[obm-l] Desigualdade Elementar
Prove que se 0 x y, ,então raiz(x) raiz(y).
[obm-l] divisibilidade
Como provo que 8 não divide 3^a + 3^b, como a e b inteiros? Vanderlei
[obm-l] como ele faz isso?
http://static.videoegg.com/ted/flash/fullscreen.html?v=/ted/movies/ARTHURBENJAMIN-2005cid=/ted/movies O video inteiro é interessante. O que eu estou falando acontece no instante 5:46. Ele pega o numero 8649, aparentemente aleatorio e manda as pessoas multiplicarem por algum numero de 3 algarismos. As pessoas ficam com um numero de 6 ou 7 algarismos. No caso todas ficaram com 7 e ditaram pra ele 6 desses algarismos em qualquer ordem e depois ele adivinha o algarismo que esta faltando. Eu estava rabiscando e comecei a formalizar alguma coisa.. Supondo que eu pensei no numero abc, então quando eu multiplicar por 8649, obtenho 864900a + 86490b + 8649c, e este pode ser decomposto como 864900a + 86490b + 8649c = 100*A +10*B + 1*C + 1000*D + 100*F + 10*G + H O que acontece é que o magico nao conhece a,b e c e eu falo para ele 6 dos numeros A,B,C,D,E,F,G,H e ele nao sabe qual é qual. Mas descobre qual falta. Eu desconfio que que pelo fato do numero dar 6 ou 7 algarismos, ele restringe os possiveis valores para a,b e c. Se tiver algum algarismo repetido deve restringir mais ainda... -- Niski http://www.ime.usp.br/~niski = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] como ele faz isso?
bom, 8649 eh multiplo de 9, entao a soma dos digitos tb tem que ser... Se a soma dos 6 digitos nao for multiplo de 9, da pra descobrir facil... Se for, o digito tem que ser 0 ou 9, e dai nao sei com fazer... Nao consegui ver o video, alias... Vou tentar ver mais tarde On 8/13/08, niski lista [EMAIL PROTECTED] wrote: http://static.videoegg.com/ted/flash/fullscreen.html?v=/ted/movies/ARTHURBENJAMIN-2005cid=/ted/movies O video inteiro é interessante. O que eu estou falando acontece no instante 5:46. Ele pega o numero 8649, aparentemente aleatorio e manda as pessoas multiplicarem por algum numero de 3 algarismos. As pessoas ficam com um numero de 6 ou 7 algarismos. No caso todas ficaram com 7 e ditaram pra ele 6 desses algarismos em qualquer ordem e depois ele adivinha o algarismo que esta faltando. Eu estava rabiscando e comecei a formalizar alguma coisa.. Supondo que eu pensei no numero abc, então quando eu multiplicar por 8649, obtenho 864900a + 86490b + 8649c, e este pode ser decomposto como 864900a + 86490b + 8649c = 100*A +10*B + 1*C + 1000*D + 100*F + 10*G + H O que acontece é que o magico nao conhece a,b e c e eu falo para ele 6 dos numeros A,B,C,D,E,F,G,H e ele nao sabe qual é qual. Mas descobre qual falta. Eu desconfio que que pelo fato do numero dar 6 ou 7 algarismos, ele restringe os possiveis valores para a,b e c. Se tiver algum algarismo repetido deve restringir mais ainda... -- Niski http://www.ime.usp.br/~niski = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Rafael = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] divisibilidade
3^a eh congruente a 1 ou 3 mod 8, entao 3^a+3^b eh congruente a 2, 4 ou 6 mod 8, e portanto nao eh multiplo de 8. Essa eh a segunda parte daquela questao q tinha sido perguntada na lista de como provar q 3^m + 3^n +1 = t^2 nao tem solucao inteira, alias... Soh agora q fui ver... On 8/13/08, Vandelei Nemitz [EMAIL PROTECTED] wrote: Como provo que 8 não divide 3^a + 3^b, como a e b inteiros? Vanderlei -- Rafael = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] equação!
bom, o lado esquerdo eh impar, entao t eh impar. Seja t = 2k+1. Entao temos 3^m + 3^n = 4k(k+1). O lado direito eh multiplo de 8. Como 3^m eh congruente a 1 ou 3 mod 8, o lado esquerdo eh congruente a 2,4 ou 6 mod 8, entao o lado esquerdo nao eh multiplo de 8 e a equacao nao tem solucao inteira. On 8/12/08, Vandelei Nemitz [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá pessoal, estou enroscado com uma questão: Prove que a equação 3^m + 3^n + 1 = t^2 não tem solução inteira. Valeu, Vanderlei -- Rafael = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] equação!
Valeu Rafael, bela solução! Vanderlei Em 13/08/08, Rafael Ando [EMAIL PROTECTED] escreveu: bom, o lado esquerdo eh impar, entao t eh impar. Seja t = 2k+1. Entao temos 3^m + 3^n = 4k(k+1). O lado direito eh multiplo de 8. Como 3^m eh congruente a 1 ou 3 mod 8, o lado esquerdo eh congruente a 2,4 ou 6 mod 8, entao o lado esquerdo nao eh multiplo de 8 e a equacao nao tem solucao inteira. On 8/12/08, Vandelei Nemitz [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá pessoal, estou enroscado com uma questão: Prove que a equação 3^m + 3^n + 1 = t^2 não tem solução inteira. Valeu, Vanderlei -- Rafael = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Enc: Re: [obm-l] Ajuda em Quatro Questões de Geometria (problema 3)
Olá Felipe, Após alguns dias, consegui resolver a 4ª questão. Encontrei ângulo de 25º. Estarei postando a solução (que não foi pequena) em breve... Não entendi muito bem a solução que vc deu para a 2ª questao. Vc poderia explicar novamente. []'s Martins Rama Martins, Problema 3 Verificar que o ângulo  = BAC=ABD=ACD, para que BDC= 3 BAC. Vamos chamar AB=AC = m e BM=MC=x. Do triângulo retânguo ABM temos : x2 + 121 = m2 x2 = m2 - 121 Â/2 = BAM Sen(Â/2) = x/m ; Cos(Â/2) = 11/m, então Sen(Â) = 2(x/m)(11/m) = 22x/ m2 Cos(A)2 = 1 - 484x2/m4 = (m4 - 484x2)/m4 = (m4 - 484 m2 + 484*121)/m4 Cos(A)2 = ( m4 - 2*11*22 m2 + (11*22)*(11*22) )/m4 Cos (A) = (m2 - 242)/m2 Agora, vamos aplicar a lei dos Cos noa triângulo ABC : 4x2 = m2 + m2 - 2 m2Cos(A) 4(m2-121)= 2m2 - 2m2 (m2 - 242)/m2 4m2 - 484 = 2m2 -2m2 + 484 4m2 = 968; m2 = 242; m = 11 Sqrt(2), logo x=11. Assim, 2P = 2x +2m = 22 ( Sqrt(2) +1 ) Então, BAC= 90. Se não errei em conta (ou o problema), não existe D tal que AD=10, DM=1 e o ângulo BDC=3BAC. Agora, o último problema parace ser uma verdadeira trolha.Vou tentar hj a noite, mas pelo que vi, este vai demorar:) Abs Felipe --- Em seg, 11/8/08, luiz silva [EMAIL PROTECTED] escreveu: De: luiz silva [EMAIL PROTECTED] Assunto: [obm-l] Enc: Re: [obm-l] Ajuda em Quatro Questões de Geometria (Errata problema 2) Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Segunda-feira, 11 de Agosto de 2008, 11:03 Martins, Verificar, no desenho anterior, que o triângulo CNP é isósceles, com CNP = 100 + 60, assim NCP=NPC= 10, Como NPM =40, CPN = 30. Abs Felipe --- Em seg, 11/8/08, luiz silva [EMAIL PROTECTED] escreveu: De: luiz silva [EMAIL PROTECTED] Assunto: Enc: Re: [obm-l] Ajuda em Quatro Questões de Geometria Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Segunda-feira, 11 de Agosto de 2008, 10:54 Martins, Favor desconsiderar o item 2. A solução está errada. Abs Felipe --- Em seg, 11/8/08, luiz silva [EMAIL PROTECTED] escreveu: De: luiz silva [EMAIL PROTECTED] Assunto: Re: [obm-l] Ajuda em Quatro Questões de Geometria Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Segunda-feira, 11 de Agosto de 2008, 9:37 Olá Martins, Estas são as soluções que vi para as 2 primeiras questões. As outras duas, tentarei resolver até amanhã. 1a) Questão Pode-se utlilzar geometria analítica . Vc deverá determinar as coordenadas dos pontos (coloque um dos vértices do triangulo equilátero no ponto (0,0) ). A seguir, determine as equações das retas que contém as cevianas e o ponto de intercessão das duas cevianas. Após, vc poderá determinar o ângulo pedido, através dos coeficientes angulares das retas que contem BP e DP(não fiz as contas, mas parce ser 90). 2a) Questão Marque M em AB, tal que MCB = 20 ; N em AC tal que CMN = 60 e Q em AB, tal que MNQ = 100 . Vc irá verificar que Q=P, e BPC=40 Abs Felipe --- Em dom, 10/8/08, Martins Rama [EMAIL PROTECTED] escreveu: De: Martins Rama [EMAIL PROTECTED] Assunto: [obm-l] Ajuda em Quatro Questões de Geometria Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Domingo, 10 de Agosto de 2008, 15:50 Olá pessoal. Alguém poderia me ajudar a resolver as questões de geometria plana abaixo? Obrigado. Martins Rama. QUESTAO 1 Em um triângulo eqüilátero ABC, sejam D e E pontos sobre os lados AB e BC, respectivamente, de modo que AB=3AD e BC=3BE. Se P é o ponto de interseção de AE com CD, então a medida do ângulo BPC é: a) 60° b) 90° c) 120° d) 135° e) 150° QUESTAO 2 Em um triângulo isósceles ABC, com AB=AC, os ângulos da base medem 80º. Se P é um ponto sobre o lado AB, tal que AP=BC, então a medida do ângulo BPC é: a) 20° b) 30° c) 40° d) 50° e) 60° QUESTAO 3 Seja ABC um triângulo isósceles, com AB=AC E e altura AM=11. Supondo que haja um ponto D sobre AM, tal que AD=10 e o ângulo BDC seja igual ao triplo do ângulo BAC, então o perímetro do triângulo ABC vale: a) 11(sqr(3)+1) b) 11(sqr(5)+1) c) 11(sqr(7)+1) d) 11(sqr(11)+1) e) nenhuma das respostas anteriores QUESTAO 4 Num triângulo ABC, tem-se que os ângulos B=100° e C=65°. Sobre o lado AB toma-se um ponto M de modo que o ângulo MCB=55° e, sobre o lado AC toma-se o ponto N de modo que o ângulo NBC=80°. A medida do ângulo NMC é igual a: a) 10° b) 15° c) 20° d) 25° e) 30° = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = Novos endereços, o Yahoo! que você conhece. Crie um email novo com a sua cara @ymail.com ou @rocketmail.com. Novos endereços, o Yahoo! que você conhece. Crie um email novo com a sua cara @ymail.com ou @rocketmail.com. Novos endereços, o Yahoo! que você conhece. Crie um email novo com a sua cara @ymail.com ou @rocketmail.com. Novos endereços, o Yahoo! que você conhece. Crie um email novo com
Re: [obm-l] Dimensão do período de uma dízima
Obrigado Nehab. A questão que me deparei é a seguinte: A fração 168/[(2^p)(7^q)] dá origem a um número decimal periódico no qual a parte não periódica possui 7 algarismos e o seu período possui, no máximo, 294 algarismos. O valor do produto pq é: a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50 Consegui encontrar o valor de p (p = 10). O problema está sendo encontrar o valor de q... Aceito sugestões dos nobres amigos. []'s Martins Rama. Oi, Martins, Este assunto eacute; instigante. Uma propriedade interessante eacute; que o periacute;odo de 1/p eacute; o menor inteiro k tal que p divide 10^k - 1. Observe que o numerador nao eacute; relevante. Para algumas dicas de diversos niacute;veis, decirc; uma paquerada nos links http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.200303/msg00493.html http://www.rpm.org.br/conteudo/66/propriedade.pdf http://cosmos.ucdavis.edu/2005/Cluster%206/decimal-1.pdf Nehab Martins Rama escreveu:Olaacute; amigos, boa noite. Recentemente, me vi desafiado a resolver uma questatilde;o envolvendo uma anaacute;lise sobre a quantidade de algarismos nas diacute;zimas. Surgiu entatilde;o uma necessidade: determinar a quantidade de algarismos no periacute;odo de uma diacute;zima p/q (p e q primos entre si). Eacute; faacute;cil verificar que o nuacute;mero maacute;ximo de algarismos no periacute;odo seraacute; q-1 (nuacute;mero maacute;ximo de restos na divisatilde;o tradicional). Poreacute;m, algueacute;m teria uma explicaccedil;atilde;o baacute;sica de como encontrar o valor exato da quantidade de algarismos presentes no periacute;odo de uma diacute;zima perioacute;dica (simples ou composta)? Agradeccedil;o desde jaacute; a colaboraccedil;atilde;o. []'s Martins Rama. = Instruccedil;otilde;es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
