Ok, Alex, aora imagine você em um concurso onde terás em torno de 3,5 min
por questões! Então, quando postei tal problema na lista esperei que fosse
de interesse geral dicutir melhores saídas para resolver problemas, mas acho
que a turma não leu tal questão, pois inicialmente parece um probleminha
bobo de conjuntos, quando de fato não é!!!
Se a banca elaboradoa do concurso colocou sabendo da média de tempo que o
candidato tem por questão deve ter um caminho manífico por aí
Vamos esperar e ver se alguém com mais experiância que nós dois colabora...
Deixo aqui meus sinceros agradecimentos pela sua engenhosa colaboração
Abraços!!!
2009/3/26 Alex pereira Bezerra alexmatematica1...@gmail.com
Seja P o número de pessoas que compareceram a cada uma das conferências. Do
enunciado da questão e lembrando que o mesmo número de pessoas (
*P*)compareceram às três conferências, poderemos escrever, com base na figura
acima:
P/2 + x + y + t = P
P/3 + x + y + z = P
P/4 + x + z + t = P
Lembrando que o número total de pessoas é igual a 300, é lícito escrever
também:
P/2 + P/3 + P/4 + x + y + z + t = 300
Efetuando todas as operações indicadas em relação a P nas equações acima e
arrumando, fica:
x + y + t = P/2
x + y + z = 2P/3
x + z + t = 3P/4
x + y + z + t = 300 – 13P/12
Substituindo o valor de *x + y + t* = P/2 na equação *x + y* + z *+ t* =
300 – 13P/12, fica:
P/2 + z = 300 – 13P/12, de onde vem: z = 300 – 19P/12
Substituindo o valor de *x + y + z* = 2P/3 na equação *x + y + z* *+ *t =
300 – 13P/12, fica:
2P/3 + t = 300 – 13P/12, de onde vem: t = 300 – 21P/12
Substituindo o valor de *x + z + t *= 3P/4 na equação *x* + y *+ z + t* =
300 – 13P/12, fica:
3P/4 + y = 300 – 13P/12, de onde vem: y = 300 – 22P/12
Substituindo os valores encontrados para y, z e t na equação
x + y + z + t = 300 – 13P/12, vem:
x + (300 – 22P/12) + (300 – 19P/12) + (300 – 21P/12) = 300 – 13P/12
Desenvolvendo e simplificando a expressão acima, vem:
x + 900 – 300 = 22P/12 + 19P/12 + 21P/12 – 13P/12
x + 600 = 49P/12
x = 49P/12 – 600
Em resumo:
x = 49P/12 – 600
y = 300 – 22P/12
z = 300 – 19P/12
t = 300 – 21P/12
Ora, como x, y, z *e* t referem-se a quantidade de pessoas, serão
necessariamente números inteiros e positivos ou seja: x 0, y 0,
z 0 *e* t 0. Observe também que nas expressões de x, y, z e t acima,
sempre aparece o valor P dividido por 12, ou seja,
para que x, y, z e t sejam inteiros, P deverá ser necessariamente um
múltiplo de 12.
Então poderemos escrever:
49P/12 – 600 0 , logo, 49P/12 600 , logo, 49P 7200 , logo, P
7200/49 e, portanto P 146,93
Analogamente,
300 – 22P/12 0 , logo, 300 22P/12 , logo, 22P/12 300 , logo, 22P
3600 e, portanto P 163,63
E, também,
300 – 19P/12 0 , logo, 300 19P/12 , logo, 19P/12 300 , logo, 19P
3600 e, portanto P 189,47
E, finalmente,
300 – 21P/12 0 , logo, 300 21P/12 , logo, 21P/12 300 , logo, 21P
3600 , e , portanto P 171,42
Logo, o valor de *P* tem que ser inteiro e múltiplo de 12 e atender
simultaneamente às desigualdades P 146,93 e P 163,63 e
P 189,47 e P 171,42. Então, o valor de P é um número múltiplo de 12,
maior do que 146,93 e menor do que 163,63.
A sucessão de inteiros que satisfazem à segunda condição é:
147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 154, 155, *156*, 157, 158, 159, 160,
161, 162 , 163.
Destes, o único que é múltiplo de 12 é *156*, que é a resposta do
problema, ou seja, a alternativa correta é a de letra C.
