Re: [obm-l] Plana

[Eduardo Wilner]

Talvez seja interessante observar que o resultado mostra que para  n->2+  o 
raio das circunferências tangentes  -> infinito; i.e. temos que ter n >2 e só 
para n>6 é que esse raio torna-se menor que o da circunfêrencia interna , no 
caso, 1 (para n=6 eles são iguais).

--- Em sex, 17/4/09, Marcus  escreveu:
De: Marcus 
Assunto: [obm-l] Plana
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Sexta-feira, 17 de Abril de 2009, 0:21




 
 






Alguem poderia me ajudar? 

 Em uma coroa circular estão inscritas n circunferências,
cada uma tangente às duas vizinhas. Se o raio da circunferência interna da
coroa mede 1, então o raio da circunferência externa da coroa mede? 



 




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RES: [obm-l] Plana

[Marcus]

Valeu pela solução.

 

De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome
de Márcio Pinheiro
Enviada em: sexta-feira, 17 de abril de 2009 10:42
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] Plana

 


Basta ligar todos os centros de cada par de circunferências tagentes
menores, obtendo, assim, um polígono regular de n lados, em que os lados
medem 2r (r: raio das circunferências menores). Em seguida, ligando o centro
da coroa aos centros de duas circunferências menores tangentes, obtém-se um
triângulo isósceles, de base 2r, lados congruentes r + 1 e ângulo central
2pi/n. Assim, traçando a altura relativa à base nesse triângulo, conclui-se
que: sen (pi/n) = r/(r + 1). Logo: r = [sen (pi/n)] / [1 - sen (pi/n)] .
Alfim, o raio externo da coroa fica 1 + 2r, isto é, [1 + sen (pi/n)] / [1 -
sen (pi/n)] .

Sem dúvida, uma figura tornaria a solução mais inteligível.

Até mais.

--- Em sex, 17/4/09, Marcus  escreveu:

De: Marcus 
Assunto: [obm-l] Plana
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Sexta-feira, 17 de Abril de 2009, 0:21

Alguem poderia me ajudar?

 Em uma coroa circular estão inscritas n circunferências, cada uma tangente
às duas vizinhas. Se o raio da circunferência interna da coroa mede 1, então
o raio da circunferência externa da coroa mede?

 

  _  

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Re: [obm-l] Plana

[Márcio Pinheiro]

Basta ligar todos os centros de cada par de circunferências tagentes menores, 
obtendo, assim, um polígono regular de n lados, em que os lados medem 2r (r: 
raio das circunferências menores). Em seguida, ligando o centro da coroa aos 
centros de duas circunferências menores tangentes, obtém-se um triângulo 
isósceles, de base 2r, lados congruentes r + 1 e ângulo central 2pi/n. Assim, 
traçando a altura relativa à base nesse triângulo, conclui-se que: sen (pi/n) = 
r/(r + 1). Logo: r = [sen (pi/n)] / [1 - sen (pi/n)] . Alfim, o raio externo da 
coroa fica 1 + 2r, isto é, [1 + sen (pi/n)] / [1 - sen (pi/n)] .
Sem dúvida, uma figura tornaria a solução mais inteligível.
Até mais.

--- Em sex, 17/4/09, Marcus  escreveu:

De: Marcus 
Assunto: [obm-l] Plana
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Sexta-feira, 17 de Abril de 2009, 0:21








Alguem poderia me ajudar?
 Em uma coroa circular estão inscritas n circunferências, cada uma tangente às 
duas vizinhas. Se o raio da circunferência interna da coroa mede 1, então o 
raio da circunferência externa da coroa mede?


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Re: [obm-l] Limite

[Henrique Rennó]

Olá Ralph,

Desculpas, coloquei errado no excel.

Obrigado pela correção.

2009/4/16 Ralph Teixeira 

> Eu tomara (tomara!) y=1/(x-1), não y=1/(1-x). É um sinalzinho de diferença.
>
> O limite era de x^(1/(1-x)), não era? Aposto que você estava colocando
> x^(1/(x-1)) no Excel -- assim dá e, daquele jeito dá 1/e.
>
> Abraço,
>   Ralph
>
> 2009/4/16 Henrique Rennó :
> > Olá Ralph e Marcelo,
> >
> > 2009/4/16 Ralph Teixeira 
> >>
> >> O que o Marcelo fez funciona (ele tirou a exponencicao do ln, que fica
> >> entao multiplicando do lado de fora do ln; depois ele se preocupou soh
> >> com o limite dentro de exp, tem que esquecer o exp por um instante --
> >> esse limite de dentro eh que foi feito por L'Hopital) e eu acho que eh
> >> o jeito mais rapido. Mas, se ainda nao sabemos L'Hopital, temos a
> >> seguinte opcao: vamos fazer os limites laterais trocando variaveis.
> >>
> >> Pela direita, quando x -> 1, vou tomar y=1/(x-1). Note que x -> 1+
> >> sse  y -> +Inf. Assim
> >> lim(x -> 1+) x^[1/(1-x)] = lim(y -> +Inf) (1+1/y)^(-y) = 1 / lim (y ->
> >> +Inf) (1+1/y)^y=1/e
> >
> > Não sei se estou errado, mas seria lim(x -> 1+) x^[1/(1-x)] = lim(y ->
> +Inf)
> > (1+1/y)^(y) e não lim(y -> +Inf) (1+1/y)^(-y), já que y = 1/(1-x). Assim,
> a
> > resposta seria "e" e não "1/e".
> >
> > Coloquei a fórmula no excel e para x->1, x^[1/(1-x)] tende a "e".
> >
> >>
> >> (imagino que este limite fundamental do denominador tenha sido feito
> >> previamente, talvez ateh como a definicao de e, senao temos que
> >> trabalhar mais)
> >>
> >> Para x -> 1-, vou tomar z=1/(1-x). Note que, de novo, z -> +Inf (eu
> >> mudei a variavel porque odeio trabalhar com -Inf, eu sempre me
> >> enrolo). Entao x=1-1/z, e:
> >> lim(x -> 1-) x^[1/(1-x)] = lim(z -> +Inf) (1-1/z)^z = 1/e
> >> (Este tambem jah deve ter sido feito... senao, faca agora z=h+1 e
> escreva:
> >> lim (h -> +inf) (1-1/(h+1))^(h+1) = lim (h/(h+1))^(h+1) = 1/ [lim
> >> ((h+1)/h)^h . lim (h+1)/h]= 1/(e.1)=1/e.)
> >>
> >> Abraco,
> >>   Ralph
> >>
> >> 2009/4/16 Henrique Rennó :
> >> > Olá Marcelo,
> >> >
> >> > Desculpe, mas não entendi sua solução.
> >> >
> >> > Seria x^[1/(1-x)] = exp(ln x^[1/(1-x)]) como o Leandro citou e não
> >> > exp[ln(x)/(1-x)]?
> >> >
> >> > O teorema de L'Hôpital seria que para derivadas (que são limites,
> >> > certo?)
> >> > onde surge uma indeterminação pode-se calcular a derivada da função
> >> > tantas
> >> > vezes quanto necessário e quando for possível (não existir mais a
> >> > indeterminação) calcula-se o valor da função. Não entendi como você
> >> > chegou
> >> > em exp[(1/x)/(-1)].
> >> >
> >> > Eu não mencionei, mas o exercício está num capítulo sobre limites.
> >> > Assim,
> >> > acredito que a solução não seria através de derivadas ou do Teorema de
> >> > L'Hôpital.
> >> >
> >> > Obrigado!
> >> >
> >> > Abraços
> >> >
> >> > 2009/4/15 Marcelo Salhab Brogliato 
> >> >>
> >> >> Olá Henrique,
> >> >>
> >> >> x^[1/(1-x)] = exp[ln(x)/(1-x)] aplicando L'Hopital: exp[(1/x)/(-1)] =
> >> >> exp(-1/x)
> >> >>
> >> >> Logo, o limite vale 1/e.
> >> >>
> >> >> abraços,
> >> >> Salhab
> >> >>
> >> >>
> >> >>
> >> >>
> >> >>
> >> >> 2009/4/15 Henrique Rennó 
> >> >>>
> >> >>> Existe uma solução algébrica para o seguinte limite?
> >> >>>
> >> >>> lim, x->1, x^[1/(1-x)]
> >> >>>
> >> >>> --
> >> >>> Henrique
> >> >>
> >> >
> >> >
> >> >
> >> > --
> >> > Henrique
> >> >
> >>
> >>
> =
> >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> >>
> =
> >
> >
> >
> > --
> > Henrique
> >
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>



-- 
Henrique

[obm-l] Re: [obm-l] Sugestão de Tema para Monografia - Côn icas

[Marcelo Gomes]

Olá professor Alexandre, muito bom dia.

Agradeço muito sua ajuda e perdoe-me pela demora em responder-lhe.

Sim já fiz um trabalho sobre propriedades refletoras da elipse. Foi muito
legal e aprendi bastante com ele. A curiosidade que o senhor mencionou é
chamada de sala do sussurro. A construção elíptica dá esta condição por
causa da reflexão que bate nos focos desta cônica.

Legal o senhor ter várias formações atualmente é muito bom ter a informática
como ferramenta. Professor muito obrigado pela ajuda.

Grande abraço, Marcelo.

2009/4/12 Alexandre Azevedo 

> Olá Marcelo,tudo bem?Bom,o meu projeto final na uerj também foi sobre
> cônicas e,por eu anteriormente ter sido aluno de turma ime-ita e também
> aluno do IME por um tempo,tendo depois feito engenharia química no
> fundão,que larguei no meio,embora com ótimas notas,nao era pra mim...até
> finalmente desembocar em matemática e informática,as duas faculdades em que
> me formei...eu não sei se o que fiz de cônicas é muito abordado,mas eu
> foquei este assunto juntamente com engenharia,falei sobre o espelho
> parabólico,o forno solar,sobre aquele museu não sei da onde em que ele
> possui o formato de uma elipse e se as pessoas estiverem conversando cada
> uma num dos focos da elipse que a onda sonora bate e reflete para a outra
> pessoa localizada no outro foco,fazendo com que elas consigam escutar uma a
> outra mesmo a uma certa distância,etc...
>  Foi esse o enfoque que eu dei...
>  Espero tê-lo ajudado...
>  Abraços,
>  Alexandre
>
> Marcelo Gomes escreveu:
>
>  Olá pessoal da lista, boa tarde a todos.
>>
>> Estou para iniciar os escritos de minha monografia e o tema é cônicas .
>>
>> Gostaria de perguntar também aos senhores, além do que já fiz com meu
>> orientador, se os senhores teriam alguma idéia ainda pouco explorada ou não,
>> sobre cônicas, para o ensino médio ou não.
>>
>> Às vezes existem mestres e doutores que teriam vontade que seus
>> orientandos explorassem alguma área específica dentro deste tema e talvez
>> ainda não tenham tido esta oportunidade.
>>
>> Já pensei vários temas...mas ainda não me resolvi.
>>
>> Se vocês puderem sugerir, irão ampliar meus horizontes ainda mais neste
>> tema.
>>
>> Desde já agradeço muito a todos, Um abração, Marcelo.
>>
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
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