[obm-l] FW: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Olimpíadas cearenses(geometria)
From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Olimpíadas cearenses(geometria) Date: Thu, 21 Apr 2011 16:05:12 + O João está certo.E minha pergunta no final foi se basta provar que DOIS lados opostos são paralelos e congruentes.Um abraço. Date: Wed, 20 Apr 2011 23:10:44 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Olimpíadas cearenses(geometria) From: hfernande...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Não entendi bem sua solução, João. Pelo que diz o enunciado, os vértices do trapézio são os pontos médios de um quadrilátero convexo. Da maneira como você fez, parece que você considerou o quadrilátero formado pelos pontos médios dos lados do trapézio. É isso mesmo, ou estou enganado? Abs. Hugo. Em 20 de abril de 2011 20:38, João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com escreveu: Na verdade basta provar que os lados opostos são iguais, automaticamente serão paralelos. Todo uqadrilátero com ladosopostos iguais é um paralelogramo. Prova: Faça dois lados (a e b) de um quadrilátero qualquer saindo de um vértice V. Para que os lados opostos sejm iguais podemos traçar uma circunferência a partir do fim dos lados a e b, com raio igual ao lado oposto. Desse modo teríamos 2 circunferências, que se intersectam em 2 pontos. Um dos pontos gera uma configuração de quadrilátero não convexo, a outra gera um quadrilátero convexo. Logo os lados são paralelos. Mas voltando ao problema, Fazendo o trapézio ABCD com lados paralelos AB e CD. Os pontos médios de AB=X, BC=Y, CD=Z, DA=W. A altura do trapézio h que parte de A intersecta CD em P e a altura do trapézio que parte de B instersecta CD em Q (neste caso fazendo P e Q dentro do segmento CD (fica para você provar quando um está fora). Chamando AB/2 de d, PD de a e QC de b, temos que: 1) Em relação a CD, a coordenada y de W é h/2, e a coordenada x é (2d+a+b)/2 - a/2 = d+b/2 2) Em relação a AB (que é paralela a CD), logo em relação a CD, a coordenada y de W é h/2 e a coordenada x é d+b/2, logo os Ângulos formados com AB são iguais e as retas WZ e XY são paralelas e de mesma medida Analogamente para YZ e WX. Logo se trata de um paralelogramo []'s João From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Olimpíadas cearenses(geometria) Date: Wed, 20 Apr 2011 22:06:10 + Prove que um quadrilatero convexo cujos vertices sao os pontos medios dos lados de um trapezio qualquer é um paralelogramo Bastaria provar que dos lados opostos são paralelos e congruentes?
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] FW: Progressão aritmética
k, Realmente não sei daonde eu fui tirar PG, ;D Mas enfim, Na PA, tendo o primeiro termo a e a razão k: 1) a³ = a+7k 2) a² = a+nk, 1=n=6 3) a^4 = a+mk,m7 De 2), resolvendo a equação do segndo grau, temos a=(1+sqrt(4nk + 1))/2 Chamando sqrt(4nk+ 1) de x para simplificar e substituindo em 1) x³ + 3x² -x = 3 + 56k Substiuindo x 4nk(sqrt(4nk+1)) = 4K(14 - 3n) - n²(4nk+1) = (14-3n) ² - k =[ ((14-3n)/n)² - 1]/4n = (14 - 2n)(14 - 4n)/4n³ Substituindo n por 1,2,3,4,5 ou 6, vemos que k só é inteiro com n = 1, de onde k = 30 e a = 6 a² seria 36 e a^4 1296 = 6 + 1290 = 6 + 43k que é o 44° termo Logo o segundo termo é 36 []s João Date: Wed, 20 Apr 2011 23:08:17 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] FW: Progressão aritmética From: hfernande...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br O problema fala em progressão aritmética, não geométrica, João. Abs. Hugo. Em 20 de abril de 2011 21:02, João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com escreveu: Primeiramente note que o primeiro é positivo e a razão também. Chamando o primeiro termo de a e a razão de k, o termo n vale a.k^(n-1) logo temos: 1) a³ = a.k^72) a² pertence à progreesão 3) a^4 pertence à progressão De 1) a = k^(7/2) Temos que a² ou a^4 está entre o primeiro e o oitavo termo. Fazendo a² = a.k^(n-1) - a = k^(n-1) - k^(7/2) = k^(n-1) - k=1 Fazendo a^4, a mesma coisa Logo o segundo termo é 1. Possivelmente errei em alguma coisa porque nnunca vi progressão geometrica com razão 1 . Mas se o resultado bateu com o seu acho queo problema é o enunciado mesmo. Vou rever de novo minha solução, qualquer coisa posto outra vez. AbraçoJoão From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] FW: Progressão aritmética Date: Wed, 20 Apr 2011 22:21:55 + From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Progressão aritmética Date: Wed, 20 Apr 2011 21:58:18 + Numa progressao aritmetica de numeros inteiros positivos,o oitavo termo é igual ao cubo do primeiro.Sabendo que a segunda e a quarta potencias do primeiro termo pertencem a progressao,determinar o segundo termo. Agradeço antecipadamente a quem puder resolver.
[obm-l] Re: [obm-l] FW: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Olimpíadas cearenses(geometria)
Tem razão, Marcone e João... relendo agora entendi melhor a questão. Abs. Hugo. Em 21 de abril de 2011 14:28, marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com escreveu: -- From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Olimpíadas cearenses(geometria) Date: Thu, 21 Apr 2011 16:05:12 + O João está certo.E minha pergunta no final foi se basta provar que DOIS lados opostos são paralelos e congruentes.Um abraço. -- Date: Wed, 20 Apr 2011 23:10:44 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Olimpíadas cearenses(geometria) From: hfernande...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Não entendi bem sua solução, João. Pelo que diz o enunciado, os vértices do trapézio são os pontos médios de um quadrilátero convexo. Da maneira como você fez, parece que você considerou o quadrilátero formado pelos pontos médios dos lados do trapézio. É isso mesmo, ou estou enganado? Abs. Hugo. Em 20 de abril de 2011 20:38, João Maldonado joao_maldona...@hotmail.comescreveu: *Na verdade basta provar que os lados opostos são iguais, automaticamente serão paralelos.* *Todo uq**adrilátero com ladosopostos iguais é um paralelogramo.* * * *Prova:* *Faça dois lados (a e b) de um quadrilátero qualquer saindo de um vértice V. Para que os lados opostos sejm iguais podemos traçar uma circunferência a partir do fim dos lados a e b, com raio igual ao lado oposto. Desse modo teríamos 2 circunferências, que se intersectam em 2 pontos. Um dos pontos gera uma configuração de quadrilátero não convexo, a outra gera um quadrilátero convexo. Logo os lados são paralelos.* * * *Mas voltando ao problema,* * * * * *Fazendo o trapézio ABCD com lados paralelos AB e CD. Os pontos médios de AB=X, BC=Y, CD=Z, DA=W. A altura do trapézio h que parte de A intersecta CD em P e a altura do trapézio que parte de B instersecta CD em Q (neste caso fazendo P e Q dentro do segmento CD (fica para você provar quando um está fora). Chamando AB/2 de d, PD de a e QC de b, temos que:* *1) Em relação a CD, a coordenada y de W é h/2, e a coordenada x é (2d+a+b)/2 - a/2 = d+b/2* *2) Em relação a AB (que é paralela a CD), logo em relação a CD, a coordenada y de W é h/2 e a coordenada x é d+b/2, logo os Ângulos formados com AB são iguais e as retas WZ e XY são paralelas e de mesma medida* *Analogamente para YZ e WX.* * * *Logo se trata de um paralelogramo* * * * * *[]'s* *João* * * * * -- From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Olimpíadas cearenses(geometria) Date: Wed, 20 Apr 2011 22:06:10 + Prove que um quadrilatero convexo cujos vertices sao os pontos medios dos lados de um trapezio qualquer é um paralelogramo Bastaria provar que dos lados opostos são paralelos e congruentes?
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] FW: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Olim píadas cearenses(geometria)
Essa propriedade é valida, não só para trapecios, mas para qualquer cuadilátero. No cuadrilátero que tem por vertices os pontos medios do primeiro, cada par de lados opostos são paralelos a uma diagonal do primeiro, e iguai à metade de esta. Logo, é um paralelogramo. Julio Saldaña -- Mensaje original --- De : obm-l@mat.puc-rio.br Para : obm-l@mat.puc-rio.br Fecha : Thu, 21 Apr 2011 18:30:00 -0300 Asunto : [obm-l] Re: [obm-l] FW: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Olim píadas cearenses(geometria) Tem razão, Marcone e João... relendo agora entendi melhor a questão. Abs. Hugo. Em 21 de abril de 2011 14:28, marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com escreveu: -- From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Olimpíadas cearenses(geometria) Date: Thu, 21 Apr 2011 16:05:12 + O João está certo.E minha pergunta no final foi se basta provar que DOIS lados opostos são paralelos e congruentes.Um abraço. -- Date: Wed, 20 Apr 2011 23:10:44 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Olimpíadas cearenses(geometria) From: hfernande...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Não entendi bem sua solução, João. Pelo que diz o enunciado, os vértices do trapézio são os pontos médios de um quadrilátero convexo. Da maneira como você fez, parece que você considerou o quadrilátero formado pelos pontos médios dos lados do trapézio. É isso mesmo, ou estou enganado? Abs. Hugo. Em 20 de abril de 2011 20:38, João Maldonado joao_maldona...@hotmail.comescreveu: *Na verdade basta provar que os lados opostos são iguais, automaticamente serão paralelos.* *Todo uq**adrilátero com ladosopostos iguais é um paralelogramo.* * * *Prova:* *Faça dois lados (a e b) de um quadrilátero qualquer saindo de um vértice V. Para que os lados opostos sejm iguais podemos traçar uma circunferência a partir do fim dos lados a e b, com raio igual ao lado oposto. Desse modo teríamos 2 circunferências, que se intersectam em 2 pontos. Um dos pontos gera uma configuração de quadrilátero não convexo, a outra gera um quadrilátero convexo. Logo os lados são paralelos.* * * *Mas voltando ao problema,* * * * * *Fazendo o trapézio ABCD com lados paralelos AB e CD. Os pontos médios de AB=X, BC=Y, CD=Z, DA=W. A altura do trapézio h que parte de A intersecta CD em P e a altura do trapézio que parte de B instersecta CD em Q (neste caso fazendo P e Q dentro do segmento CD (fica para você provar quando um está fora). Chamando AB/2 de d, PD de a e QC de b, temos que:* *1) Em relação a CD, a coordenada y de W é h/2, e a coordenada x é (2d+a+b)/2 - a/2 = d+b/2* *2) Em relação a AB (que é paralela a CD), logo em relação a CD, a coordenada y de W é h/2 e a coordenada x é d+b/2, logo os Ângulos formados com AB são iguais e as retas WZ e XY são paralelas e de mesma medida* *Analogamente para YZ e WX.* * * *Logo se trata de um paralelogramo* * * * * *[]\'s* *João* * * * * -- From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Olimpíadas cearenses(geometria) Date: Wed, 20 Apr 2011 22:06:10 + Prove que um quadrilatero convexo cujos vertices sao os pontos medios dos lados de um trapezio qualquer é um paralelogramo Bastaria provar que dos lados opostos são paralelos e congruentes? __ Si desea recibir, semanalmente, el Boletín Electrónico de la PUCP, ingrese a: http://www.pucp.edu.pe/puntoedu/suscribete/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
