Este problema foi extraído do livro Problem Solving Strategies do Arthur
Engel, página 63 (princípio das casas dos pombos).
A resposta dada no livro é a seguinte:
Suponha que a área de sobreposição de qualquer par de tapetes seja menor do
que 1/9. Coloque os tapetes um a um sobre o chão. Observemos quanto da área
ainda não coberta cada um dos tapetes irá cobrir. O primeiro tapete irá
cobrir uma área igual a 1 ou 9/9. O segundo, terceiro, ..., nono irão
cobrir uma área maior do que 8/9, ..., 1/9. Desde que 9/9 + 8/9 + 7/9 + ...
+ 1/9 = 5, todos os nove tapetes irão cobrir uma área maior do que 5.
Contradição.
2013/5/8 Cláudio Gustavo claudiog...@yahoo.com.br
Eh verdade... Eh como se não exercesse a função de tapete!
Agora entendi o que você quis dizer. Concordo!
Abçs
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Em 07/05/2013, às 23:04, terence thirteen peterdirich...@gmail.com
escreveu:
Entendi. E foi por isso que achei mal formulado. Mas acho que ainda assim
dá problema.
Pensa assim: qual a área útil de cada tapete?
É aquela que toca o chão, correto?
Então, se uma área do tapete tocar outra coisa que não o tapete, ela não é
útil. E se uma área do tapete cobrir outras duas, de novo ela é inútil.
Pensa num caso extremo: três tapetes circulares concêntricos.
Em 7 de maio de 2013 21:59, Cláudio Gustavo
claudiog...@yahoo.com.brescreveu:
Olah!
Bom talvez eu não tenha sido muito claro na minha explicação, mas não há
regiões contadas repetidamente, pois se A sobrepõem B e B a C, a parte de C
sob B não conta como área sobreposta de C por A. Somente se houvesse
contato entre os tapetes.
Enviado via iPhone
Em 07/05/2013, às 19:52, terence thirteen peterdirich...@gmail.com
escreveu:
Em 6 de maio de 2013 21:37, Cláudio Gustavo
claudiog...@yahoo.com.brescreveu:
Boa noite.
Imaginei a sobreposição como uma relação apenas entre dois tapetes. Pois
vamos imaginar que, por exemplo, os tapetes A, B e C estejam amontoados
com uma parte de C embaixo, acima um pedaço de B e acima outro pedaço de A.
Teríamos A sobrepondo um pedaço de B, A sobrepondo um outro pedaço
diferente de C (sem B no meio) e B sobrepondo o outro pedaço de C.
Mas é de se supor que os tapetes são finos. Assim, um determinado ponto
seria coberto por vários e não apenas dois tapetes. Afinal, se pensarmos no
quanto de um tapete é utilizado para cobrir área útil, temos que fazer algo
assim:
* Contar os tapetes sem levar em conta intersecções
* Descontar intersecções dois a dois
* Contar intersecções três a três
* Descontar intersecções quatro a quatro
E assim por diante. Aí sim, podemos dizer quais áreas estão sendo
efetivamente cobertas - sem ocorrer contagens adicionais.
Do jeito que você faz, me parece que os tapetes são como tapetes de
verdade e não folhas de papel (como eu pensei). Talvez seja um problema
formulado fracamente...
Dessa forma só a área em que X compartilha imediatamente acima de Y é
que é contada na sobreposição de X com Y. Assim nenhum pedaço é esquecido e
nem contado mais de uma vez.
Na verdade a área comum é contada três vezes em cada par :)
Complementando, considerei o caso extremo em que toda região de área 5
seria coberta pelos tapetes, do contrário haveria mais partes sobrepostas.
Abraços
Claudio Gustavo
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Em 05/05/2013, às 22:58, terence thirteen peterdirich...@gmail.com
escreveu:
Em 5 de maio de 2013 17:25, Cláudio Gustavo
claudiog...@yahoo.com.brescreveu:
A principio observa-se que as áreas sobrepostas somam: 9-5=4. Dessa
forma, seja, por absurdo, que nao existem dois tapetes com áreas
sobrepostas 1/9 ou mais.
Sendo assim:
Tapetes que se sobrepõem: k (com k positivo inteiro menor ou igual a 9)
Tapetes que nao se sobrepõem: 9-k
Total de formas de se escolher dois tapetes que se sobrepoem: Ck,2 =
k(k-1)/2
Logo:
4/(k(k-1)/2) 1/9
k^2 -k -72 0
k -8 ou k9 (absurdo)
E se ocorrer tripla sobreposição? Três tapetes dividindo uma área comum?
Abraços
Claudio Gustavo
Enviado via iPhone
Em 05/05/2013, às 16:08, terence thirteen peterdirich...@gmail.com
escreveu:
Tentar teoria dos conjuntos, ou inclusão-exclusão?
A soma da área coberta é no máximo 5.
Cada um tem tamanho 1
Nunca há dois que se sobreponham mais de 1/9.
A área coberta deve ser no mínimo o total dos tapetes menos as
sobreposições.
São 9 tapetes e 9*4 sobreposições. Total 9-9*4/9=5 sobreposições.
Ixi! Só deu pra provar a igualdade!
Em 3 de maio de 2013 14:23, Mauricio de Araujo
mauricio.de.ara...@gmail.com escreveu:
Considere uma sala com área igual a 5. Nesta sala colocamos 9 tapetes
de área igual a 1 e com formatos arbitrários. Prove que existem dois
tapetes cuja área de sobreposição é maior do que 1/9.
dica: redução ao absurdo.
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Abraços
M.
*momentos excepcionais pedem ações excepcionais.*
*Os cemitérios estão cheios de pessoas insubstituíveis em seus
ofícios..*
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神が祝福
Torres
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