[obm-l] Congruência de triângulos e quadriláteros
Boa tarde pessoal, gostaria de uma ajuda nesta questão. Desde já, agradeço. Att. Warley Souza Questão um (Congruência de triângulos e quadriláteros) a) Uma mesa decorativa inclinada em forma de paralelogramo foi criada por um artista plástico. A medida de um dos pés da mesa deveria ser de a cm. O segundo pé mediria b cm e o terceiro mediria c cm. Determine o tamanho x do quarto pé para que a mesa não manque. b) Substitua no item anterior o paralelogramo por um quadrilátero convexo ou não. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
FW: [obm-l] Fobonacci
Para Douglas oliveira e demais interessados Date: Mon, 16 Jan 2012 12:46:31 -0200 Subject: Re: [obm-l] Fobonacci From: ralp...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Bom, eu não sabia disso mas agora que você falou... A recorrência que define os termos de ordem ímpar da seq. de Fibonacci pode ser obtida assim: F(2n+1)=F(2n)+F(2n-1) F(2n)=F(2n-1)+F(2n-2) F(2n-2)=F(2n-1)-F(2n-3) (tô fazendo um esforço para só deixar os de ordem ímpar do lado direito) Então F(2n+1)=3F(2n-1)-F(2n-3) Agora deixa eu ver os alegados quadrados. Seriam: F(n)5F(n)^2-4 1 1=1^2 2 16=4^2 5 121=11^2 13 841=29^2 ...... Será que a sequencia da direita tem alguma ordem razoável... Digo, olhando para 1,4,11,29..., qual é a recorrência? Hmmm, parece que cada termo é 3 vezes o anterior menos ao anteanterior, de novo! Bom, mas isso tudo é chute, vamos ver se a gente consegue MOSTRAR isso. TEOREMA: Defina A(0)=1, A(1)=2 e A(n+1)=3A(n)-A(n-1) (n=2). Defina também B(0)=1, B(1)=4 e B(n+1)=3B(n)-B(n-1). Afirmo que: i) 5A(n)^2-4=B(n)^2 ii) você já vai ver que preciso de algo mais aqui. Prova: i) Para n=0 e n=1 é só verificar direto. Por indução, se a propriedade vale para n=k e n=k-1, então: 5A(k+1)^2-4 = 5(3A(k)-A(k-1))^2-4 = 45A(k)^2-30A(k)A(k-1)+5A(k-1)^2-4 = (9B(k)^2+36)-30A(k)A(k-1)+B(k-1)^2 Ah, droga, eu não tenho a mínima ideia do que fazer com aquele A(k)A(k-1)... Se fosse algo conhecido, razoável tipo, eu acho que a coisa toda vai dar (3B(k)-B(k-1))^2, né? Para isso valer, eu precisava que fosse 36-30A(k)A(k-1)=-6B(k)B(k-1), isto é, eu queria que fosse 5A(k)A(k-1)=B(k)B(k-1)+6... Como provar isto? Façamos por indução, ora! Então adicione lá no enunciado o seguinte: ii) 5A(n)A(n-1)=B(n)B(n-1)+6 Esta propriedade claramente vale para n=1 e n=2. Agora o passo de indução (note que estou usando (i) com n=k, então a indução é feita com (i) e (ii) ao mesmo tempo!): 5A(k+1)A(k) = 5(3A(k)-A(k-1))A(k) = 15A(k)^2-5A(k)A(k-1) = (3B(k)^2+12)-B(k)B(k-1)-6 = = 3B(k)^2-B(k)(3B(k)-B(k+1))+6 = B(k)B(k+1)+6 Pronto! Este era o pedaço que faltava para terminar a indução em (i). Acabou! Abraço, Ralph P.S.: Agora, para DESCOBRIR que estes números funcionam, dê uma olhada na teoria de Equação de Pell, que ajuda a resolver coisas do tipo 5n^2-4=p^2. 2012/1/15 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com: Provar q a equação x^2+y^2+z^2=3xyz tem infinitas soluções inteiras. Essa questão ja foi resolvida na lista Um colega tentou uma soluçao diferente: Fez y=n e z=1,encontrando x^2 - 3nx +n^2 +1=0 x= (3n + - raiz(5n^2 - 4))/2 5n^2 - 4 deve ser um quadrado perfeito Tentei mostrar q existem infinitos valores de n para os quais 5n^2 - 4 é um quadrado perfeito e não consegui Mas o colega me informou q para n igual aos termos de ordem impar da sequencia de fibonacci, a referida expressão é um quadrado perfeito(1,2,5,13,34,...) Não sabemos provar Alguem poderia esclarecer? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] (Congruência de triângulos e quadriláteros)
Boa tarde pessoal, gostaria de uma ajuda nesta questão. Desde já, agradeço. Att. Warley Souza Questão um (Congruência de triângulos e quadriláteros) a) Uma mesa decorativa inclinada em forma de paralelogramo foi criada por um artista plástico. A medida de um dos pés da mesa deveria ser de a cm. O segundo pé mediria b cm e o terceiro mediria c cm. Determine o tamanho x do quarto pé para que a mesa não manque. b) Substitua no item anterior o paralelogramo por um quadrilátero convexo ou não. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: FW: [obm-l] Fobonacci
Valeu demais Muito bom!!! Em 19 de agosto de 2014 18:11, marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com escreveu: Para Douglas oliveira e demais interessados Date: Mon, 16 Jan 2012 12:46:31 -0200 Subject: Re: [obm-l] Fobonacci From: ralp...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Bom, eu não sabia disso mas agora que você falou... A recorrência que define os termos de ordem ímpar da seq. de Fibonacci pode ser obtida assim: F(2n+1)=F(2n)+F(2n-1) F(2n)=F(2n-1)+F(2n-2) F(2n-2)=F(2n-1)-F(2n-3) (tô fazendo um esforço para só deixar os de ordem ímpar do lado direito) Então F(2n+1)=3F(2n-1)-F(2n-3) Agora deixa eu ver os alegados quadrados. Seriam: F(n) 5F(n)^2-4 1 1=1^2 2 16=4^2 5 121=11^2 13 841=29^2 ... ... Será que a sequencia da direita tem alguma ordem razoável... Digo, olhando para 1,4,11,29..., qual é a recorrência? Hmmm, parece que cada termo é 3 vezes o anterior menos ao anteanterior, de novo! Bom, mas isso tudo é chute, vamos ver se a gente consegue MOSTRAR isso. TEOREMA: Defina A(0)=1, A(1)=2 e A(n+1)=3A(n)-A(n-1) (n=2). Defina também B(0)=1, B(1)=4 e B(n+1)=3B(n)-B(n-1). Afirmo que: i) 5A(n)^2-4=B(n)^2 ii) você já vai ver que preciso de algo mais aqui. Prova: i) Para n=0 e n=1 é só verificar direto. Por indução, se a propriedade vale para n=k e n=k-1, então: 5A(k+1)^2-4 = 5(3A(k)-A(k-1))^2-4 = 45A(k)^2-30A(k)A(k-1)+5A(k-1)^2-4 = (9B(k)^2+36)-30A(k)A(k-1)+B(k-1)^2 Ah, droga, eu não tenho a mínima ideia do que fazer com aquele A(k)A(k-1)... Se fosse algo conhecido, razoável tipo, eu acho que a coisa toda vai dar (3B(k)-B(k-1))^2, né? Para isso valer, eu precisava que fosse 36-30A(k)A(k-1)=-6B(k)B(k-1), isto é, eu queria que fosse 5A(k)A(k-1)=B(k)B(k-1)+6... Como provar isto? Façamos por indução, ora! Então adicione lá no enunciado o seguinte: ii) 5A(n)A(n-1)=B(n)B(n-1)+6 Esta propriedade claramente vale para n=1 e n=2. Agora o passo de indução (note que estou usando (i) com n=k, então a indução é feita com (i) e (ii) ao mesmo tempo!): 5A(k+1)A(k) = 5(3A(k)-A(k-1))A(k) = 15A(k)^2-5A(k)A(k-1) = (3B(k)^2+12)-B(k)B(k-1)-6 = = 3B(k)^2-B(k)(3B(k)-B(k+1))+6 = B(k)B(k+1)+6 Pronto! Este era o pedaço que faltava para terminar a indução em (i). Acabou! Abraço, Ralph P.S.: Agora, para DESCOBRIR que estes números funcionam, dê uma olhada na teoria de Equação de Pell, que ajuda a resolver coisas do tipo 5n^2-4=p^2. 2012/1/15 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com: Provar q a equação x^2+y^2+z^2=3xyz tem infinitas soluções inteiras. Essa questão ja foi resolvida na lista Um colega tentou uma soluçao diferente: Fez y=n e z=1,encontrando x^2 - 3nx +n^2 +1=0 x= (3n + - raiz(5n^2 - 4))/2 5n^2 - 4 deve ser um quadrado perfeito Tentei mostrar q existem infinitos valores de n para os quais 5n^2 - 4 é um quadrado perfeito e não consegui Mas o colega me informou q para n igual aos termos de ordem impar da sequencia de fibonacci, a referida expressão é um quadrado perfeito(1,2,5,13,34,...) Não sabemos provar Alguem poderia esclarecer? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: FW: [obm-l] Fobonacci
x^2+y^2+z^2=3xyz x/yz+y/xz+z/xy=3 x=ayz a+1/az^2+1/ay^2=3 a3 1/az^2+1/ay^20 1/z^2+1/y^20 impossivel a0 impossivel 1/y^2+1/z^2=ab a+b=3 a=0 1/y^2+1/b^2=0 (x,y,z)=(0,k1oo,k2oo), k1,k2pertence Z e soluçao a=1 1/z^2+1/y^2=2 (y^2+z^2)/y^2z^2=2 soluçao (-1,1),(1,-1),(-1,-1),(1,1) y=z x^2+2y^2=3xy^2 delta=9y^4-8y^2 x=(3y^2+-ysqrt(9y^2-8))/2 9y^2-8=a^2 3y^2+ay=2k1 3ay+8=6k1-a^2 3a(y-a)=2(3k1-4) y=2(3k1-4)/3a +a 3k1-4=3k2a k1=(3k2a+4)/3 nao tem soluçao inteira x^2+y^2+z^2=3xyz y=z+a x=z+b z^2+2zb+b^2+z^2+2za+a^2+z^2=3z(z+a)(z+b)=3z(z^2+z(a+b)+ab) 3z^2+2z(a+b)+b^2+a^2=3z^3+3z^2(a+b)+3zab 3z^3+3z^2(a+b-1)+z(3ab-2a-2b)-b^2-a^2=0 se existe infinitos a,b inteiros tal que z seja inteiro entao existem infinitos y,x inteiros 3a+3b-3=9k a+b=3k-1 p=(3ab-2a-2b)/3-k^2/3 q=2k^3-k(3ab-2a-2b)/3-b^2/3-a^2/3 para que se tenha uma soluçao inteira um dos caminhos e q^2*27=-4p^3 p=-3k1^2 q^2=4k1^6 q=2k1^3 -3k1^3=x-k^3/3 2k1^3==2k^3-x-b^2/3-a^2/3 -k1^3=5k^3/3-b^2/3-a^2/3 3k1^3+5k^3-b^2-a^2=0 3k1^3+5k^3=a^2+b^2, tem que provar que existem infinitas quadruplas de numeros que satisfazem a equaçao anterior. 3k1^3=a^2 5k^3=b^2 a=3^nk1 b=5^nk k1=3^(2n-1) k=5^(2n-1) 2014-08-19 18:11 GMT-03:00 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com: Para Douglas oliveira e demais interessados Date: Mon, 16 Jan 2012 12:46:31 -0200 Subject: Re: [obm-l] Fobonacci From: ralp...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Bom, eu não sabia disso mas agora que você falou... A recorrência que define os termos de ordem ímpar da seq. de Fibonacci pode ser obtida assim: F(2n+1)=F(2n)+F(2n-1) F(2n)=F(2n-1)+F(2n-2) F(2n-2)=F(2n-1)-F(2n-3) (tô fazendo um esforço para só deixar os de ordem ímpar do lado direito) Então F(2n+1)=3F(2n-1)-F(2n-3) Agora deixa eu ver os alegados quadrados. Seriam: F(n) 5F(n)^2-4 1 1=1^2 2 16=4^2 5 121=11^2 13 841=29^2 ... ... Será que a sequencia da direita tem alguma ordem razoável... Digo, olhando para 1,4,11,29..., qual é a recorrência? Hmmm, parece que cada termo é 3 vezes o anterior menos ao anteanterior, de novo! Bom, mas isso tudo é chute, vamos ver se a gente consegue MOSTRAR isso. TEOREMA: Defina A(0)=1, A(1)=2 e A(n+1)=3A(n)-A(n-1) (n=2). Defina também B(0)=1, B(1)=4 e B(n+1)=3B(n)-B(n-1). Afirmo que: i) 5A(n)^2-4=B(n)^2 ii) você já vai ver que preciso de algo mais aqui. Prova: i) Para n=0 e n=1 é só verificar direto. Por indução, se a propriedade vale para n=k e n=k-1, então: 5A(k+1)^2-4 = 5(3A(k)-A(k-1))^2-4 = 45A(k)^2-30A(k)A(k-1)+5A(k-1)^2-4 = (9B(k)^2+36)-30A(k)A(k-1)+B(k-1)^2 Ah, droga, eu não tenho a mínima ideia do que fazer com aquele A(k)A(k-1)... Se fosse algo conhecido, razoável tipo, eu acho que a coisa toda vai dar (3B(k)-B(k-1))^2, né? Para isso valer, eu precisava que fosse 36-30A(k)A(k-1)=-6B(k)B(k-1), isto é, eu queria que fosse 5A(k)A(k-1)=B(k)B(k-1)+6... Como provar isto? Façamos por indução, ora! Então adicione lá no enunciado o seguinte: ii) 5A(n)A(n-1)=B(n)B(n-1)+6 Esta propriedade claramente vale para n=1 e n=2. Agora o passo de indução (note que estou usando (i) com n=k, então a indução é feita com (i) e (ii) ao mesmo tempo!): 5A(k+1)A(k) = 5(3A(k)-A(k-1))A(k) = 15A(k)^2-5A(k)A(k-1) = (3B(k)^2+12)-B(k)B(k-1)-6 = = 3B(k)^2-B(k)(3B(k)-B(k+1))+6 = B(k)B(k+1)+6 Pronto! Este era o pedaço que faltava para terminar a indução em (i). Acabou! Abraço, Ralph P.S.: Agora, para DESCOBRIR que estes números funcionam, dê uma olhada na teoria de Equação de Pell, que ajuda a resolver coisas do tipo 5n^2-4=p^2. 2012/1/15 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com: Provar q a equação x^2+y^2+z^2=3xyz tem infinitas soluções inteiras. Essa questão ja foi resolvida na lista Um colega tentou uma soluçao diferente: Fez y=n e z=1,encontrando x^2 - 3nx +n^2 +1=0 x= (3n + - raiz(5n^2 - 4))/2 5n^2 - 4 deve ser um quadrado perfeito Tentei mostrar q existem infinitos valores de n para os quais 5n^2 - 4 é um quadrado perfeito e não consegui Mas o colega me informou q para n igual aos termos de ordem impar da sequencia de fibonacci, a referida expressão é um quadrado perfeito(1,2,5,13,34,...) Não sabemos provar Alguem poderia esclarecer? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
