[obm-l] Combinatória
Boa tarde, Tenho uma dúvida no seguinte problema: O corpo clínico da pediatria de um certo hospital é composto por 12 profissionais, dos quais 3 são capacitados para atuação junto a crianças que apresentam necessidades educacionais especiais. Para fins de assessoria, deverá ser criada uma comissão de 3 profissionais, de tal maneira que 1 deles, pelo menos, tenha a capacitação referida. Quantas comissões distintas podem ser formadas nestas condições? Resolvi-o da seguinte forma: há três formas de escolher um dos profissionais capacitados. As outras duas vagas da comissão podem ser ocupadas por quaisquer 2 dos 11 profissionais restantes, de forma que o total de comissões seria 3*C(2,11) = 3*55 = 165. O gabarito da questão é 136. Eu achei a resolução na internet, mas não consegui entender em que ponto da análise estou errando. Obrigado!
[obm-l] Re: [obm-l] Combinatória
No problema diz pelo menos, pode ser 1, 2 ou 3 com a capacitação. Podemos resolver calculando o total de combinações incluindo todos os profissionais e excluindo aquelas que não tem profissionais com capacitação, ou seja, C(12, 3) - C(9, 3) = 220 - 84 = 136. 2011/10/5 Azincourt Azincourt aazinco...@yahoo.com.br: Boa tarde, Tenho uma dúvida no seguinte problema: O corpo clínico da pediatria de um certo hospital é composto por 12 profissionais, dos quais 3 são capacitados para atuação junto a crianças que apresentam necessidades educacionais especiais. Para fins de assessoria, deverá ser criada uma comissão de 3 profissionais, de tal maneira que 1 deles, pelo menos, tenha a capacitação referida. Quantas comissões distintas podem ser formadas nestas condições? Resolvi-o da seguinte forma: há três formas de escolher um dos profissionais capacitados. As outras duas vagas da comissão podem ser ocupadas por quaisquer 2 dos 11 profissionais restantes, de forma que o total de comissões seria 3*C(2,11) = 3*55 = 165. O gabarito da questão é 136. Eu achei a resolução na internet, mas não consegui entender em que ponto da análise estou errando. Obrigado! -- Henrique = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Combinatória
2011/10/5 Azincourt Azincourt aazinco...@yahoo.com.br: Boa tarde, Boa tarde, O corpo clínico da pediatria de um certo hospital é composto por 12 profissionais, dos quais 3 são capacitados para atuação junto a crianças que apresentam necessidades educacionais especiais. Para fins de assessoria, deverá ser criada uma comissão de 3 profissionais, de tal maneira que 1 deles, pelo menos, tenha a capacitação referida. Quantas comissões distintas podem ser formadas nestas condições? Resolvi-o da seguinte forma: há três formas de escolher um dos profissionais capacitados. Verdade. Mas lembre-se que pode haver mais do que um na comissão. As outras duas vagas da comissão podem ser ocupadas por quaisquer 2 dos 11 profissionais restantes, de forma que o total de comissões seria 3*C(2,11) = 3*55 = 165. Quase. O problema é que (como indica o gabarito) você achou mais do que devia. O que quer dizer que você contou alguma coisa duas vezes. (Poderia ser também que você esqueceu de contar algo, mas acho que não é o caso). O que você contou duas vezes? Simples: quando houver mais do que um dos três profissionais especiais na comissão. Demos nomes aos burros (enfim, médicos): A, B e C os três capacitados d, e, f, g, h, i, j, k, l os outros 9. A sua solução conta a possibilidade ABe (por exemplo) duas vezes. Uma quando você considera A (capacitado) + Be (dois dos 11 outros), e de novo quando você conta B + Ae. Assim, todos os casos de exatamente 2 especialistas foram contados 2 vezes, o que dá C(3,2)*9 = 27 casos. Mas o caso de três especialistas foi contado 3 vezes: A + (BC), B + (AC), C + (AB). Ou seja, temos que retirar dois do resultado. 165 - 27 - 2 = 136. O gabarito da questão é 136. Eu achei a resolução na internet, mas não consegui entender em que ponto da análise estou errando. Obrigado! Tome muito cuidado nos problemas de enumeração com pelo menos, ..., em que você sempre tem muitos casos a considerar! Por isso é que, em geral, essas questões são feitas para serem resolvidas passando ao complementar. Observação ranzinza: é claro que isso é muito pouco próximo da realidade. Um problema de verdade talvez tenha 50 médicos, dos quais 12 especializados em A, 10 especializados em B e 3 especializados em A e B (portanto ao todo 15 que sabem A e 13 que sabem B). Queremos formar turnos de 10 médicos, tendo certeza de possuir ao menos 2 especialistas em cada matéria a cada turno. De quantas formas podemos fazer isso? Não é tão difícil, mas o único jeito é sair calculando as possibilidades... é claro que usar o complementar vai ajudar (ainda tem menos casos no complementar do que no direto), mas é mais ou menos equivalente. Porque provavelmente você vai programar a solução num computador, e nesse caso, usar o método direto de enumerar os casos de (2A,2B,6), (3A,2B,5), ... é mais simples, ainda mais se você quiser depois generalizar para N médicos, K especialidades, n_i de cada uma (e depois se vira para os n_ijk que sabem três coisas...) Mas se o problema fosse mais complicado? Por exemplo, temos que fazer 5 plantões de 10 médicos (o que tem a vantagem de mudar o dia de cada um, para não ficar o mesmo coitado no sábado). Quantas formas há? Aqui é mais fácil de fazer direto, distribuindo os especialistas nos 5 dias, e depois completando. Mas, mais uma vez, você tem que tomar cuidado para não misturar um qualquer com o 3° especialista. E, de qualquer forma, dá um MOOONTE de contas. -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Qual o lugar geométrico?
Alguém pode me ajudar no seguinte exercício? É um exercício tipo IME, e não consegui achar uma resolução rápida e prática de se achar o LG, somente fazendo 1 milhão de conta s. 1)Os pontos A, B e C estão nesta ordem sobre uma reta r. AB=6,BC=1. Uma circunferência variável, k, é tangente em C à r. Astangentes a k traçadas por A e B cortam-se em P. Determine oLG de P. []'sJoão
[obm-l] Re: [obm-l] Qual o lugar geométrico?
2011/10/5 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com: Alguém pode me ajudar no seguinte exercício? É um exercício tipo IME, e não consegui achar uma resolução rápida e prática de se achar o LG, somente fazendo 1 milhão de conta s. Bom, eu *gosto* de fazer contas, enfim, até certo ponto... A solução analítica, mesmo sendo razoável, pede alguns truques de mudanças de variáveis e fatoração na hora de você achar a equação do LG. Mas sai, é claro. Em tempo finito, o que é sempre um bom argumento. 1)Os pontos A, B e C estão nesta ordem sobre uma reta r. AB=6, BC=1. Uma circunferência variável, k, é tangente em C à r. As tangentes a k traçadas por A e B cortam-se em P. Determine o LG de P. A solução sintética é mais razoável. (mas eu só vi depois que eu descobri qual era a forma da solução por analítica, mesmo que o desenho com tudo que eu precisava estar na minha frente o tempo todo). Resposta: elipse, de focos A e B passando por C. Explicação: trace as tangentes AX e BY ao círculo k. Como ABC é tangente ao círculo em C, AX = AC = 7 e BY = BC = 1. Note que P está sobre a reta BY depois de Y, e sobre a reta AX antes de X (faça um desenho). Note também que PX e PY são as tangentes ao círculo k passando por P. Portanto, PX = PY. Assim, AP + PB = (AX - XP) + (PY + YB) = AX + YB = AC + CB. Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
