E a ideia do Pedro também resolve o caso de 5 números distintos a<b<c<d<e, com suas somas, que na ordem têm de ser: (s1=a+b) < (s2=a+c) < (s3=?+?) <= (s4=?+?) <=... <= (s8=?+?) < (s9=c+e) < (s10=d+e).
i) Somando tudo, temos s1+s2+...+s10=4(a+b+c+d+e), e portanto tiramos S=a+b+c+d+e. ii) Subtraindo de S os termos s1 e s10, achamos c. iii) Subtraindo de S os termos s2 e s10, achamos b. iv) Subtraindo de S os termos s1 e s9, achamos d. v) Enfim, a=s1-b e e=s10-d. Quer resumido? Ok, usarei um produto interno com o vetor w=(s1,s2,...,s10): a=(3,3,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,3).w/4 b=(1,-3,1,1,1,1,1,1,1,-3).w/4 c=(-3,1,1,1,1,1,1,1,1,-3).w/4 d=(-3,1,1,1,1,1,1,1,-3,1).w/4 e=(3,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,3,3).w/4 Mas acho que eles não queriam escrito assim. :) Abraço, Ralph. 2014-10-20 16:42 GMT-02:00 Pedro José <petroc...@gmail.com>: > Boa tarde! > > Não havia me apercebido, mas por sorte não muda nada. > > Pois, como os números são distintos, se ordenarmo-los, a > b > c >d e as > somas s1 > s2 > s3 >= s4 > s5 > s6. > > Como os números são distintos a + b = s1, a + c = s2, b+d = s5 e c + d = > s6. > > logo poderemos formar um sistema: Ax = b onde A é a matriz abaixo. > | 1 1 0 0 | > | 1 0 1 0 | > | 0 1 0 1 | > | 0 0 1 1 | > > e bT = [ s1,s2,s5,s6] > > que pode facilmente ser transformada na matriz > > | 1 1 0 0 | > | 0 1 -1 0 | > | 0 0 1 -1 | > | 0 0 0 2 | > > Como posto de A = 4 e dim (v) = 4 ==> din (N) = 0 ==> não existe solução > ou a solução é única. Mas novamente como existe pelo menos uma solução a > escolhida por A, a solução é única. > > R; Não é possível o jogador escolher quatro números que tornem impossível > o jogador B ganhar. > > > Saudações, > PJMS. > > > > Em 20 de outubro de 2014 14:56, Ralph Teixeira <ralp...@gmail.com> > escreveu: > > Hmmm... mas cuidado: o problema não parece informar que somas correspondem >> a que combinações das variáveis, então tem um pouco mais do que um sistema >> de equações aí. >> >> Então o problema agora é o seguinte: seja s=(s1, s2, s3, ..., s6) o vetor >> de somas do lado direito do seu sistema. Você consegue mostrar que, ao >> permutar as somas, não aparecem soluções novas? Ou seja, que permutações >> dessas 6 somas levam a permutações da solução antiga OU a um sistema >> impossível? >> >> Abraço, >> Ralph >> >> 2014-10-20 9:16 GMT-02:00 Pedro José <petroc...@gmail.com>: >> >> Boa tarde! >>> >>> (a) Ax=b | 1 1 00 | |a| | r| >>> |10100 | |b| |s| >>> | 1 1 00 | |c| = |t | >>> | 1 1 00 | |a| | r | >>> >>> >>> Trabalhando a matriz A sem alterar seu posto, 2a = 1a - 2a; 3a = -3a + >>> 1a -2a; 4a = 4a - 2a + 2 . 3a teremos a matriz A' >>> >>> | 1 1 0 0 | >>> | 0 1 -1 0 | >>> ! 0 0 0 -1 | >>> | 0 0 0 -2 | >>> | 0 1 0 1 | >>> | 0 0 1 1 | >>> >>> è fácil perceber que as 4 primeiras linhas são linearmente >>> idenpendentes, logo posto (A) = 4 ==> dim(Im(f)) = 4 >>> >>> f: V --> W ==> dim (V) = dim (N) + dim (Im(f)) 4 = din(N) + 4 ==> dim >>> (N) = 0; logo ou só há uma solução ou é impossível. >>> Mas como há a solução, que seria a escolha do jogador A. O sistema tem >>> solção única. >>> >>> R; Não é possível o jogador escolher quatro números que tornem >>> impossível o jogador B ganhar. >>> >>> Fazendo o item 2, também é facil mostrar que o posto da matriz A seria 5 >>> e novamente a resposta é a mesma. >>> >>> >>> >>> Em 17 de outubro de 2014 09:08, benedito <bened...@ufrnet.br> escreveu: >>> >>>> *Problema para o Nível I - (De uma lista de problemas para >>>> treinamento da OMA)* >>>> >>>> (a) Dois jogadores, A e B, disputam o seguinte jogo: >>>> >>>> · O jogador A escolhe 4 números naturais distintos e escreve >>>> num papel todas as somas de dois desses números (são 6 números) >>>> >>>> · O jogador B ganha se encontra os 4 números escolhidos por A; >>>> caso contrário, ganha o jogador A. >>>> >>>> O jogador A pode escolher os 4 números para que seja impossível B >>>> ganhar? >>>> >>>> (b) No mesmo jogo descrito em (a), mas agora o jogador A escolhe 5 >>>> números naturais distintos e escreve as 10 somas de dois dos números. >>>> Novamente, determinar se o jogador A pode escolher os 5 números para que >>>> seja impossível o jogador B ganhar. >>>> >>>> >>>> >>>> >>>> ------------------------------ >>>> <http://www.avast.com/> >>>> >>>> Este email está limpo de vírus e malwares porque a proteção do avast! >>>> Antivírus <http://www.avast.com/> está ativa. >>>> >>>> >>>> -- >>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>> acredita-se estar livre de perigo. >>>> >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
