[obm-l] FW: Progressão aritmética
From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Progressão aritmética Date: Wed, 20 Apr 2011 21:58:18 + Numa progressao aritmetica de numeros inteiros positivos,o oitavo termo é igual ao cubo do primeiro.Sabendo que a segunda e a quarta potencias do primeiro termo pertencem a progressao,determinar o segundo termo. Agradeço antecipadamente a quem puder resolver.
[obm-l] RE: [obm-l] Olimpíadas cearenses(geometria)
Na verdade basta provar que os lados opostos são iguais, automaticamente serão paralelos.Todo uqadrilátero com ladosopostos iguais é um paralelogramo. Prova:Faça dois lados (a e b) de um quadrilátero qualquer saindo de um vértice V. Para que os lados opostos sejm iguais podemos traçar uma circunferência a partir do fim dos lados a e b, com raio igual ao lado oposto. Desse modo teríamos 2 circunferências, que se intersectam em 2 pontos. Um dos pontos gera uma configuração de quadrilátero não convexo, a outra gera um quadrilátero convexo. Logo os lados são paralelos. Mas voltando ao problema, Fazendo o trapézio ABCD com lados paralelos AB e CD. Os pontos médios de AB=X, BC=Y, CD=Z, DA=W. A altura do trapézio h que parte de A intersecta CD em P e a altura do trapézio que parte de B instersecta CD em Q (neste caso fazendo P e Q dentro do segmento CD (fica para você provar quando um está fora). Chamando AB/2 de d, PD de a e QC de b, temos que:1) Em relação a CD, a coordenada y de W é h/2, e a coordenada x é (2d+a+b)/2 - a/2 = d+b/22) Em relação a AB (que é paralela a CD), logo em relação a CD, a coordenada y de W é h/2 e a coordenada x é d+b/2, logo os Ângulos formados com AB são iguais e as retas WZ e XY são paralelas e de mesma medidaAnalogamente para YZ e WX. Logo se trata de um paralelogramo []'sJoão From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Olimpíadas cearenses(geometria) Date: Wed, 20 Apr 2011 22:06:10 + Prove que um quadrilatero convexo cujos vertices sao os pontos medios dos lados de um trapezio qualquer é um paralelogramo Bastaria provar que dos lados opostos são paralelos e congruentes?
[obm-l] RE: [obm-l] FW: Progressão aritmética
Primeiramente note que o primeiro é positivo e a razão também. Chamando o primeiro termo de a e a razão de k, o termo n vale a.k^(n-1) logo temos: 1) a³ = a.k^72) a² pertence à progreesão3) a^4 pertence à progressão De 1) a = k^(7/2) Temos que a² ou a^4 está entre o primeiro e o oitavo termo. Fazendo a² = a.k^(n-1) - a = k^(n-1) - k^(7/2) = k^(n-1) - k=1 Fazendo a^4, a mesma coisa Logo o segundo termo é 1. Possivelmente errei em alguma coisa porque nnunca vi progressão geometrica com razão 1 . Mas se o resultado bateu com o seu acho queo problema é o enunciado mesmo. Vou rever de novo minha solução, qualquer coisa posto outra vez. AbraçoJoão From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] FW: Progressão aritmética Date: Wed, 20 Apr 2011 22:21:55 + From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Progressão aritmética Date: Wed, 20 Apr 2011 21:58:18 + Numa progressao aritmetica de numeros inteiros positivos,o oitavo termo é igual ao cubo do primeiro.Sabendo que a segunda e a quarta potencias do primeiro termo pertencem a progressao,determinar o segundo termo. Agradeço antecipadamente a quem puder resolver.
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Olimpíadas cearenses(geometria)
Não entendi bem sua solução, João. Pelo que diz o enunciado, os vértices do trapézio são os pontos médios de um quadrilátero convexo. Da maneira como você fez, parece que você considerou o quadrilátero formado pelos pontos médios dos lados do trapézio. É isso mesmo, ou estou enganado? Abs. Hugo. Em 20 de abril de 2011 20:38, João Maldonado joao_maldona...@hotmail.comescreveu: *Na verdade basta provar que os lados opostos são iguais, automaticamente serão paralelos.* *Todo uq**adrilátero com ladosopostos iguais é um paralelogramo.* * * *Prova:* *Faça dois lados (a e b) de um quadrilátero qualquer saindo de um vértice V. Para que os lados opostos sejm iguais podemos traçar uma circunferência a partir do fim dos lados a e b, com raio igual ao lado oposto. Desse modo teríamos 2 circunferências, que se intersectam em 2 pontos. Um dos pontos gera uma configuração de quadrilátero não convexo, a outra gera um quadrilátero convexo. Logo os lados são paralelos.* * * *Mas voltando ao problema,* * * * * *Fazendo o trapézio ABCD com lados paralelos AB e CD. Os pontos médios de AB=X, BC=Y, CD=Z, DA=W. A altura do trapézio h que parte de A intersecta CD em P e a altura do trapézio que parte de B instersecta CD em Q (neste caso fazendo P e Q dentro do segmento CD (fica para você provar quando um está fora). Chamando AB/2 de d, PD de a e QC de b, temos que:* *1) Em relação a CD, a coordenada y de W é h/2, e a coordenada x é (2d+a+b)/2 - a/2 = d+b/2* *2) Em relação a AB (que é paralela a CD), logo em relação a CD, a coordenada y de W é h/2 e a coordenada x é d+b/2, logo os Ângulos formados com AB são iguais e as retas WZ e XY são paralelas e de mesma medida* *Analogamente para YZ e WX.* * * *Logo se trata de um paralelogramo* * * * * *[]'s* *João* * * * * -- From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Olimpíadas cearenses(geometria) Date: Wed, 20 Apr 2011 22:06:10 + Prove que um quadrilatero convexo cujos vertices sao os pontos medios dos lados de um trapezio qualquer é um paralelogramo Bastaria provar que dos lados opostos são paralelos e congruentes?
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] FW: Progressão aritmética
O problema fala em progressão aritmética, não geométrica, João. Abs. Hugo. Em 20 de abril de 2011 21:02, João Maldonado joao_maldona...@hotmail.comescreveu: *Primeiramente note que o primeiro é positivo e a razão também. * *Chamando o primeiro termo de a e a razão de k, o termo n vale a.k^(n-1)* * * *logo temos:* * * *1) a³ = a.k^7* *2) a² pertence à progreesão* *3) a^4 pertence à progressão* * * *De 1) a = k^(7/2)* * * *Temos que a² ou a^4 está entre o primeiro e o oitavo termo. * * * *Fazendo a² = a.k^(n-1) - a = k^(n-1) - k^(7/2) = k^(n-1) - k=1* * * *Fazendo a^4, a mesma coisa* * * *Logo o segundo termo é 1.* * * *Possivelmente errei em alguma coisa porque nnunca vi progressão geometrica com razão 1 .* * * *Mas se o resultado bateu com o seu acho queo problema é o enunciado mesmo. Vou rever de novo minha solução, qualquer coisa posto outra vez.* * * * Abraço* *João* -- From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] FW: Progressão aritmética Date: Wed, 20 Apr 2011 22:21:55 + -- From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Progressão aritmética Date: Wed, 20 Apr 2011 21:58:18 + Numa progressao aritmetica de numeros inteiros positivos,o oitavo termo é igual ao cubo do primeiro.Sabendo que a segunda e a quarta potencias do primeiro termo pertencem a progressao,determinar o segundo termo. Agradeço antecipadamente a quem puder resolver.
