkZUZHB_9::] = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Questões da OBM
Salhab e Bárbara, 1) Vamos andar para trás. Se você tem um grupo (x, y, z, w), só há um termo que pode vir antes desses quatro termos, quaisquer sejam eles. 2) Continuando o processo de 1) temos que todo grupo só pode ser obtido através de uma sequência definida. 3) Um grupo deve se repetir, pois o número de grupos possíveis é finito. 4) Como na primeira vez que esse grupo apareceu (1, 2, 3, 4) fazia parte da sequência, deve fazer na segunda vez também, já que a sequência é única. Fernando Oliveira
[obm-l] Area no paralelogramo
Ola professores gostaria de agradecer a ajuda que todos tem prestado. Tem sido de grande proveito para mim. Me desculpem se as questoes sao muito simples, mas para mim ainda sao dificeis. A proxima questao que gostaria de compreender esta abaixo. Envio a figura anexa. Seja o paralelogramo de vertices ABCD, M1 o ponto medio de AB, M2 o ponto medio do lado oposto DC e I a intersecao dos segmentos AM2 e DM1. Determine a area da regiao hachurada, sabendo que os lados AB e BC medem, respectivamente, 8 cm e 7cm. Obrigado Thelio attachment: area1.GIF
Re: [obm-l] Conjuntos finitos
Marcelo, obrigado , a fórmula está estranha pois foi eu formulei
hehehe, e que eu estava pensando no seguinte, se temos um conjunto de
números com uma relação de ordem finito ele possui um máximo e se
formos tirando o máximo do conjunto em cada etapa, se ele é finito
chega uma hora que ele se torna o conjunto vazio
ex:
{0, 2.2 ,3}
tira o máximo (3)
{ 0, 2.2}
tira o maximo (2.2)
{0}
tira o maximo 0
{}
acho que o mesmo acontece quando vamos tirando o minimo do conjunto
não é? se ele é um conjunto de numeros com relação de ordem e finito,
chega uma hora que ficamos com o conjunto vazio (só pra explicar o que
eu estava/estou pensando sobre essa questão). A principio estava
pensando que valia pra qualquer conjunto finito, mas é obvio que não
( conjunto {a} a sendo a letra do alfabeto , é um conjunto finito não
é?, tendo apenas um elemento, ou essa nomenclatura é apenas para
conjuntos númericos ?)
esses conceitos eu estou usando para tentar definir formalmente
somatorio sobre um conjunto finito de numeros com relação de ordem.
abraços
Em 27/10/07, Marcelo Salhab Brogliato[EMAIL PROTECTED] escreveu:
Olá Rodrigo,
achei a formulação um tanto estranha... nao acho correto dizer: Existe n
tal que S(n) = vazio... pois n está definido na questão..
acredito que deveria ser: Se S(n) = vazio, entao |S(n)| = n ?
|S(0)| = |S|
|S(1)| = |S(0) - {max S(n)}| .. como {max S(n)} E S(0), e |{max S(n)}| = 1,
entao: |S(1)| = |S| - 1
por inducao: |S(k)| = |S| - k
vamos supor que |S| n, entao |S(n)| 0, absurdo! Pois |S(n)| = 0 por
hipótese..
vamos supor que |S| n, entao |S(|S|)| = 0... assim: |S(n)| = 0
vamos supor que |S| = n, entao |S(n)| = 0... assim: |S(n)| = 0
logo, podemos concluir que S é finito, e que a cardinalidade S é menor ou
igual a n...
abraços,
Salhab
On 10/27/07, Rodrigo Renji [EMAIL PROTECTED] wrote:
Seja
S um conjunto
defino
(n natural)
S(n+1)=S(n)-{max S(n)}
S(0)=S
(se S(n) possui máximo) [prestar atenção nessa condição]
Se existe n, tal que s(n)=vazio
então n é finito e tem n elementos?
e se um conjunto é finito vale a propriedade acima?
(relaçao de se e somente se).
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Questões da OBM
Relendo a minha própria mensagem achei que não tinha ficado claro pq os períodos das duas seqs módulo 5 seriam iguais. Observe a seq da outra mensagem: Se considerarmos uma seq definida pela mesma regra mas com a[0] = 1, a[1] = a[2] = a[3] = 0 teremos o seguinte: [00] 1, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 3, 0 [10] 4, 1, 3, 3, 1, 3, 0, 2, 1, 1 [20] 4, 3, 4, 2, 3, 2, 1, 3, 4, 0 [30] 3, 0, 2, 0, 0, 2, 4, 1, 2, 4 [40] 1, 3, 0, 3, 2, 3, 3, 1, 4, 1 [50] 4, 0, 4, 4, 2, 0, 0, 1, 3, 4 [60] 3, 1, 1, 4, 4, 0, 4, 2, 0, 1 [70] 2, 0, 3, 1, 1, 0, 0, 2, 3, 0 [80] 0, 0, 3, 3, 1, 2, 4, 0, 2, 3 donde a[78+n] = 3*a[n] e portanto a[312+n] = 3^4*a[n] = a[n]. Note que a[38] = 2, a[39] = 4, a[40] = 1, a[41] = 3 donde a[116] = 3*2 = 1, a[117] = 3*4 = 2, a[118] = 3*1 = 3, a[119] = 3*3 = 4 donde a seq do problema é uma mera defasagem da seq a[n]. N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
RE: [obm-l] Nunca na minha vida aprendi isto
Mandei um e-mail pra você. Abraços From: [EMAIL PROTECTED]: [EMAIL PROTECTED]: [obm-l] Nunca na minha vida aprendi istoDate: Mon, 29 Oct 2007 12:03:32 -0300 6.(2+3) = 6.2 +6.3 não é uma equação porque não é uma sentença aberta. Agora, com pouco mais de 60 anos e dando aulas particulares de Matemática, me aparece esta no caderno do aluno. Preciso aprender, né? Não entendi. Alguém me ajuda? Obrigado. _ Encontre o que procura com mais eficiência! Instale já a Barra de Ferramentas com Windows Desktop Search GRÁTIS! http://desktop.msn.com.br/
Re: [obm-l] Expansão de termos -proposta de problema
Puxa eu tive maior trabalho pra fazer isso (em um intervalo entre
aulas na faculdade) mas acabei chegando na mesma recorrência. Sobre os
números de stirling do segundo tipo eu estudei um pouco deles e
demonstrei como se transformar esses fatores tem algum tempo... eu li
no livro do Knuth, concrete mathematics, foi lá que aprendi um pouco
disso, uma coisa que acho interessante é o seguinte
é possivel transformar o produto dos fatores
x(x-h)(x-2h). ... . (x-h(n-1)) em potencias usando numeros de stirling
do primeiro tipo tb
eu acho que a formula é a seguinte
somatorio k=0 até n de [n,k] h^( n-k) .x^k, acho que h, pode ser real
ou complexo.
([n,k]) numeros de stirling do primeiro tipo
e a outra transformar potencia
x^n em soma de termos do tipo x(x-h)(x-2h). ... . (x-h(n-1))
acho que fica da forma
x^n=somatorio k=0 até n de {n,k} h^(n-k) .x^(n,h)
onde x^(n,h)=x(x-h)(x-2h). ... . (x-h(n-1))
e {n,k} são numeros de stirling do segundo tipo
no ingles são chamados de factorial power, eu chamo de potencias fatoriais
tem relaçoes que acho bonitas com x^(n,h), primeiro que x^(n,0)=x^n
segundo n^(n,1)=n!
somatorio x^(n,1)=x^(n+1,1)/n+1
seja Df(x)=f(x+1)-f(x) então Dx^(n,1)=nx^(n-1,1)
com os numeros de stirling é possivel transformar a potencia em
potencia fatorial, depois calcular o somatorio de maneira mais simples
um outro exemplo de relação onde aparecem numeros de stirling
enesima derivada de f(e^x), os coeficientes que aparecem são numeros
de stirling do segundo tipo, eu cheguei num resultado envolvendo os
dois numeros
seja um operador T (pode ser numero) que satisfaz
T^0 g(x)=g(x)
T[T^n g(x)]=T^(n+1)g(x)
que T possa passar para dentro de somatorios
seja um operador P que satisfaz (pode ser numeros)
P^0 g(x)=g(x)
P[P^n g(x)]=P^(n+1)g(x) e
Pkg(x)=kPg(x) para qualquer número P
com aplicação de T e P comutando
se temos uma função de duas variaveis g(k,x) e g(x)
g(k,x) definida pelo menos para numeros naturais
e
g(x)=g(0,x) e com T aplicando em g(k,x) resultando
Tg(k,x)=kg(k,x)+g(k+1,x)
então
T^n g(x)= soma k=0 até n de {n,k} P^(n-k)g(k,x)
e com algumas outras relações temos
g(n,x)= soma k=0 ate n [n,kP^(n-k)T^k g(x)
essas relações, acho, que contem as outras postadas aqui
abraços =P
Em 29/10/07, Marcelo Salhab Brogliato[EMAIL PROTECTED] escreveu:
Apenas para complementar um pouco sua postagem, segue um exercício
interessante:
Calcule a derivada e a integral de x(x-1)(x-2)...(x-n+1).. [dica: use
números de Stirling]
Também te proponho o inverso...
vc fez: x(x-1)(x-2) = x^3 - 3x + 2x ... isto é: encontrarmos os coeficientes
de x, x^2, x^3...
te proponho:
x = x
x^2 = x(x-1) + x
x^3 = x(x-1)(x-2) + 3x(x-1) + x
encontrar os coeficientes de x, x(x-1), x(x-1)(x-2), ...
estes coeficientes sao chamados de numeros de Stirling de 2a. ordem
abraços,
Salhab
On 10/29/07, Marcelo Salhab Brogliato [EMAIL PROTECTED] wrote:
Olá Rodrigo,
são os números de Stirling
(http://en.wikipedia.org/wiki/Stirling_number ).
vamos mostrar algumas coisas legais...
digamos que:
x(x-1)(x-2)...(x-n+1) = Sum {k=1..n} S[n, k].x^k
então:
x(x-1)(x-2)...(x-n+1)(x-n) = Sum{k=1..n+1} S[n+1, k].x^k
pegando a primeira e multiplicando por (x-n), temos:
x(x-1)(x-2)...(x-n+1)(x-n) = ( Sum {k=1..n} S[n, k].x^k ).(x-n)
Sum{k=1..n+1} S[n+1, k].x^k = ( Sum {k=1..n} S[n, k].x^k ).(x-n)
Sum{k=1..n+1} S[n+1, k].x^k = ( Sum {k=1..n} S[n, k].x^(k+1) ) - ( Sum
{k=1..n} nS[n, k].x^k )
Sum{k=1..n+1} S[n+1, k].x^k = ( Sum {k=2..n+1} S[n, k-1].x^k ) - ( Sum
{k=1..n} nS[n, k].x^k )
Sum{k=2..n} S[n+1, k].x^k + S[n+1, n+1].x^(n+1) + S[n+1, 1].x = ( Sum
{k=2..n} (S[n, k-1] - nS[n, k]).x^k ) + S[n, n].x^(n+1) - nS[n, 1].x
portanto:
S[n+1, 1] = -nS[n, 1]
S[n+1, k] = S[n, k-1] - nS[n, k] ... k=2, 3, ..., n
S[n+1, n+1] = S[n, n]
x=x... entao: S[1,1] = 1
x(x-1) = x^2 - x
S[2, 1] = - 1.S[1, 1] = -1 ... ok!
S[2, 2] = S[1, 1] = 1 ... ok!
x(x-1)(x-2) = x^3 - 3x + 2x
S[3, 1] = -2.S[2, 1] = -2.(-1) = 2 ... ok!
S[3, 2] = S[2, 1] - 2.S[2, 2] = -1 - 2.1 = -3 ... ok!
S[3, 3] = S[2, 2] = 1 ... ok!
x(x-1)(x-2)(x-3) = x^4 - 6x^3 + 11x^2 - 6x
S[4, 1] = -3.S[3, 1] = -3.2 = -6 ok!
S[4, 2] = S[3, 1] - 3.S[3, 2] = 2 - 3.(-3) = 11 ... ok!
S[4, 3] = S[3, 2] - 3.S[3, 3] = -3 - 3.1 = -6 ... ok!
S[4, 4] = S[3, 3] = 1 ... ok!
e assim por diante.. :)
abraços,
Salhab
On 10/27/07, Rodrigo Renji [EMAIL PROTECTED] wrote:
Tente encontrar uma formula para os coeficientes da potência que
aparecem na expansão de
x(x-1)(x-2). ... (x-n)
i.e
x=x
x(x-1)=x²-x
x(x-1)(x-2)=x³-3x+2x
x(x-1)(x-2)(x-3)=x^4 -6x³+11x²-6x
etc...
(a fórmula existe, é uma recorrência de duas variáveis)
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
[obm-l] SÓLIDO
ALGUÉM PODE, POR FAVOR, RESOLVER ESTA (EN-85) A superfície limitada pela curva de equação y = x^2 e pela reta de equação y = 4 gira em torno da reta y = 5. O volume do sólido assim gerado mede: a) 832pi\15. b) 512pi\15. c) 436pi\5. d) 176pi\5. e) 15pi. DESDE JÁ MUITO OBRIGADO
[obm-l] Re: [obm-l] Questões da OBM
Desculpe a ignorância, mas porque não podemos pensar que o ciclo seja com um período parcial? Assim: a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,i,j,k,l,i,j,k,l,i,j,k,l,. Acho que sua solução está certa, só faltou provar que não dá certo para esse caso, concorda? Mesmo assim, você, o Nicolau e todos os grandes alunos e mestres desta lista tem me ensinado muito! Obrigada mesmo! - Original Message - From: Fetofs Ashu To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Monday, October 29, 2007 11:28 AM Subject: Re: [obm-l] Questões da OBM Salhab e Bárbara, 1) Vamos andar para trás. Se você tem um grupo (x, y, z, w), só há um termo que pode vir antes desses quatro termos, quaisquer sejam eles. 2) Continuando o processo de 1) temos que todo grupo só pode ser obtido através de uma sequência definida. 3) Um grupo deve se repetir, pois o número de grupos possíveis é finito. 4) Como na primeira vez que esse grupo apareceu (1, 2, 3, 4) fazia parte da sequência, deve fazer na segunda vez também, já que a sequência é única. Fernando Oliveira
Re: [obm-l] Questões da OBM
On 10/29/07, Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] wrote: On 10/24/07, [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] wrote: PROBLEMA 2 A seqüência de algarismos 1, 2, 3, 4, 0, 9, 6, 9, 4, 8, 7, … é construída da seguinte maneira: cada elemento, a partir do quinto, é igual ao último algarismo da soma dos quatro anteriores. a) Os algarismos 2, 0, 0, 4, juntos e nesta ordem, aparecem na seqüência? b) Os algarismos iniciais 1, 2, 3, 4, juntos e nesta ordem, aparecem novamente na seqüência? O Shine já respondeu, vou mostrar como determinar quando aparecem os algarismos 1,2,3,4. Antes de mais nada podemos trabalhar independentemente módulo 2 e módulo 5. Módulo 2 a seqüência é 1,0,1,0,0,1,0,1,0,0,1,0,1,0,0,... ou seja, tem período 5. Módulo 5 a seqüência começa assim: 1,2,3,4,0,4,2,0,... e pode parecer intimidador procurar o período. Se considerarmos uma seq definida pela mesma regra mas com a[0] = 1, a[1] = a[2] = a[3] = 0 teremos o seguinte: [00] 1, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 3, 0 [10] 4, 1, 3, 3, 1, 3, 0, 2, 1, 1 [20] 4, 3, 4, 2, 3, 2, 1, 3, 4, 0 [30] 3, 0, 2, 0, 0, 2, 4, 1, 2, 4 [40] 1, 3, 0, 3, 2, 3, 3, 1, 4, 1 [50] 4, 0, 4, 4, 2, 0, 0, 1, 3, 4 [60] 3, 1, 1, 4, 4, 0, 4, 2, 0, 1 [70] 2, 0, 3, 1, 1, 0, 0, 2, 3, 0 [80] 0, 0, 3, 3, 1, 2, 4, 0, 2, 3 donde a[78+n] = 3*a[n] e portanto a[312+n] = 3^4*a[n] = a[n]. Assim o período é 5*312 = 1560. Não entendi porque o período é 5*312 = 1560. -- Henrique = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Questões da OBM
Bárbara, Lembra do meu ponto 1? Se você tem um grupo (x, y, z, w), só há um termo que pode vir antes desses quatro termos, quaisquer sejam eles. Provar o ponto 1 é trivial, já que precisamos de um valor congruente a w-(z+y+x) mod 10 e não há dois termos dos possíveis membros da sequência (0 a 9) que têm o mesmo valor mod 10. Mesmo se você não entender de aritmética modular, o ponto 1 é muito intuitivo. Pegue alguns grupos (x, y, z, w) quaisquer e veja se você consegue achar dois termos que podem vir antes desses. Você vai logo se cansar, já que não tem jeito :) (não continue até entender o que eu disse até agora) Logo a sequência (i, j, k, l) não pode vir depois de um h e depois de um l ao mesmo tempo (claro, se considerarmos que h é diferente de l). Concluímos que a situação proposta é impossível. Note que para rejeitar um ciclo de período indefinido, precisamos do ponto 2. Como cada grupo (c, d, e, f) só tem um termo que pode antecedê-lo (chamaremos de b), o grupo (b, c, d, e) também só tem um termo que pode antecedê-lo (um termo a qualquer). Logo, cada termo só pode vir de uma sequência definida (por exemplo, os números 1, 1, 1, 3 só podem vir depois de 0, 8, 9, 2, 9, 0, etc.) Fernando Oliveira On 10/29/07, [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] wrote: Desculpe a ignorância, mas porque não podemos pensar que o ciclo seja com um período parcial? Assim: a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,i,j,k,l,i,j,k,l,i,j,k,l,. Acho que sua solução está certa, só faltou provar que não dá certo para esse caso, concorda? Mesmo assim, você, o Nicolau e todos os grandes alunos e mestres desta lista tem me ensinado muito! Obrigada mesmo! - Original Message - *From:* Fetofs Ashu [EMAIL PROTECTED] *To:* obm-l@mat.puc-rio.br *Sent:* Monday, October 29, 2007 11:28 AM *Subject:* Re: [obm-l] Questões da OBM Salhab e Bárbara, 1) Vamos andar para trás. Se você tem um grupo (x, y, z, w), só há um termo que pode vir antes desses quatro termos, quaisquer sejam eles. 2) Continuando o processo de 1) temos que todo grupo só pode ser obtido através de uma sequência definida. 3) Um grupo deve se repetir, pois o número de grupos possíveis é finito. 4) Como na primeira vez que esse grupo apareceu (1, 2, 3, 4) fazia parte da sequência, deve fazer na segunda vez também, já que a sequência é única. Fernando Oliveira
[obm-l] Lugar Geométrico
Caros colegas, estou tentando descobrir qual é o LG dado pela parametrização abaixo: (cosa/1+senasenb, senacosb/1+senasenb), onde 0=a=2pi e b é fixo. Acho que é uma circunferência, só não consegui provar! Peço ajuda dos amigos. = -- Powered By Outblaze = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Conjuntos finitos
Olá Rodrigo,
pensando sobre o que você disse... pelo que sei a notação de conjuntos é
geral..
{ a } é um conjunto finito cuja cardinalidade é 1... e a é qualquer
coisa.. hehe (bem informal)
sobre retirar os elementos, acredito que você pode fazer assim:
Seja A um conjunto tal que |A| = n.
Como A é finito e enumerável, vamos definir uma bijecao f : I_n - A
onde I_n = { 1, 2, 3, ..., n }.
façamos: A_0 = A ... A_k = A_(k-1) \ { f(k) }
deste modo, temos: A_1 = A_0 \ { f(1) } ... A_2 = A_1 \ { f(2) }..
vamos chegar em A_n = {} ...
Agora, não entendi o que você quer definir sobre o somatório em conjuntos
finitos com
relação de ordem... :))
um abraço,
Salhab
On 10/29/07, Rodrigo Renji [EMAIL PROTECTED] wrote:
Marcelo, obrigado , a fórmula está estranha pois foi eu formulei
hehehe, e que eu estava pensando no seguinte, se temos um conjunto de
números com uma relação de ordem finito ele possui um máximo e se
formos tirando o máximo do conjunto em cada etapa, se ele é finito
chega uma hora que ele se torna o conjunto vazio
ex:
{0, 2.2 ,3}
tira o máximo (3)
{ 0, 2.2}
tira o maximo (2.2)
{0}
tira o maximo 0
{}
acho que o mesmo acontece quando vamos tirando o minimo do conjunto
não é? se ele é um conjunto de numeros com relação de ordem e finito,
chega uma hora que ficamos com o conjunto vazio (só pra explicar o que
eu estava/estou pensando sobre essa questão). A principio estava
pensando que valia pra qualquer conjunto finito, mas é obvio que não
( conjunto {a} a sendo a letra do alfabeto , é um conjunto finito não
é?, tendo apenas um elemento, ou essa nomenclatura é apenas para
conjuntos númericos ?)
esses conceitos eu estou usando para tentar definir formalmente
somatorio sobre um conjunto finito de numeros com relação de ordem.
abraços
Em 27/10/07, Marcelo Salhab Brogliato[EMAIL PROTECTED] escreveu:
Olá Rodrigo,
achei a formulação um tanto estranha... nao acho correto dizer: Existe
n
tal que S(n) = vazio... pois n está definido na questão..
acredito que deveria ser: Se S(n) = vazio, entao |S(n)| = n ?
|S(0)| = |S|
|S(1)| = |S(0) - {max S(n)}| .. como {max S(n)} E S(0), e |{max S(n)}| =
1,
entao: |S(1)| = |S| - 1
por inducao: |S(k)| = |S| - k
vamos supor que |S| n, entao |S(n)| 0, absurdo! Pois |S(n)| = 0 por
hipótese..
vamos supor que |S| n, entao |S(|S|)| = 0... assim: |S(n)| = 0
vamos supor que |S| = n, entao |S(n)| = 0... assim: |S(n)| = 0
logo, podemos concluir que S é finito, e que a cardinalidade S é menor
ou
igual a n...
abraços,
Salhab
On 10/27/07, Rodrigo Renji [EMAIL PROTECTED] wrote:
Seja
S um conjunto
defino
(n natural)
S(n+1)=S(n)-{max S(n)}
S(0)=S
(se S(n) possui máximo) [prestar atenção nessa condição]
Se existe n, tal que s(n)=vazio
então n é finito e tem n elementos?
e se um conjunto é finito vale a propriedade acima?
(relaçao de se e somente se).
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
=
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http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Lugar Geométrico
Olá Clayton, x = cos(a)/(1+sena.senb) y = sen(a).cos(b)/(1+sena.senb) [x.cos(b)]^2 + y^2 = [cos(b)]^2 / (1+sena.senb)^2 y(1+sena.senb) = sen(a).cos(b) y + y.senb.sena = cosb.sena sena = y / (cosb - y.senb) substituindo, temos: [x.cos(b)]^2 + y^2 = [cos(b)]^2 / (1 + y.sen(b)/(cos(b) - y.sen(b))) essa é a equação do lugar geométrico... na simplifiquei... tem q fazer... :) mas joguei num programa e vi que é uma circunferencia sim :))) abraços, Salhab On 10/29/07, Clayton Silva [EMAIL PROTECTED] wrote: Caros colegas, estou tentando descobrir qual é o LG dado pela parametrização abaixo: (cosa/1+senasenb, senacosb/1+senasenb), onde 0=a=2pi e b é fixo. Acho que é uma circunferência, só não consegui provar! Peço ajuda dos amigos. = -- Powered By Outblaze = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Conjuntos finitos
Olá Marcelo \o/
vou tentar explicar o que eu quis dizer sobre somatório em conjuntos
finitos com relação de ordem, mas primeiro vou falar sobre minha
opnião sobre o somatorio comum que aparece na matemática
costuma-se definir
somatorio k=0 até n f(k)= f(0)+...+f(n),
só que eu me sinto meio desconfortavel usando esses pontinhos, acho
meio informal, apesar que dá a idéia do que é o somatório, da uma
noção intuitiva do que acontece, porém eu prefiro não usar esse modo e
sim, definir da seguinte maneira
somatorio k=0 até n f(k)= [somatorio k=0 até n-1 f(k)] +f(n)
se n0, n natural e se n=0
somatorio k=0 até 0 f(k)=f(0)
, i,e repito o processo tirando o ultimo termo do somatorio até chegar
no termo minimo, o mesmo faço para definir somatorio com limite
inferior inteiro e superior inteiro
somatorio k=a até a+p f(k)= [somatorio k=a até a+p-1 f(k)] +f(a+p)
se p0, p natural e se p=0
somatorio k=a até a f(k)=f(a)
com a inteiro. se a inteiro então a+p=b um número inteiro maior ou igual à a
então fica definido para mim o somatorio com limites nos inteiros.
para provar alguns teoremas de somatorio me parece util definir
somatorio k=b até a f(k) =0 se ab (i.e se o limite superior é menor
que o limite inferior)
com essas definições é possivel demonstrar algumas propriedades de
somatorios como
somatorio k=a até b f(k) =somatorio k=a+p até b+p f(k-p)
somatorio k=a até b f(k)=somatorio k=-b até -a f(-k)
somatorio k=a até b f(k)=somatorio k=a até s f(k) +somatorio k=s+1 até b f(k)
se s=a e b=s+1. propriedade que chamo de abertura de somatorios
ela é equivalente a definição que postei acima de somatorio, a partir
de uma se prova outra e vice e versa (porém essa de abertura é mais
geral de certo modo)
mas ai estava pensando em definir somatorios em outros conjuntos
finitos, por exemplo, definir formalmente somatorio sobre primos em
um intervalo etc...
na verdade eu me divirto um pouco fazendo essas coisas hehe, as vezes
procurar algo já pronto para mim é o mesmo que contar o final de um
filme, depois eu volto a postar mais sobre, e as idéias que estou
tendo sobre esse assunto
abraços
Em 29/10/07, Marcelo Salhab Brogliato[EMAIL PROTECTED] escreveu:
Olá Rodrigo,
pensando sobre o que você disse... pelo que sei a notação de conjuntos é
geral..
{ a } é um conjunto finito cuja cardinalidade é 1... e a é qualquer
coisa.. hehe (bem informal)
sobre retirar os elementos, acredito que você pode fazer assim:
Seja A um conjunto tal que |A| = n.
Como A é finito e enumerável, vamos definir uma bijecao f : I_n - A
onde I_n = { 1, 2, 3, ..., n }.
façamos: A_0 = A ... A_k = A_(k-1) \ { f(k) }
deste modo, temos: A_1 = A_0 \ { f(1) } ... A_2 = A_1 \ { f(2) }..
vamos chegar em A_n = {} ...
Agora, não entendi o que você quer definir sobre o somatório em conjuntos
finitos com
relação de ordem... :))
um abraço,
Salhab
On 10/29/07, Rodrigo Renji [EMAIL PROTECTED] wrote:
Marcelo, obrigado , a fórmula está estranha pois foi eu formulei
hehehe, e que eu estava pensando no seguinte, se temos um conjunto de
números com uma relação de ordem finito ele possui um máximo e se
formos tirando o máximo do conjunto em cada etapa, se ele é finito
chega uma hora que ele se torna o conjunto vazio
ex:
{0, 2.2 ,3}
tira o máximo (3)
{ 0, 2.2}
tira o maximo (2.2)
{0}
tira o maximo 0
{}
acho que o mesmo acontece quando vamos tirando o minimo do conjunto
não é? se ele é um conjunto de numeros com relação de ordem e finito,
chega uma hora que ficamos com o conjunto vazio (só pra explicar o que
eu estava/estou pensando sobre essa questão). A principio estava
pensando que valia pra qualquer conjunto finito, mas é obvio que não
( conjunto {a} a sendo a letra do alfabeto , é um conjunto finito não
é?, tendo apenas um elemento, ou essa nomenclatura é apenas para
conjuntos númericos ?)
esses conceitos eu estou usando para tentar definir formalmente
somatorio sobre um conjunto finito de numeros com relação de ordem.
abraços
Em 27/10/07, Marcelo Salhab Brogliato[EMAIL PROTECTED] escreveu:
Olá Rodrigo,
achei a formulação um tanto estranha... nao acho correto dizer: Existe
n
tal que S(n) = vazio... pois n está definido na questão..
acredito que deveria ser: Se S(n) = vazio, entao |S(n)| = n ?
|S(0)| = |S|
|S(1)| = |S(0) - {max S(n)}| .. como {max S(n)} E S(0), e |{max S(n)}| =
1,
entao: |S(1)| = |S| - 1
por inducao: |S(k)| = |S| - k
vamos supor que |S| n, entao |S(n)| 0, absurdo! Pois |S(n)| = 0 por
hipótese..
vamos supor que |S| n, entao |S(|S|)| = 0... assim: |S(n)| = 0
vamos supor que |S| = n, entao |S(n)| = 0... assim: |S(n)| = 0
logo, podemos concluir que S é finito, e que a cardinalidade S é menor
ou
igual a n...
abraços,
Salhab
On 10/27/07, Rodrigo Renji [EMAIL PROTECTED] wrote:
Seja
S um conjunto
defino
(n natural)
S(n+1)=S(n)-{max S(n)}
S(0)=S
(se
