[obm-l] prob
Olá bom dia mestres, poderiam ajudar com a seguinte questão? *Em uma urna existem bolas numeradas de 1 a 15. De quantas maneiras podemos retirar 3 bolas da urna, sendo que a soma delas não seja menor que 10?* *a) 312* *b) 449* *c) 455* *d) 412* *e) 378* -- Silas Gruta -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] prob
C15,3 - somaC(i+3-1,3) (i=6 a 9)=C15,3-C11,3-C(10,3)-C(9,3)-C(8,3) 2014-12-06 9:34 GMT-02:00 Silas Gruta silasgr...@gmail.com: Olá bom dia mestres, poderiam ajudar com a seguinte questão? *Em uma urna existem bolas numeradas de 1 a 15. De quantas maneiras podemos retirar 3 bolas da urna, sendo que a soma delas não seja menor que 10?* *a) 312* *b) 449* *c) 455* *d) 412* *e) 378* -- Silas Gruta -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Como provar?
Pessoal, consegui responder a questão supondo um z1 em particular da circunferência de raio 1 e centro na origem e determinando os demais. Mas como provar genericamente que são vértices de um triângulo equilátero? *Sejam três números complexos z1, z2 e z3 tal que* *z1 + z2 + z3 = 0* *|z1| = |z2| = |z3| = 1* *Então, geometricamente, temos:* *A) Uma reta;* *xB) Um triângulo equilátero;* *C) Um triângulo retângulo;* *D) Um único ponto;* *E) Nenhuma das alternativas anteriores.* -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Como provar?
Os 3 complexos estão sobre a circunferência unitária de centro na origem. Através de uma mesma rotação em cada um dos vetores correspondentes aos mesmos, podemos fazer com que um deles coincida com o real 1. Como os novos complexos continuam na circunferência unitária e as distância entre eles permanecem iguais às distâncias entre os complexos originais, podemos admitir, sem perda de generalidade, que z3 = 1, que tem argumento nulo. Sendo a1 e a2 os argumentos de z1 e de z2, temos então que cos(a1) + cos(a2) = -1 sen(a1) + sen(a2) = 0 Da 2a equação, temos que a2 = -a2 ou que a2 = pi + a1. Mas como esta segunda opção zera o 1o membro da 1a equação, temos que a2 = -a1. Isto conduz a que cos(a1) = -1/2. Concluímos assim que ou a1 = 2pi/3 e a2 = -2pi/3 ou o contrário. Em ambos os casos, temos exatamente os mesmos complexos, só mudam seus índices. Assim, os vetores destes 3 complexos estão igualmente defasados de 2pi/3. Logo, os respectivos afixos formam um triângulo equilátero. Artur Costa Steiner Em 06/12/2014, às 14:38, Vanderlei Nemitz vanderma...@gmail.com escreveu: Pessoal, consegui responder a questão supondo um z1 em particular da circunferência de raio 1 e centro na origem e determinando os demais. Mas como provar genericamente que são vértices de um triângulo equilátero? Sejam três números complexos z1, z2 e z3 tal que z1 + z2 + z3 = 0 |z1| = |z2| = |z3| = 1 Então, geometricamente, temos: A) Uma reta; xB) Um triângulo equilátero; C) Um triângulo retângulo; D) Um único ponto; E) Nenhuma das alternativas anteriores. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Como provar?
Oi Vanderlei, Nessa circunferência que tomastes z1 , suponha um z2 e construa o paralelogramo formado por z1 e z2 ; observe que este é um losango em cuja uma das diagonais é a simétrica de z3 para que a soma dê zero. Conclua daí que o ângulo entre z1 e z2 é de 120 graus. Faça o mesmo para z1 e z3 , e depois para z2 e z3, ok ? Abraços Pacini Em 6 de dezembro de 2014 14:12, Vanderlei Nemitz vanderma...@gmail.com escreveu: Pessoal, consegui responder a questão supondo um z1 em particular da circunferência de raio 1 e centro na origem e determinando os demais. Mas como provar genericamente que são vértices de um triângulo equilátero? *Sejam três números complexos z1, z2 e z3 tal que* *z1 + z2 + z3 = 0* *|z1| = |z2| = |z3| = 1* *Então, geometricamente, temos:* *A) Uma reta;* *xB) Um triângulo equilátero;* *C) Um triângulo retângulo;* *D) Um único ponto;* *E) Nenhuma das alternativas anteriores.* -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Como provar?
Aliás, por um raciocínio similar, isto pode ser generalizado para n complexos. Seus afixos formam um n-ágono regular convexo. Artur Costa Steiner Em 06/12/2014, às 14:38, Vanderlei Nemitz vanderma...@gmail.com escreveu: Pessoal, consegui responder a questão supondo um z1 em particular da circunferência de raio 1 e centro na origem e determinando os demais. Mas como provar genericamente que são vértices de um triângulo equilátero? Sejam três números complexos z1, z2 e z3 tal que z1 + z2 + z3 = 0 |z1| = |z2| = |z3| = 1 Então, geometricamente, temos: A) Uma reta; xB) Um triângulo equilátero; C) Um triângulo retângulo; D) Um único ponto; E) Nenhuma das alternativas anteriores. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Como provar?
Somar complexos é completamente equivalente a somar vetores no plano. Soma nula de vetores equivale a um polígono (linha poligonal fechada). Se são 3, é um triângulo. Qual é o triângulo de lados congruentes? [], Leo. 2014-12-06 15:40 GMT-02:00 Artur Steiner artur_stei...@hotmail.com: Os 3 complexos estão sobre a circunferência unitária de centro na origem. Através de uma mesma rotação em cada um dos vetores correspondentes aos mesmos, podemos fazer com que um deles coincida com o real 1. Como os novos complexos continuam na circunferência unitária e as distância entre eles permanecem iguais às distâncias entre os complexos originais, podemos admitir, sem perda de generalidade, que z3 = 1, que tem argumento nulo. Sendo a1 e a2 os argumentos de z1 e de z2, temos então que cos(a1) + cos(a2) = -1 sen(a1) + sen(a2) = 0 Da 2a equação, temos que a2 = -a2 ou que a2 = pi + a1. Mas como esta segunda opção zera o 1o membro da 1a equação, temos que a2 = -a1. Isto conduz a que cos(a1) = -1/2. Concluímos assim que ou a1 = 2pi/3 e a2 = -2pi/3 ou o contrário. Em ambos os casos, temos exatamente os mesmos complexos, só mudam seus índices. Assim, os vetores destes 3 complexos estão igualmente defasados de 2pi/3. Logo, os respectivos afixos formam um triângulo equilátero. Artur Costa Steiner Em 06/12/2014, às 14:38, Vanderlei Nemitz vanderma...@gmail.com escreveu: Pessoal, consegui responder a questão supondo um z1 em particular da circunferência de raio 1 e centro na origem e determinando os demais. Mas como provar genericamente que são vértices de um triângulo equilátero? *Sejam três números complexos z1, z2 e z3 tal que* *z1 + z2 + z3 = 0* *|z1| = |z2| = |z3| = 1* *Então, geometricamente, temos:* *A) Uma reta;* *xB) Um triângulo equilátero;* *C) Um triângulo retângulo;* *D) Um único ponto;* *E) Nenhuma das alternativas anteriores.* -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Interessante...
Eu achei bem interessantes as abordagens da questão proposta pelo Vanderlei sobre complexos. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Como provar?
Hmmm, nao. Por exemplo, se n=4, poderiam ser vertices de um retangulo. 2014-12-06 15:50 GMT-02:00 Artur Steiner artur_stei...@hotmail.com: Aliás, por um raciocínio similar, isto pode ser generalizado para n complexos. Seus afixos formam um n-ágono regular convexo. Artur Costa Steiner Em 06/12/2014, às 14:38, Vanderlei Nemitz vanderma...@gmail.com escreveu: Pessoal, consegui responder a questão supondo um z1 em particular da circunferência de raio 1 e centro na origem e determinando os demais. Mas como provar genericamente que são vértices de um triângulo equilátero? *Sejam três números complexos z1, z2 e z3 tal que* *z1 + z2 + z3 = 0* *|z1| = |z2| = |z3| = 1* *Então, geometricamente, temos:* *A) Uma reta;* *xB) Um triângulo equilátero;* *C) Um triângulo retângulo;* *D) Um único ponto;* *E) Nenhuma das alternativas anteriores.* -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
