O Bernardo deu uma excelente sugestão. Vou explorar esta linha com algumas
variantes. Vamos admtir conhecido que a série definindo zeta para Re(z) 1
converge (na realidade, converge absolutamente). Salvo menção em contrário,
valores de z e convergências referem-se ao semiplano {z | Re(z) 1}, nosso
conjunto universo.
Para k = 1, 2, 3... sejam f_k(z) = k^(-z) e, para m = 1, 2, 3... , seja s_m a
m-gésima soma parcial das f_k. Então, as funções f_k e, portanto, as s_m, são
holomorfas e (s_m) converge para Z.
Definindo Z[0] = Z, vemos que afirmação dada vale para n = 0, pela própria
definição de Z (como ln(1) = 0, na sua fórmula não faz diferença começar a
série em 2 ou em 1. Vamos começar em 1, para facilitar).
Suponhamos que a fórmula dada valha para n = j. Para cada k, temos que
f_k[j](z) = (-ln(k))^j k^(-z) e, portanto, |f_k[j](z)| = (ln(k)^j |k^(-z)| =
(ln(k)^j k^(Re(-z)) = (ln(k)^j k^(-Re(z). Assim, para todo k, a funcão real
definida no nosso semiplano por z -- |f_k[j](z)| decresce estritamente com
Re(z).
Seja K um subconjunto compacto não vazio de nosso semiplano. Como a função z
-- Re(z) é contínua, apresenta um mímimo absoluto em algum z* de K (como
Re(z*) 1, z* não é nulo). Assim, em z*, todas as funções |f_k[j] apresentam
um máximo global M_k = ln(k)^j k^(-Re(z*)). Temos portanto que
|f_k[j](z)| = M_para todo k e todo z de K
Como Re(z*) é um real em nosso semiplano, a série Soma (k = 1, oo) converge,
pela hipótese indutiva, para Z[j](Re(z*)). Assim, em virtude das desigualdades
acima, o Teste M de Weierstrass nos mostra que a série de funções Soma (k = 1,
oo) f_k[j] converge uniformemente en K (para Z[j], pela hipótese indutiva). Em
virtude da definição das funções s_m acima, isto é o mesmo que dizer que a
sequência de somas parciais (s_m[j]) converge uniformemente em K para Z[j].
Vemos assim que, em todo subconjunto compacto de nosso plano, a convergência
(s_m[j]) -- Z[j] é uniforme. Como as funções s_m[j] são holomorfas (derivadas
de holomorfas são holomorfas), segue-se de um teorema da Análise Complexa que,
em todo compacto de nosso semiplano, a sequência (s_m[j]') = (s_m[j + 1])
converge uniformemente para Z[j]' = Z[j + 1]. Isto valida sua fórmula para n =
j + 1 em subconjuntos compactos de nosso semiplano.
Mas como todo z do semiplano pertence a algum subconjunto compacto do mesmo, a
sua fórmula fica automaticamente validada para n = j + 1 em todo o semiplano
com Re(z) 1. Isto completa a indução e mostra que, de fato, para todo e todo
z com Re(z) 1,
Z[n](z) = Soma (k = 1, oo) (ln(k)^n k^(-z)
Para n = 0, temos a própria Z. Para n = 1, podemos começar a série em 2.
Veja que, embora uniforme em conjuntos compactos, a convergência da série não é
uniforme na totalidade do semiplano.
A função Zeta é também dada por uma integral que envolve a função Gama. Esta
representação vale em todo o C perfurado em 1, pois Zeta tem um polo em 1.
Talvez seja possível deduzir sua fórmula com base nisso, mas me parece que vai
ser bem mais difícil. Enfim, não sei. Na matemática , às vezes acontece de se
achar que algo é extremamente complicado e alguém aparece com uma solução
simplíssima, tipo ovo de Colombo. Outras vezes, acha-se que algo é muito
simples, vai-se fazer e caj-se num tremendo embrólio.
Esta é minha contribuição. Me avisem se houver algum erro.
Abraços
Artur
Artur Costa Steiner
Em 27/11/2014, às 17:38, Bernardo Freitas Paulo da Costa
bernardo...@gmail.com escreveu:
2014-11-27 15:44 GMT-02:00 Amanda Merryl sc...@hotmail.com:
Oi amigos.
A função zeta é definida para complexos com Re(z) 1 pela série Z(z) =
Soma(k = 1, oo) k^(-z). Embora isto não seja uma série de potências, acho
que podemos derivar termo a termo indefinidamente,
Não é uma série de potências, mas é uma série de funções. Reveja os
teoremas de convergência uniforme / normal para séries de funções.
Funções de variável qualquer, claro, para aplicar no caso z
complexo. (Os teoremas que você viu num curso de análise real sobre
séries muitas vezes possuem análogos para mais variáveis, com a mesma
demonstração.)
de modo, que, se isto for válido, então, no semiplano Re(z) 1, a
ngésima derivada é
Z[n](z) = (-1)^n Soma(k = 2, oo) (ln k)^n k^(-z)
Eu acho que consegui provar isso no caso de z real. Usando indução e o
teste da integral, podemos mostrar que esta série converge para todo real z
1. E como a série primitiva converge, a fórmula acima vale para todo z
1. Mas vale de fato para todo complexo z com Re(z) 1. Se sim, como podemos
provar?
Se você estiver fazendo um curso de análise complexa, talvez valha a
pena fazer de outra forma: primeiro, você vai ter que provar que a
zeta é holomorfa. Em seguida, mostrar que a série da derivada n-ésima
também define uma função holomorfa. (Provavelmente, similar Ã
anterior.) Enfim, conclua que ambas coincidem na reta real, logo por
continuação
