Em 18/09/10, Bernardo Freitas Paulo da Costa escreveu:
> 2010/9/17 Johann Dirichlet :
>> Bem, vou azedar um pouco a coisa: que tal se pudéssemos isolar o r?
>> n! = [(2.n.pi)^(1/2)].[(n/e)^n].(e^r) se e somente se
>> n!/((2.n.pi)^(1/2).(n/e)^n)=(e^r)
>> Passa o log, temos uma expressão em r.
>> Se pudermos provar a existência deste monstrinho, fechou
>
> Eu acho que a fórmula de Euler-MacLaurin é realmente o que é mais
> adaptado para provar esse tipo de horror (expansão assintótica de
> somas finitas, quando a gente passa aos logs). Tem que estudar, mas
> enfim, você não pode querer demonstrar tudo a partir de nada: a
> matemática se constrói passo a passo...
>
> Enfim, esta observação chata é mais porque, de memória, obter o "raiz
> de 2*pi" na fórmula do fatorial é bem difícil. Se você dispensar
> essa exatidão toda, acho que até dá, inclusive por indução (Johann: já
> achou como corrigir a tua?). Daí, a fórmula fica
> n! = (n/e)^n*raiz(n) * erro(n)
Na verdade eu nem tentei :)
Creio que você esteja certo no "erro" da fórmula. No fim das contas
essa constante é difícil de se obter por indução. A bem da verdade não
conheço nenhum problema de limites que use indução.
>
> onde 0 < min < erro(n) < MAX para duas constantes min e MAX (que a
> gente não calculou)
>
>> Em 17/09/10, Guilherme Vieira escreveu:
>>>
>>> Caro Paulo,
>>> Continuo pensando que não há possibilidade de se obter demonstração por
>>> indução finita, pois r depende de n.
>>> Não sei se há outro modo de confirmar a validade da fórmula.
>>> Continuemos tentando!
>>> Um abraço do Guilherme!
>>>
>>>
>>>
>>> From: argolopa...@hotmail.com
>>> To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>> Subject: [obm-l] Fatorial via Stirling (confirmação)
>>> Date: Thu, 16 Sep 2010 20:55:27 +
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>> Caros amigos,
>>> Repito a questão a que propus.
>>> Não sei se as respostas já dadas tratam efetivamente da mesma questão.
>>> Fiquei em dúvida.
>>>
>>> Gostaria de obter uma demonstração (pode ser por indução finita) do fato
>>> abaixo, proveniente da fórmula de Stirling.
>>>
>>> Fato:
>>> Para todo número inteiro positivo n, existe um número real r, com
>>> 1/(12n+1)
>>> < r
>>> < 1/(12n), de modo que seja válida a igualdade:
>>> n! = [(2.n.pi)^(1/2)].[(n/e)^n].(e^r)
>>>
>>> Muito obrigado!
>>> Paulo Argolo
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
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