Re: [obm-l] Problema Legal
Boa tarde! (a) Ax=b| 1 1 00 | |a|| r| |10100 | |b| |s| | 1 1 00 | |c| = |t | | 1 1 00 | |a| | r | Trabalhando a matriz A sem alterar seu posto, 2a = 1a - 2a; 3a = -3a + 1a -2a; 4a = 4a - 2a + 2 . 3a teremos a matriz A' | 1 1 0 0 | | 0 1 -1 0 | ! 0 0 0 -1 | | 0 0 0 -2 | | 0 1 0 1 | | 0 0 1 1 | è fácil perceber que as 4 primeiras linhas são linearmente idenpendentes, logo posto (A) = 4 == dim(Im(f)) = 4 f: V -- W == dim (V) = dim (N) + dim (Im(f)) 4 = din(N) + 4 == dim (N) = 0; logo ou só há uma solução ou é impossível. Mas como há a solução, que seria a escolha do jogador A. O sistema tem solção única. R; Não é possível o jogador escolher quatro números que tornem impossível o jogador B ganhar. Fazendo o item 2, também é facil mostrar que o posto da matriz A seria 5 e novamente a resposta é a mesma. Em 17 de outubro de 2014 09:08, benedito bened...@ufrnet.br escreveu: *Problema para o Nível I - (De uma lista de problemas para treinamento da OMA)* (a)Dois jogadores, A e B, disputam o seguinte jogo: · O jogador A escolhe 4 números naturais distintos e escreve num papel todas as somas de dois desses números (são 6 números) · O jogador B ganha se encontra os 4 números escolhidos por A; caso contrário, ganha o jogador A. O jogador A pode escolher os 4 números para que seja impossível B ganhar? (b) No mesmo jogo descrito em (a), mas agora o jogador A escolhe 5 números naturais distintos e escreve as 10 somas de dois dos números. Novamente, determinar se o jogador A pode escolher os 5 números para que seja impossível o jogador B ganhar. -- http://www.avast.com/ Este email está limpo de vírus e malwares porque a proteção do avast! Antivírus http://www.avast.com/ está ativa. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Problema Legal
Bom dia! Saiu errado a terceira linha é | 0 0 1 -1 | e não | 0 0 0 -1| conforme escrito anteriormente. Saudações, PJMS. Em 20 de outubro de 2014 09:16, Pedro José petroc...@gmail.com escreveu: Boa tarde! (a) Ax=b| 1 1 00 | |a|| r| |10100 | |b| |s| | 1 1 00 | |c| = |t | | 1 1 00 | |a| | r | Trabalhando a matriz A sem alterar seu posto, 2a = 1a - 2a; 3a = -3a + 1a -2a; 4a = 4a - 2a + 2 . 3a teremos a matriz A' | 1 1 0 0 | | 0 1 -1 0 | ! 0 0 0 -1 | | 0 0 0 -2 | | 0 1 0 1 | | 0 0 1 1 | è fácil perceber que as 4 primeiras linhas são linearmente idenpendentes, logo posto (A) = 4 == dim(Im(f)) = 4 f: V -- W == dim (V) = dim (N) + dim (Im(f)) 4 = din(N) + 4 == dim (N) = 0; logo ou só há uma solução ou é impossível. Mas como há a solução, que seria a escolha do jogador A. O sistema tem solção única. R; Não é possível o jogador escolher quatro números que tornem impossível o jogador B ganhar. Fazendo o item 2, também é facil mostrar que o posto da matriz A seria 5 e novamente a resposta é a mesma. Em 17 de outubro de 2014 09:08, benedito bened...@ufrnet.br escreveu: *Problema para o Nível I - (De uma lista de problemas para treinamento da OMA)* (a)Dois jogadores, A e B, disputam o seguinte jogo: · O jogador A escolhe 4 números naturais distintos e escreve num papel todas as somas de dois desses números (são 6 números) · O jogador B ganha se encontra os 4 números escolhidos por A; caso contrário, ganha o jogador A. O jogador A pode escolher os 4 números para que seja impossível B ganhar? (b) No mesmo jogo descrito em (a), mas agora o jogador A escolhe 5 números naturais distintos e escreve as 10 somas de dois dos números. Novamente, determinar se o jogador A pode escolher os 5 números para que seja impossível o jogador B ganhar. -- http://www.avast.com/ Este email está limpo de vírus e malwares porque a proteção do avast! Antivírus http://www.avast.com/ está ativa. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Problema Legal
Hmmm... mas cuidado: o problema não parece informar que somas correspondem a que combinações das variáveis, então tem um pouco mais do que um sistema de equações aí. Então o problema agora é o seguinte: seja s=(s1, s2, s3, ..., s6) o vetor de somas do lado direito do seu sistema. Você consegue mostrar que, ao permutar as somas, não aparecem soluções novas? Ou seja, que permutações dessas 6 somas levam a permutações da solução antiga OU a um sistema impossível? Abraço, Ralph 2014-10-20 9:16 GMT-02:00 Pedro José petroc...@gmail.com: Boa tarde! (a) Ax=b| 1 1 00 | |a|| r| |10100 | |b| |s| | 1 1 00 | |c| = |t | | 1 1 00 | |a| | r | Trabalhando a matriz A sem alterar seu posto, 2a = 1a - 2a; 3a = -3a + 1a -2a; 4a = 4a - 2a + 2 . 3a teremos a matriz A' | 1 1 0 0 | | 0 1 -1 0 | ! 0 0 0 -1 | | 0 0 0 -2 | | 0 1 0 1 | | 0 0 1 1 | è fácil perceber que as 4 primeiras linhas são linearmente idenpendentes, logo posto (A) = 4 == dim(Im(f)) = 4 f: V -- W == dim (V) = dim (N) + dim (Im(f)) 4 = din(N) + 4 == dim (N) = 0; logo ou só há uma solução ou é impossível. Mas como há a solução, que seria a escolha do jogador A. O sistema tem solção única. R; Não é possível o jogador escolher quatro números que tornem impossível o jogador B ganhar. Fazendo o item 2, também é facil mostrar que o posto da matriz A seria 5 e novamente a resposta é a mesma. Em 17 de outubro de 2014 09:08, benedito bened...@ufrnet.br escreveu: *Problema para o Nível I - (De uma lista de problemas para treinamento da OMA)* (a)Dois jogadores, A e B, disputam o seguinte jogo: · O jogador A escolhe 4 números naturais distintos e escreve num papel todas as somas de dois desses números (são 6 números) · O jogador B ganha se encontra os 4 números escolhidos por A; caso contrário, ganha o jogador A. O jogador A pode escolher os 4 números para que seja impossível B ganhar? (b) No mesmo jogo descrito em (a), mas agora o jogador A escolhe 5 números naturais distintos e escreve as 10 somas de dois dos números. Novamente, determinar se o jogador A pode escolher os 5 números para que seja impossível o jogador B ganhar. -- http://www.avast.com/ Este email está limpo de vírus e malwares porque a proteção do avast! Antivírus http://www.avast.com/ está ativa. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Problema Legal
Boa tarde! Não havia me apercebido, mas por sorte não muda nada. Pois, como os números são distintos, se ordenarmo-los, a b c d e as somas s1 s2 s3 = s4 s5 s6. Como os números são distintos a + b = s1, a + c = s2, b+d = s5 e c + d = s6. logo poderemos formar um sistema: Ax = b onde A é a matriz abaixo. | 1 1 0 0 | | 1 0 1 0 | | 0 1 0 1 | | 0 0 1 1 | e bT = [ s1,s2,s5,s6] que pode facilmente ser transformada na matriz | 1 1 0 0 | | 0 1 -1 0 | | 0 0 1 -1 | | 0 0 0 2 | Como posto de A = 4 e dim (v) = 4 == din (N) = 0 == não existe solução ou a solução é única. Mas novamente como existe pelo menos uma solução a escolhida por A, a solução é única. R; Não é possível o jogador escolher quatro números que tornem impossível o jogador B ganhar. Saudações, PJMS. Em 20 de outubro de 2014 14:56, Ralph Teixeira ralp...@gmail.com escreveu: Hmmm... mas cuidado: o problema não parece informar que somas correspondem a que combinações das variáveis, então tem um pouco mais do que um sistema de equações aí. Então o problema agora é o seguinte: seja s=(s1, s2, s3, ..., s6) o vetor de somas do lado direito do seu sistema. Você consegue mostrar que, ao permutar as somas, não aparecem soluções novas? Ou seja, que permutações dessas 6 somas levam a permutações da solução antiga OU a um sistema impossível? Abraço, Ralph 2014-10-20 9:16 GMT-02:00 Pedro José petroc...@gmail.com: Boa tarde! (a) Ax=b| 1 1 00 | |a|| r| |10100 | |b| |s| | 1 1 00 | |c| = |t | | 1 1 00 | |a| | r | Trabalhando a matriz A sem alterar seu posto, 2a = 1a - 2a; 3a = -3a + 1a -2a; 4a = 4a - 2a + 2 . 3a teremos a matriz A' | 1 1 0 0 | | 0 1 -1 0 | ! 0 0 0 -1 | | 0 0 0 -2 | | 0 1 0 1 | | 0 0 1 1 | è fácil perceber que as 4 primeiras linhas são linearmente idenpendentes, logo posto (A) = 4 == dim(Im(f)) = 4 f: V -- W == dim (V) = dim (N) + dim (Im(f)) 4 = din(N) + 4 == dim (N) = 0; logo ou só há uma solução ou é impossível. Mas como há a solução, que seria a escolha do jogador A. O sistema tem solção única. R; Não é possível o jogador escolher quatro números que tornem impossível o jogador B ganhar. Fazendo o item 2, também é facil mostrar que o posto da matriz A seria 5 e novamente a resposta é a mesma. Em 17 de outubro de 2014 09:08, benedito bened...@ufrnet.br escreveu: *Problema para o Nível I - (De uma lista de problemas para treinamento da OMA)* (a)Dois jogadores, A e B, disputam o seguinte jogo: · O jogador A escolhe 4 números naturais distintos e escreve num papel todas as somas de dois desses números (são 6 números) · O jogador B ganha se encontra os 4 números escolhidos por A; caso contrário, ganha o jogador A. O jogador A pode escolher os 4 números para que seja impossível B ganhar? (b) No mesmo jogo descrito em (a), mas agora o jogador A escolhe 5 números naturais distintos e escreve as 10 somas de dois dos números. Novamente, determinar se o jogador A pode escolher os 5 números para que seja impossível o jogador B ganhar. -- http://www.avast.com/ Este email está limpo de vírus e malwares porque a proteção do avast! Antivírus http://www.avast.com/ está ativa. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Problema Legal
E a ideia do Pedro também resolve o caso de 5 números distintos abcde, com suas somas, que na ordem têm de ser: (s1=a+b) (s2=a+c) (s3=?+?) = (s4=?+?) =... = (s8=?+?) (s9=c+e) (s10=d+e). i) Somando tudo, temos s1+s2+...+s10=4(a+b+c+d+e), e portanto tiramos S=a+b+c+d+e. ii) Subtraindo de S os termos s1 e s10, achamos c. iii) Subtraindo de S os termos s2 e s10, achamos b. iv) Subtraindo de S os termos s1 e s9, achamos d. v) Enfim, a=s1-b e e=s10-d. Quer resumido? Ok, usarei um produto interno com o vetor w=(s1,s2,...,s10): a=(3,3,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,3).w/4 b=(1,-3,1,1,1,1,1,1,1,-3).w/4 c=(-3,1,1,1,1,1,1,1,1,-3).w/4 d=(-3,1,1,1,1,1,1,1,-3,1).w/4 e=(3,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,3,3).w/4 Mas acho que eles não queriam escrito assim. :) Abraço, Ralph. 2014-10-20 16:42 GMT-02:00 Pedro José petroc...@gmail.com: Boa tarde! Não havia me apercebido, mas por sorte não muda nada. Pois, como os números são distintos, se ordenarmo-los, a b c d e as somas s1 s2 s3 = s4 s5 s6. Como os números são distintos a + b = s1, a + c = s2, b+d = s5 e c + d = s6. logo poderemos formar um sistema: Ax = b onde A é a matriz abaixo. | 1 1 0 0 | | 1 0 1 0 | | 0 1 0 1 | | 0 0 1 1 | e bT = [ s1,s2,s5,s6] que pode facilmente ser transformada na matriz | 1 1 0 0 | | 0 1 -1 0 | | 0 0 1 -1 | | 0 0 0 2 | Como posto de A = 4 e dim (v) = 4 == din (N) = 0 == não existe solução ou a solução é única. Mas novamente como existe pelo menos uma solução a escolhida por A, a solução é única. R; Não é possível o jogador escolher quatro números que tornem impossível o jogador B ganhar. Saudações, PJMS. Em 20 de outubro de 2014 14:56, Ralph Teixeira ralp...@gmail.com escreveu: Hmmm... mas cuidado: o problema não parece informar que somas correspondem a que combinações das variáveis, então tem um pouco mais do que um sistema de equações aí. Então o problema agora é o seguinte: seja s=(s1, s2, s3, ..., s6) o vetor de somas do lado direito do seu sistema. Você consegue mostrar que, ao permutar as somas, não aparecem soluções novas? Ou seja, que permutações dessas 6 somas levam a permutações da solução antiga OU a um sistema impossível? Abraço, Ralph 2014-10-20 9:16 GMT-02:00 Pedro José petroc...@gmail.com: Boa tarde! (a) Ax=b| 1 1 00 | |a|| r| |10100 | |b| |s| | 1 1 00 | |c| = |t | | 1 1 00 | |a| | r | Trabalhando a matriz A sem alterar seu posto, 2a = 1a - 2a; 3a = -3a + 1a -2a; 4a = 4a - 2a + 2 . 3a teremos a matriz A' | 1 1 0 0 | | 0 1 -1 0 | ! 0 0 0 -1 | | 0 0 0 -2 | | 0 1 0 1 | | 0 0 1 1 | è fácil perceber que as 4 primeiras linhas são linearmente idenpendentes, logo posto (A) = 4 == dim(Im(f)) = 4 f: V -- W == dim (V) = dim (N) + dim (Im(f)) 4 = din(N) + 4 == dim (N) = 0; logo ou só há uma solução ou é impossível. Mas como há a solução, que seria a escolha do jogador A. O sistema tem solção única. R; Não é possível o jogador escolher quatro números que tornem impossível o jogador B ganhar. Fazendo o item 2, também é facil mostrar que o posto da matriz A seria 5 e novamente a resposta é a mesma. Em 17 de outubro de 2014 09:08, benedito bened...@ufrnet.br escreveu: *Problema para o Nível I - (De uma lista de problemas para treinamento da OMA)* (a)Dois jogadores, A e B, disputam o seguinte jogo: · O jogador A escolhe 4 números naturais distintos e escreve num papel todas as somas de dois desses números (são 6 números) · O jogador B ganha se encontra os 4 números escolhidos por A; caso contrário, ganha o jogador A. O jogador A pode escolher os 4 números para que seja impossível B ganhar? (b) No mesmo jogo descrito em (a), mas agora o jogador A escolhe 5 números naturais distintos e escreve as 10 somas de dois dos números. Novamente, determinar se o jogador A pode escolher os 5 números para que seja impossível o jogador B ganhar. -- http://www.avast.com/ Este email está limpo de vírus e malwares porque a proteção do avast! Antivírus http://www.avast.com/ está ativa. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Problema de Álgebra
Boa tarde, Não consigo resolver o seguinte problema, alguém poderia me ajudar? Sejam a,b e c números inteiros tais que a+b+c=0. Prove que a^4+b^4+c^4 é o dobro de um quadrado perfeito. Obrigada! -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Problema Legal
Boa tarde! Esqueci-me do caso com 5 números. Mas o Ralph já complementou. Saudações, PJMS Em 20 de outubro de 2014 17:04, Ralph Teixeira ralp...@gmail.com escreveu: E a ideia do Pedro também resolve o caso de 5 números distintos abcde, com suas somas, que na ordem têm de ser: (s1=a+b) (s2=a+c) (s3=?+?) = (s4=?+?) =... = (s8=?+?) (s9=c+e) (s10=d+e). i) Somando tudo, temos s1+s2+...+s10=4(a+b+c+d+e), e portanto tiramos S=a+b+c+d+e. ii) Subtraindo de S os termos s1 e s10, achamos c. iii) Subtraindo de S os termos s2 e s10, achamos b. iv) Subtraindo de S os termos s1 e s9, achamos d. v) Enfim, a=s1-b e e=s10-d. Quer resumido? Ok, usarei um produto interno com o vetor w=(s1,s2,...,s10): a=(3,3,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,3).w/4 b=(1,-3,1,1,1,1,1,1,1,-3).w/4 c=(-3,1,1,1,1,1,1,1,1,-3).w/4 d=(-3,1,1,1,1,1,1,1,-3,1).w/4 e=(3,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,3,3).w/4 Mas acho que eles não queriam escrito assim. :) Abraço, Ralph. 2014-10-20 16:42 GMT-02:00 Pedro José petroc...@gmail.com: Boa tarde! Não havia me apercebido, mas por sorte não muda nada. Pois, como os números são distintos, se ordenarmo-los, a b c d e as somas s1 s2 s3 = s4 s5 s6. Como os números são distintos a + b = s1, a + c = s2, b+d = s5 e c + d = s6. logo poderemos formar um sistema: Ax = b onde A é a matriz abaixo. | 1 1 0 0 | | 1 0 1 0 | | 0 1 0 1 | | 0 0 1 1 | e bT = [ s1,s2,s5,s6] que pode facilmente ser transformada na matriz | 1 1 0 0 | | 0 1 -1 0 | | 0 0 1 -1 | | 0 0 0 2 | Como posto de A = 4 e dim (v) = 4 == din (N) = 0 == não existe solução ou a solução é única. Mas novamente como existe pelo menos uma solução a escolhida por A, a solução é única. R; Não é possível o jogador escolher quatro números que tornem impossível o jogador B ganhar. Saudações, PJMS. Em 20 de outubro de 2014 14:56, Ralph Teixeira ralp...@gmail.com escreveu: Hmmm... mas cuidado: o problema não parece informar que somas correspondem a que combinações das variáveis, então tem um pouco mais do que um sistema de equações aí. Então o problema agora é o seguinte: seja s=(s1, s2, s3, ..., s6) o vetor de somas do lado direito do seu sistema. Você consegue mostrar que, ao permutar as somas, não aparecem soluções novas? Ou seja, que permutações dessas 6 somas levam a permutações da solução antiga OU a um sistema impossível? Abraço, Ralph 2014-10-20 9:16 GMT-02:00 Pedro José petroc...@gmail.com: Boa tarde! (a) Ax=b| 1 1 00 | |a|| r| |10100 | |b| |s| | 1 1 00 | |c| = |t | | 1 1 00 | |a| | r | Trabalhando a matriz A sem alterar seu posto, 2a = 1a - 2a; 3a = -3a + 1a -2a; 4a = 4a - 2a + 2 . 3a teremos a matriz A' | 1 1 0 0 | | 0 1 -1 0 | ! 0 0 0 -1 | | 0 0 0 -2 | | 0 1 0 1 | | 0 0 1 1 | è fácil perceber que as 4 primeiras linhas são linearmente idenpendentes, logo posto (A) = 4 == dim(Im(f)) = 4 f: V -- W == dim (V) = dim (N) + dim (Im(f)) 4 = din(N) + 4 == dim (N) = 0; logo ou só há uma solução ou é impossível. Mas como há a solução, que seria a escolha do jogador A. O sistema tem solção única. R; Não é possível o jogador escolher quatro números que tornem impossível o jogador B ganhar. Fazendo o item 2, também é facil mostrar que o posto da matriz A seria 5 e novamente a resposta é a mesma. Em 17 de outubro de 2014 09:08, benedito bened...@ufrnet.br escreveu: *Problema para o Nível I - (De uma lista de problemas para treinamento da OMA)* (a)Dois jogadores, A e B, disputam o seguinte jogo: · O jogador A escolhe 4 números naturais distintos e escreve num papel todas as somas de dois desses números (são 6 números) · O jogador B ganha se encontra os 4 números escolhidos por A; caso contrário, ganha o jogador A. O jogador A pode escolher os 4 números para que seja impossível B ganhar? (b) No mesmo jogo descrito em (a), mas agora o jogador A escolhe 5 números naturais distintos e escreve as 10 somas de dois dos números. Novamente, determinar se o jogador A pode escolher os 5 números para que seja impossível o jogador B ganhar. -- http://www.avast.com/ Este email está limpo de vírus e malwares porque a proteção do avast! Antivírus http://www.avast.com/ está ativa. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
[obm-l] Re: [obm-l] Problema de Álgebra
Oi Mariana, Observe que c =-(a+b) e levando na expressão original teremos : a^4+b^4 + c^4 = a^4+b^4+(a+b)^4. Desenvolvendo esta expressão , teremos como resultado : 2(a^4+b^4+2a^3b+3a^2b^2+2ab^3) = 2(a^2+b^2+ab)^2, ok ? Abraços Pacini Em 20 de outubro de 2014 17:41, Mariana Groff bigolingroff.mari...@gmail.com escreveu: Boa tarde, Não consigo resolver o seguinte problema, alguém poderia me ajudar? Sejam a,b e c números inteiros tais que a+b+c=0. Prove que a^4+b^4+c^4 é o dobro de um quadrado perfeito. Obrigada! -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Problema de Álgebra
Entendi, Muito obrigada! Em 20 de outubro de 2014 18:12, Pacini Bores pacini.bo...@globo.com escreveu: Oi Mariana, Observe que c =-(a+b) e levando na expressão original teremos : a^4+b^4 + c^4 = a^4+b^4+(a+b)^4. Desenvolvendo esta expressão , teremos como resultado : 2(a^4+b^4+2a^3b+3a^2b^2+2ab^3) = 2(a^2+b^2+ab)^2, ok ? Abraços Pacini Em 20 de outubro de 2014 17:41, Mariana Groff bigolingroff.mari...@gmail.com escreveu: Boa tarde, Não consigo resolver o seguinte problema, alguém poderia me ajudar? Sejam a,b e c números inteiros tais que a+b+c=0. Prove que a^4+b^4+c^4 é o dobro de um quadrado perfeito. Obrigada! -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
