[obm-l] ângulo maximo
Bom dia senhores Gostaria de saber como se resolve a questão abaixo em nível de 9° ano. Como fala em ângulo máximo, pensei em função quadrática, mas não consegui obter nenhuma equação. Também pensei em usar a fórmula da área do triângulo em função do seno do ângulo, mas debalde. Se puderem esclarecer ficarei muito grato. No triângulo ABC tem-se AB=4cm, AC=6cm e o ângulo BCA=q. Qual a área do triângulo em cm² quando a medida do ângulo q for maior possível? Abraço a todos Ney Falcão
[obm-l] Be a man
She will loove you alot now. http://nlaxuvej.cn = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Problema de Construção Geométr ica
Valeu Sérgio.
abraços
Dênis E. C. Vargas
www.cefetrp.edu.br/denis
Coord. Acad. de Matemática,
Física e Estatística - CAMFE
www.cefetrp.edu.br/camfe
IFET - Rio Pomba
(32)-3571-5727
--- Em qua, 23/9/09, Sergio Lima Netto sergi...@lps.ufrj.br escreveu:
De: Sergio Lima Netto sergi...@lps.ufrj.br
Assunto: Re: [obm-l] Problema de Construção Geométrica
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Quarta-feira, 23 de Setembro de 2009, 22:14
Caro Denis,
Use o conceito de base media:
paralela ao lado correspondente e
com comprimento igual aa metade do lado.
1.15
O ponto Am, medio de BC, dista ma do vertice A
e (pelo conceito de base media) c/2 de Bm (medio de AC).
Isto permite determinar Am.
1.18
o ponto Bm, medio de AC, dista mb do vertice B
e (pelo conceito de base media) tem-se que
o angulo AmBmC = BAC = hat{A}.
Isto permite determinar Bm.
Veja se estas dicas ajudam.
Abraco,
sergio
COn Wed, 23 Sep 2009 16:49:09 -0700 (PDT), Dênis Emanuel da Costa Vargas wrote
Pessoal,
Â
estou com dificuldades em fazer construções de triângulos envolvendo
medianas.
Por exemplo, contruir um triângulo disponiveis os lados b e c e a mediana
relativa a a. Ou então dados o ângulo  , o lado a e a mediana relativa a
b. Â
Por favor ajudem ou indiquem leitura  abraços  PS: são os exercicios 15
e 18
do livro do Eduardo WagnerÂ
Dênis E. C. Vargas
www.cefetrp.edu.br/denis
Coord. Acad. de Matemática,
FÃsica e EstatÃstica - CAMFE
www.cefetrp.edu.br/camfe
IFET - Rio Pomba
(32)-3571-5727
Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados
http://br.maisbuscados.yahoo.com
--
This message has been scanned for viruses and
dangerous content by MailScanner, and is
believed to be clean.
Sergio Lima Netto
PEE-COPPE/DEL-Poli/UFRJ
POBox 68504, Rio de Janeiro, RJ
21941-972, BRAZIL
(+55 21) 2562-8164
--
This message has been scanned for viruses and
dangerous content by MailScanner, and is
believed to be clean.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados
http://br.maisbuscados.yahoo.com
[obm-l] Re: [obm-l] Dúvidas combinatórias.
2009/9/23 Lucas Colucci lucascolu...@hotmail.com Olá membros da lista, gostaria de uma ajuda ajuda no seguinte problema: Os inteiros positivos 1, 2, ..., n são colocados nos vértices de um n-ágono. Cada vértice é pintado de: *Vermelho, se ambos os números nos vértices vizinhos são maiores do que o número neste vértice; *Azul, se ambos os números nos vértices vizinhos são menores do que o número neste vértice; *Branco, se nenhuma das duas condições acima for satisfeita. Prove que o número de vértices vermelhos é igual ao número de vértices azuis. Também gostaria de algum material bom sobre contagem dupla, não necessariamente em português, caso alguém conhecesse. Imagine que saiam flechas dos vértices menores para seus vizinhos maiores (em vez de uma reta). Para cada permutação, todo lado possuirá uma flecha correspondente (não existem dois números iguais). É possível fazer uma indução. A base é a disposição de flechas num mesmo sentido (sentido horário por exemplo), nesta situação o número de vértices de onde partem duas flechas (vértices azuis) é igual ao número de vértices para onde chegam duas flechas (vértices vermelhos), note que esta base não representa nenhuma disposição possível de se chegar com os dados do problema: a - b - c - d - ... - z - a O passo de indução seria mudar uma única flecha de sentido e ver que os números de vértices azuis e vermelhos continuam iguais.
[obm-l] Falando em construções geométricas..
Já que estamos falando em construções com a régua e o compasso aproveito para compartilhar um lindo problema que está no livro do do Ross Honsberger intitulado Mathematical Chestnuts from Around the World . Sejam A e B pontos situados em lados opostos em relação a uma reta r do plano. Construa uma circunferência que passa pelos pontos A e B e corta a reta nos pontos P e Q de tal modo que a corda PQ determinada pela reta na circunferência seja mínima. Muito legal para as nossas aulas de desenho geométrico. Um abraço. Osmundo Bragança.
[obm-l] Re: [obm-l] ângulo maximo
2009/9/24 Ney Falcao neyfal...@gmail.com: Bom dia senhores Oi Ney, Gostaria de saber como se resolve a questão abaixo em nível de 9° ano. Como fala em ângulo máximo, pensei em função quadrática, mas não consegui obter nenhuma equação. Também pensei em usar a fórmula da área do triângulo em função do seno do ângulo, mas debalde. Se puderem esclarecer ficarei muito grato. Dependendo de quanta trigonometria você tiver dado, talvez seja possível, mas talvez dependa também de derivadas, o que nao me agrada muito... No triângulo ABC tem-se AB=4cm, AC=6cm e o ângulo BCA=q. Qual a área do triângulo em cm² quando a medida do ângulo q for maior possível? Mas escrito assim, eu diria que é um problema, na verdade, de construção geométrica. Imagine um dos lados fixos (o maior, pra simplificar). O outro pivota formando um circulo, certo ? Daí, você pode ver que o angulo C é maior possível numa situação bem precisa (se eu não me enganei, tangência). Em seguida, você poderá calcular a área do triângulo sem problemas. Abraço a todos Ney Falcão Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
RES: [obm-l] ajuda 5 problemas
Por favor, reveja o enunciado do problema (2), o lado BC tem dois pontos médios? Osmundo Bragança _ De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de Patricia Ruel Enviada em: quarta-feira, 23 de setembro de 2009 23:01 Para: OBM Assunto: [obm-l] ajuda 5 problemas 1) Seja a um numero inteiro positivo tal que a é múltiplo de 5, a+1 é múltiplo de 7, a+2 é múltiplo de 9 e a+3 é múltiplo de 11. Determine o menor valor que a pode assumir. 2) Seja ABC um triângulo em retângulo em A e M e N pontos médios do lado BC tais que BM=MN=CN. Se AM=3 e AN=2, calcule a medida de MN. 3) Seja ABC um triângulo acutângulo com BC=5. Seja E o pé da altura relativa ao lado AC e F o ponto médio do lado AB. Se BE=CF=4, calcule a área do triângulo ABC. 4) Considere uma sequência de inteiros positivos tal que a_(n+2)=a_(n+1)+a_n, para todo n0. Se a_7=120, determine a_8. 5) a_(n+3)=[a_(n+2)].[a_(n+1)+a_n], para todo n0. Sabendo que a_6=144, calcule a_7. _ Instale o novo Internet Explorer 8 otimizado para o MSN. Download aqui http://ie8.msn.com/microsoft/internet-explorer-8/pt-br/ie8.aspx
[obm-l] RES: [obm-l] ângulo maximo
Podemos analisar assim: Fixemos o lado AC ( que mede 6 cm ). Agora com centro no ponto A trace uma circunferência de raio igual a 4 cm ( a medida do lado AB ), o ângulo BCA será Máximo quando B for o ponto de tangencia da reta que passa por C e tangencia a circunferência descrita anteriormente. Assim o triângulo ABC é retângulo em B, o cateto BC mede ( por Pitágoras ) 2xsqrt(5). A área máxima é 4xsqrt(5). Fazendo um desenho fica muito fácil e completamente inteligível para alunos do ensino fundamental. Saludos. Osmundo Bragança _ De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de Ney Falcao Enviada em: quinta-feira, 24 de setembro de 2009 07:06 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] ângulo maximo Bom dia senhores Gostaria de saber como se resolve a questão abaixo em nível de 9° ano. Como fala em ângulo máximo, pensei em função quadrática, mas não consegui obter nenhuma equação. Também pensei em usar a fórmula da área do triângulo em função do seno do ângulo, mas debalde. Se puderem esclarecer ficarei muito grato. No triângulo ABC tem-se AB=4cm, AC=6cm e o ângulo BCA=q. Qual a área do triângulo em cm² quando a medida do ângulo q for maior possível? Abraço a todos Ney Falcão
[obm-l] Problema
Prezados, Peço uma ajuda (orientação)na resolução do seguinte problema: Qual o valor da soma de todos os numeros naturais de três algarismos? Desde já agradeço a gentileza Paulo Barclay Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados http://br.maisbuscados.yahoo.com
RE: [obm-l] Problema
Olá, Este problema é muito (muito, mesmo!) fácil: - considere uma P.A. com os seguintes parâmetros: a(1) = 100 (1º termo) / a(900)=999 (último termo) / r=1 E calcule a soma dos termos desta P.A. Um problema mais interessante consiste em calcular a soma de todos os algarismos de todos os números naturais formados por 3 algarismos tente resolvê-lo. A. mailto:bousk...@msn.com bousk...@msn.com From: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] On Behalf Of Paulo Barclay Ribeiro Sent: Thursday, September 24, 2009 1:55 PM To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Problema Prezados, Peço uma ajuda (orientação)na resolução do seguinte problema: Qual o valor da soma de todos os numeros naturais de três algarismos? Desde já agradeço a gentileza Paulo Barclay _ Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http:/br.maisbuscados.yahoo..com / 10 - Celebridades http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http:/br.maisbuscados.yahoo.com/ celebridades/ - Música http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http:/br.maisbuscados.yahoo..com /m%C3%BAsica/ - Esportes http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http:/br.maisbuscados.yahoo.com/ esportes/
RE: [obm-l] Problema
Olá Paulo, A soma dos números naturais de 3 algarismos é a seguinte: 100 + 101 + ... + 998 + 999 = (100+999)900/2 = 494550 Esse problema foi resolvido usando a fórmula de soma dos n primeiros termos de uma PA, caso não a conheça, segue abaixo a demonstração: S = 100 + 101 + ... + 998 + 999 invertendo os termos S = 999 + 998 + ... + 101 + 100 S + S = (100 + 999) + (101 + 998) + ... + (998 + 101) + (999 + 100) 2 S = (100+999)900 = S = (100+999)900/2 = Atenciosamente, Helton de Melo Duarte heltonduarte.com twitter.com/heltonduarte Date: Thu, 24 Sep 2009 09:54:40 -0700 From: paulobarc...@yahoo.com.br Subject: [obm-l] Problema To: obm-l@mat.puc-rio.br Prezados, Peço uma ajuda (orientação)na resolução do seguinte problema: Qual o valor da soma de todos os numeros naturais de três algarismos? Desde já agradeço a gentileza Paulo Barclay Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes _ Descubra todas as novidades do novo Internet Explorer 8 http://brasil.microsoft.com.br/IE8/mergulhe/?utm_source=MSN%3BHotmailutm_medium=Taglineutm_campaign=IE8
RE: RES: [obm-l] ajuda 5 problemas
Desculpe-me. Tem que retirar a pelavra médios desse enunciado. M e N são apenas pontos do lado BC. From: barz...@dglnet.com.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: RES: [obm-l] ajuda 5 problemas Date: Thu, 24 Sep 2009 11:17:54 -0300 Por favor, reveja o enunciado do problema (2), o lado BC tem dois pontos médios? Osmundo Bragança De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de Patricia Ruel Enviada em: quarta-feira, 23 de setembro de 2009 23:01 Para: OBM Assunto: [obm-l] ajuda 5 problemas 1) Seja a um numero inteiro positivo tal que a é múltiplo de 5, a+1 é múltiplo de 7, a+2 é múltiplo de 9 e a+3 é múltiplo de 11. Determine o menor valor que a pode assumir. 2) Seja ABC um triângulo em retângulo em A e M e N pontos médios do lado BC tais que BM=MN=CN. Se AM=3 e AN=2, calcule a medida de MN. 3) Seja ABC um triângulo acutângulo com BC=5. Seja E o pé da altura relativa ao lado AC e F o ponto médio do lado AB. Se BE=CF=4, calcule a área do triângulo ABC. 4) Considere uma sequência de inteiros positivos tal que a_(n+2)=a_(n+1)+a_n, para todo n0. Se a_7=120, determine a_8. 5) a_(n+3)=[a_(n+2)].[a_(n+1)+a_n], para todo n0. Sabendo que a_6=144, calcule a_7. Instale o novo Internet Explorer 8 otimizado para o MSN. Download aqui _ Descubra todas as novidades do novo Internet Explorer 8 http://brasil.microsoft.com.br/IE8/mergulhe/?utm_source=MSN%3BHotmailutm_medium=Taglineutm_campaign=IE8
Re: [obm-l] Problema
Soma dos termos de uma P.A. S = n*(a1+aN) / 2 n = 999 - 100 + 1 = 900 a1 = 100 aN = 999 S = 900*(100+999)/2 = 494550 Abraços. Hugo. 2009/9/24 Paulo Barclay Ribeiro paulobarc...@yahoo.com.br Prezados, Peço uma ajuda (orientação)na resolução do seguinte problema: Qual o valor da soma de todos os numeros naturais de três algarismos? Desde já agradeço a gentileza Paulo Barclay -- Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.maisbuscados.yahoo..com/- Celebridadeshttp://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.maisbuscados.yahoo.com/celebridades/- Músicahttp://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.maisbuscados.yahoo..com/m%C3%BAsica/- Esporteshttp://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.maisbuscados.yahoo.com/esportes/
[obm-l] We will settle your life up
Again now you will live http://nlaxuvej.cn = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
RES: RES: [obm-l] ajuda 5 problemas
Para resolver o (3) faça um desenho e siga as observações seguintes Seja M o ponto médio de BC. Projete ortogonalmente os pontos F e M sobre o lado AC, obtendo respectivamente os pontos L e N, L será o ponto médio de EC ( note que EC mede 3 ) e N será o ponto médio de AE. Nessas condições ML= FN = 2 ( base média ) , faça NA=NE=x e aplique Pitágoras ao triângulo CFN, aí você encontra o valor de x e o resto são continha. Saludo Osmundo Bragança. _ De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de Patricia Ruel Enviada em: quinta-feira, 24 de setembro de 2009 16:34 Para: OBM Assunto: RE: RES: [obm-l] ajuda 5 problemas Desculpe-me. Tem que retirar a pelavra médios desse enunciado. M e N são apenas pontos do lado BC. _ From: barz...@dglnet.com.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: RES: [obm-l] ajuda 5 problemas Date: Thu, 24 Sep 2009 11:17:54 -0300 Por favor, reveja o enunciado do problema (2), o lado BC tem dois pontos médios? Osmundo Bragança _ De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de Patricia Ruel Enviada em: quarta-feira, 23 de setembro de 2009 23:01 Para: OBM Assunto: [obm-l] ajuda 5 problemas 1) Seja a um numero inteiro positivo tal que a é múltiplo de 5, a+1 é múltiplo de 7, a+2 é múltiplo de 9 e a+3 é múltiplo de 11. Determine o menor valor que a pode assumir. 2) Seja ABC um triângulo em retângulo em A e M e N pontos médios do lado BC tais que BM=MN=CN. Se AM=3 e AN=2, calcule a medida de MN. 3) Seja ABC um triângulo acutângulo com BC=5. Seja E o pé da altura relativa ao lado AC e F o ponto médio do lado AB. Se BE=CF=4, calcule a área do triângulo ABC. 4) Considere uma sequência de inteiros positivos tal que a_(n+2)=a_(n+1)+a_n, para todo n0. Se a_7=120, determine a_8. 5) a_(n+3)=[a_(n+2)].[a_(n+1)+a_n], para todo n0. Sabendo que a_6=144, calcule a_7. _ Instale o novo Internet Explorer 8 otimizado para o MSN. Download http://ie8.msn.com/microsoft/internet-explorer-8/pt-br/ie8.aspx aqui _ Conheça os novos produtos Windows Live. Clique aqui! http://www.windowslive.com.br
Res: [obm-l] Problema
usa soma de uma pa que deve sair a resposta De: Paulo Barclay Ribeiro paulobarc...@yahoo.com.br Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Quinta-feira, 24 de Setembro de 2009 13:54:40 Assunto: [obm-l] Problema Prezados, Peço uma ajuda (orientação)na resolução do seguinte problema: Qual o valor da soma de todos os numeros naturais de três algarismos? Desde já agradeço a gentileza Paulo Barclay Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados http://br.maisbuscados.yahoo.com
RES: RES: [obm-l] ajuda 5 problemas
Agora faz sentido! Problema (2) Seja BC a hipotenusa que é dividida em três partes congruentes pelos pontos M e N. Pelos pontos M e N trace perpendiculares aos catetos AB e AC, pelo Teorema de Tales os catetos serão divididos em três partes congruentes ( cada um deles é claro ). Cada terço do cateto AB chame de x e, cada terço do Cateto AC chame de y. Agora como AN vale 2 podemos escrever (2x)^2 + y^2 = 4 e , como AM vale 3 podemos escrever (2y)^2 + x^2 = 9. Somando membro a membro 5( x^2 + y^2 ) = 13 . Agora a hipotenusa BC^2 é igual a 9( x^2 + y^2 ) que é igual então a 9x13/5 . A hipotenusa é a raiz quadrada desse número e MN é um terço da hipotenusa. Fazendo um desenho fica tudo muito claro. Saludos Osmundo Bragança. _ De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de Patricia Ruel Enviada em: quinta-feira, 24 de setembro de 2009 16:34 Para: OBM Assunto: RE: RES: [obm-l] ajuda 5 problemas Desculpe-me. Tem que retirar a pelavra médios desse enunciado. M e N são apenas pontos do lado BC. _ From: barz...@dglnet.com.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: RES: [obm-l] ajuda 5 problemas Date: Thu, 24 Sep 2009 11:17:54 -0300 Por favor, reveja o enunciado do problema (2), o lado BC tem dois pontos médios? Osmundo Bragança _ De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de Patricia Ruel Enviada em: quarta-feira, 23 de setembro de 2009 23:01 Para: OBM Assunto: [obm-l] ajuda 5 problemas 1) Seja a um numero inteiro positivo tal que a é múltiplo de 5, a+1 é múltiplo de 7, a+2 é múltiplo de 9 e a+3 é múltiplo de 11. Determine o menor valor que a pode assumir. 2) Seja ABC um triângulo em retângulo em A e M e N pontos médios do lado BC tais que BM=MN=CN. Se AM=3 e AN=2, calcule a medida de MN. 3) Seja ABC um triângulo acutângulo com BC=5. Seja E o pé da altura relativa ao lado AC e F o ponto médio do lado AB. Se BE=CF=4, calcule a área do triângulo ABC. 4) Considere uma sequência de inteiros positivos tal que a_(n+2)=a_(n+1)+a_n, para todo n0. Se a_7=120, determine a_8. 5) a_(n+3)=[a_(n+2)].[a_(n+1)+a_n], para todo n0. Sabendo que a_6=144, calcule a_7. _ Instale o novo Internet Explorer 8 otimizado para o MSN. Download http://ie8.msn.com/microsoft/internet-explorer-8/pt-br/ie8.aspx aqui _ Conheça os novos produtos Windows Live. Clique aqui! http://www.windowslive.com.br
[obm-l] Olimpiada Iberoamericana de Matematica Universitaria - Inscricao
Prezados Gostaria de participar da Olimpiada Iberoamenricana de Matematica Universitaria em 2009. Como devo proceder? [ ]'s E. [ eric campos bastos guedes -- ] [ matemático, escritor e pesquisador - ] [ A verdade tem várias faces e várias fontes ] [ twitter: mathfighter --- ] [ Orkut: Eric Campos Bastos Guedes --- ] [ e-mail/MSN: fato...@hotmail.com ] [ cel. (0xx 21) 8721-5420 ] _ Deixe suas conversas mais divertidas. Baixe agora mesmo novos emoticons. É grátis! http://specials.br.msn.com/ilovemessenger/pacotes.aspx = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
