esse problema e semlhante ao anterior.
2014-07-05 0:25 GMT-03:00 Ralph Teixeira ralp...@gmail.com:
Estou pensando em algo com o seguinte espirito (mas tem que examinar
todos os detalhes e ver se funciona mesmo)!
1. Suponha que f'(a) NAO EH L. Entao existe alguma sequencia (que,
passando uma subsequencia se necessario, pode ser tomada monotona --
vou supor spdg decrescente) z_n - a (com z_n a) tal que lim
(f(z_n)-f(a)) / (z_n-a) nao eh L.
2. Se a sequencia dos numeros (f(z_n)-f(a))/(z_n-a) for ilimitada,
passe outra sub para que ele o limite dela seja +Inf ou -Inf; se for
limitada, ela tem que ter um ponto de acumulacao que nao eh L, entao
passe uma subsequencia para que o limite seja um numero A diferente de
L.
Em suma, neste momento temos uma sequencia z_n-a decrescente tal que
lim (f(z_n)-f(a)) / (z_n-a) = A L.
3. Ideia: tome y_n=z_n. Agora, para CADA y_n fixo, vamos escolher x_n
MUITO PERTO de a, tal que f(x_n) esteja MUITO MUITO PERTO de f(a).
Assim, teremos algo do tipo
[f(y_n) - f(x_n)]/[y_n-x_n] ~~~ [f(y_n) - f(a)]/[y_n-a] ~~~ A, que
estaria **longe** de L. Pronto, isto seria uma contradicao frente aa
hipotese dada!
Vejamos os detalhes, pelo menos no caso em que A eh finito: vou
denotar B_n=[f(y_n) - f(a)]/[y_n-a] e D=|A-L|0.
i) Primeiro passe outra subsequencia de forma a garantir que |B_n -
A| D/4. Isto eh para garantir que este negocio estah realmente longe
de L (e eh possivel porque o limite de B_n eh A quando n-Inf, entao
eh soh cortar o comeco da sequencia e deixar um rabo conveniente).
ii) Agora, para um y_n fixo, note que lim (x-a) (f(y_n) - f(x))/(y_n
- x) = B_n. Entao, para x suficientemente proximo de a, temos
|(f(y_n)-f(x)) / (y_n-x) - B_n |D/4.
iii) Entao escolha um x_n de cada vez, indutivamente, sempre no
intervalo (x_(n-1),a) e satisfazendo (ii) (que simplesmente
determinava um intervalo em volta de a onde x_n tinha que estar).
iv) Pronto! A sequencia x_n eh crescente, e temos
|[f(y_n) - f(x_n)]/[y_n-x_n] - L| |A-L| - |B_n-A| - |[f(y_n) -
f(x_n)]/[y_n-x_n] - B_n| D - D/4 - D/4 D/2
e portanto o limite desta fracao ali na esquerda nao serah L, absurdo.
(Agora falta fazer um raciocinio analogo no caso em que A=+-Inf! Mas
tenho certeza que sai, deve ateh ser mais facil do que esse que eu
fiz.)
Abraco, Ralph.
2014-07-04 21:35 GMT-03:00 Merryl sc...@hotmail.com:
Boa noite amigos
Obrigada a todos pela ajuda naquele outro problema.
Gostaria de ajuda com este aqui. Já pensei mas não consegui provar.
Seja f:I -- R contínua no ponto a do intervalo aberto I. Suponhamos que
para todas sequências (x_n) e (y_n) em I tais que
(x_n) seja crescente e convirja para a
(y_n) seja decrescente e convirja para a
x_n a y_n para todo n
exista um mesmo real L para o qual convirjam os quocientes ((f(y_n) -
f(x_n))/(y_n - x_n)).
Mostre que f é diferenciável em a e que f'(a) = L
Eu tentei partir o quociente acima em duas partes, escrevendo-o como
(f(y_n) - f(a))/(y_n - a) (y_n - a)/(y_n - x_n) - (f(x_n) - f(a))/(x_n -
a)
(x_n - a)/(y_n - x_n)
Mas como a hipótese é que f é só contínua em a, não se assume
diferenciabilidade, isto não permite chegar a f'(a) = L.
Obrigada
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
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Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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