2011/12/13 Rodrigo Renji rodrigo.uff.m...@gmail.com:
Olá joão!
Isso não vale em geral em conjuntos infinitos
considere por exemplo
f: N em N com
f(n) =n+1
a função é injetora, porém não é sobrejetora.
nenhum elemento é enviado no número 0 ( com N= {0,1,2,3,} )
Só para completar: o exemplo do Renji e a questão do João são
universais. Ou seja, vale o seguinte:
- se um conjunto é finito, então toda função injetora é bijetora,
- se um conjunto é infinito, então existe uma função injetora que não
é bijetora.
Para ver a segunda parte, basta lembrar que cada conjunto infinito
contém uma cópia de N dentro dele, e daí você usa uma função que é a
função do Renji na cópia do N, e identidade no resto (se houver),
que é injetiva e não sobrejetiva.
Em uma frase só: um conjunto é finito se, e somente se, toda função
injetora é bijetora.
Ah, quase esqueci: um conjunto X é infinito quando ele não é finito
(daã), ou seja, quando não existir uma bijeção de {0, 1, ..., n}
em X. Se existisse uma sobrejeção de {0, 1, ..., n} em X mas não
bijeção, X é finito também, porque os subconjuntos de um conjunto
finito são finitos, e X seria bijetivo com a um subconjunto de {0, 1,
..., n}. Assim, se X é infinito, podemos construir uma família de
injeções de {0, 1, ..., n} em X que não são sobrejetivas. Chame-as de
f_n. Construa a cópia de N dentro de X por indução: comece com 0 -
f_0(0). Daí, 1 - f_1(1) ou f_1(0), pelo menos um deles é diferente de
f_0(0) porque são ambos diferentes entre si. Em seguida, suponha que
você já definiu até n-1 - alguma coisa em X, e quer definir a de n.
Podemos supor que f_n(n) é diferente de todas as imagens anteriores
(porque a imagem de {0, 1, ..., n} por f_n tem cardinal n+1, que é
maior que n) e assim n - f_n(n). Se você preferir, diga que n -
algum elemento de f_n({0, 1, , n}) \ {elementos já utilizados},
que é de cardinal = (n+1) - n = 1. Isso prova que todo conjunto
infinito contém uma cópia de N. Para os puristas, isso usa o axioma da
escolha... para quem gosta da wikipédia, a definição de infinito
como possui uma função injetiva e não bijetiva foi dada pelo
Dedekind, e é interessante em si porque é independente de N ser o
menor conjunto infinito que existe.
Abraços,
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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