[obm-l] Combinatória
Olá, colegas. Peço ajuda no seguinte problema, já achei algumas respostas; mas não estou certo de nenhuma delas: A última corrida do campeonato de Fórmula 1 será disputada por 6 pilotos, que receberão pontos distintos dependendo de sua posição de chegada. Para Felipe ser campeão do campeonato é necessário que ele fique a frente de Fernando e que este fique a frente de Lewis. Em quantas das classificações possíveis o Felipe pode se tornar campeão nesta prova? []s João
[obm-l] RE: [obm-l] Combinatória
Um jeito fácil de se pensar é: Felipe = AFernando BLewis = C *Se um piloto p está na posição X então p=X Se A=1 Se B=2: temos 4! possibilidadesSe B=3: temos 3.3! possibilidades ( 3 possibilidades para C e 3! para os outros)Se B=4: temos 2.3!Se B=5: temos 1.3 ! Se A=2 Se B=3: temos 3.3! Se B=4: temos 2.3!Se B=5: temos 1.3 ! Se A=3 Se B=4: temos 2.3!Se B=5: temos 1.3 ! Se A= 4 Se B=5: temos 1.3 ! Somando (1+2+3+4) + (1+2 +3) + (1+2) + (1) vezes 3! = 120 probabilidade de felipe ser campeão = 1/6 []'sJoão From: jgpretur...@uol.com.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Combinatória Date: Tue, 19 Jul 2011 03:02:03 -0300 Olá, colegas.Peço ajuda no seguinte problema, já achei algumas respostas; mas não estou certo de nenhuma delas: “A última corrida do campeonato de Fórmula 1 será disputada por 6 pilotos, que receberão pontos distintos dependendo de sua posição de chegada.Para Felipe ser campeão do campeonato é necessário que ele fique a frente de Fernando e que este fique a frente de Lewis.Em quantas das classificações possíveis o Felipe pode se tornar campeão nesta prova?” []’sJoão
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] questão trigonometria complicada
Muito, muito , muito obrigado! Não foi fácil resolver. De: Ralph Teixeira ralp...@gmail.com Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Segunda-feira, 27 de Junho de 2011 17:52 Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] questão trigonometria complicada Ah, já vi errinho de sinal no meio do caminho, no sinal de ab+ac+bc e no de abc. Corrigi abaixo, mas deve haver outros. De qualquer forma, a ideia ainda vale. 2011/6/27 Ralph Teixeira ralp...@gmail.com Hmmm, vejamos. Será que a gente arruma algum polinômio cujas raízes sejam as 3 parcelas da sua soma? Considere a famosa identidade trigonométrica sin7t=(8(cos2t)^3+4(cos2t)^2-4(cos2t)-1).sint (Desculpa, não pude resistir.) Note que t=kpi/7 (k=1,2,4) dá três raízes de sin7t, mas nenhum deles dá raiz de sint. Então estes valores de t devem anular o termo entre parênteses... Em outras palavras, se você considerar o polinômio P(x)=8x^3+4x^2-4x-1, você verá que suas raízes são exatamente cos(2pi/7), cos(4pi/7) e cos(8pi/7) -- exatamente porque é um polinômio do 3o grau, então se eu achei 3 raízes distintas, achei todas. (O argumento também vale para k=3,5,6, mas então obtemos cos(6pi/7)=cos(8pi/7), cos(10pi/7)=cos(4pi/7) e cos(12pi/7)=cos(2pi/7), que são aquelas raízes de novo) Em suma, o problema agora é: sejam a,b e c as raízes de P(x)=8x^3+4x^2-4x-1. Encontre a^(1/3)+b^(1/3)+c^(1/3). Vou escrever a^(1/3)=A, b^(1/3)=B e c^(1/3)=C. Mas, do polinômio sabemos que a+b+c=-1/2, isto é, A^3+B^3+C^3=-1/2 ab+ac+bc=-1/2, isto é, A^3B^3+A^3C^3+B^3C^3=-1/2 abc=1/8, isto é, ABC=1/2. Poxa, eu até consigo fazer o resto, mas é HORRENDO. Vamos lá. Agora, talvez você já tenha visto a identidade x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)((x+y+z)^2-3(xy+xz+yz)) Aplicando esta identidade com (x,y,z)=(A,B,C) temos: -1/2-3/2=-2=S(S^2-3D) (onde S=A+B+C e D=AB+AC+BC) Aplicando esta identidade com (x,y,z)=(AB,AC,BC), temos: -1/2-3(1/4)=-5/4=D(D^2-3SP)=D(D^2-3S/2) (onde P=ABC=1/2) Enfim, duas equações e duas incógnitas! Tire D da primeira e jogue na segunda -- fica horrendo, mas dá uma equação polinomial de grau 9 em S, com termos apenas em S^3, S^6 e S^9. Faça S^3=Z, resolva a equação cúbica em Z, S é a raiz cúbica de Z. Argh! Tá, fiquei sem vontade de terminar as contas, e devo ter errado algo no meio do caminho, mas saiu! Abraço, Ralph 2011/6/26 Jefferson Franca jeffma...@yahoo.com.br Boa tarde senhores. Será que alguém poderia me iluminar nesta questão: Calcule o valor da soma (cos(2*pi/7)^1/3 + (cos(4*pi/7))^1/3 + (cos(8*pi/7))^1/3 ? abs
[obm-l] Re: [obm-l] Combinatória
Olá João, fiz de uma maneira diferente da solução do João Maldonado. Vamos lá: Primeiro, eu pensei em colocar Felipe(A), Fernando(B) e Lewis(C) nessa ordem e espaços(---) para colocar os outros pilotos(D, E e F): ---A---B---C--- Separei e três casos: 1) Tendo só 1 piloto em um dos espaços. Temos C(4,3).3!=24 ( primeiro escolher 3 dos 4 espaços e depois permutar os três pilotos:D, E e F) 2) Tendo 1 piloto em 1 espaço e 2 em um outro espaço Temos C(4,2).(3.2).2 = 72 (primeiro escolher 2 espaços dentre os 4 e depois escolher 2 pilotos para ficar no primeiro espaço e o outro deve portanto ficar no segundo espaço, mas deve-se multiplicar por 2 pois 1 pode ficar só no primeiro espaço e os outros 2 no segundo espaço) 3) Os três pilotos ficarem todos no mesmo espaço Temos 4.3! = 24 (primeiro escolher uma das 4 posições e depois permutar os três pilotos) Temos pelo princípio aditivo: 24 + 72 + 24 = 120 possibilidades do Felipe se tornar campeão. Espero que tenha ajudado! []s Raphael P.S.: caso não esteja muito claro eu tento explicar melhor De: Joâo Gabriel Preturlan jgpretur...@uol.com.br Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Terça-feira, 19 de Julho de 2011 3:02 Assunto: [obm-l] Combinatória Olá, colegas. Peço ajuda no seguinte problema, já achei algumas respostas; mas não estou certo de nenhuma delas: “A última corrida do campeonato de Fórmula 1 será disputada por 6 pilotos, que receberão pontos distintos dependendo de sua posição de chegada. Para Felipe ser campeão do campeonato é necessário que ele fique a frente de Fernando e que este fique a frente de Lewis. Em quantas das classificações possíveis o Felipe pode se tornar campeão nesta prova?” []’s João
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Combinatória
Gostei das duas soluções Abraços, Marcone Date: Tue, 19 Jul 2011 18:17:08 -0700 From: ralcai...@yahoo.com.br Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Combinatória To: obm-l@mat.puc-rio.br Olá João, fiz de uma maneira diferente da solução do João Maldonado. Vamos lá: Primeiro, eu pensei em colocar Felipe(A), Fernando(B) e Lewis(C) nessa ordem e espaços(---) para colocar os outros pilotos(D, E e F): ---A---B---C--- Separei e três casos: 1) Tendo só 1 piloto em um dos espaços. Temos C(4,3).3!=24 ( primeiro escolher 3 dos 4 espaços e depois permutar os três pilotos:D, E e F) 2) Tendo 1 piloto em 1 espaço e 2 em um outro espaço Temos C(4,2).(3.2).2 = 72 (primeiro escolher 2 espaços dentre os 4 e depois escolher 2 pilotos para ficar no primeiro espaço e o outro deve portanto ficar no segundo espaço, mas deve-se multiplicar por 2 pois 1 pode ficar só no primeiro espaço e os outros 2 no segundo espaço) 3) Os três pilotos ficarem todos no mesmo espaço Temos 4.3! = 24 (primeiro escolher uma das 4 posições e depois permutar os três pilotos) Temos pelo princípio aditivo: 24 + 72 + 24 = 120 possibilidades do Felipe se tornar campeão. Espero que tenha ajudado! []s Raphael P.S.: caso não esteja muito claro eu tento explicar melhor De: Joâo Gabriel Preturlan jgpretur...@uol.com.br Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Terça-feira, 19 de Julho de 2011 3:02 Assunto: [obm-l] Combinatória Olá, colegas. Peço ajuda no seguinte problema, já achei algumas respostas; mas não estou certo de nenhuma delas: “A última corrida do campeonato de Fórmula 1 será disputada por 6 pilotos, que receberão pontos distintos dependendo de sua posição de chegada. Para Felipe ser campeão do campeonato é necessário que ele fique a frente de Fernando e que este fique a frente de Lewis. Em quantas das classificações possíveis o Felipe pode se tornar campeão nesta prova?” []’s João
[obm-l] eureka 33
sejam a,b e c numeros reais tais que a+b+c=0,prove que a) a^3 + b^3 + c^3 = 3abc b) (a^2 + b^2 + c^2)/2 *(a^5 + b^5 + c^5)/5 = (a^7 + b^7 + c^7)/5 A questao esta praticamente resolvida na revista. No caso do item a,é possivel seguir um caminho um pouco diverso ao da revista: a+b+c=o=(a+b)^3=-c^3=a^3 + 3ab(a+b) + b^3=-c^3=a^3 + b^3 +c^3=-3ab(a+b)=-3ab(-c)=3abc No caso do item b(embora seja bem legal o enfoque da revista),haveria um outro caminho tambem interessante?
RE: [obm-l] eureka 33
Ainda não li a Eureka 33, mas me lembro de uma fatoração que meu professor me propôs a+b³+c³ - 3abc = (a+b+c)(a²+b²+c²- ab -bc-ac), como a+b+c vale 0 o resultado segue. From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] eureka 33 Date: Wed, 20 Jul 2011 02:38:10 + sejam a,b e c numeros reais tais que a+b+c=0,prove que a) a^3 + b^3 + c^3 = 3abc b) (a^2 + b^2 + c^2)/2 *(a^5 + b^5 + c^5)/5 = (a^7 + b^7 + c^7)/5 A questao esta praticamente resolvida na revista. No caso do item a,é possivel seguir um caminho um pouco diverso ao da revista: a+b+c=o=(a+b)^3=-c^3=a^3 + 3ab(a+b) + b^3=-c^3=a^3 + b^3 +c^3=-3ab(a+b)=-3ab(-c)=3abc No caso do item b(embora seja bem legal o enfoque da revista),haveria um outro caminho tambem interessante?
