Ola' Mariana, Pedro e colegas da lista,
digamos que um segmento seja do tipo M ou m caso ele
seja,respectivamente, o maior lado ou o menor lado de algum triangulo.
Eventualmente um segmento pode ser simultaneamente dos 2 tipos, M e m,
(tipo M+m) e cuja existencia e' o que queremos demonstrar.
E vamos chamar de tipo x ao segmento que nao seja nem do tipo M e nem
do tipo m.
Sejam os 6 pontos 0,1,2,3,4,5.
Suponhamos (por absurdo) que nao haja qualquer segmento do tipo M+m.
Consideremos o ponto 0, por exemplo, de onde partem 5 segmentos.
Podemos fazer algumas afirmacoes:
1) Suponhamos que 2 dos segmentos, 01 e 02 por exemplo, fossem do tipo x.
Entao, no triangulo 012, o lado 12 teria que ser o menor e tambem o maior
entre os 3 lados, o que e' absurdo.
Logo, partindo de um mesmo ponto, tem que haver menos que 2 segmentos do
tipo x.
_
2) Suponhamos que 3 dos segmentos, 01, 02 e 03, por exemplo, fossem somente
do tipo M.
Entao, podemos afirmar que
o triangulo 012 tem o lado 12 do tipo m.
o triangulo 013 tem o lado 13 do tipo m.
o triangulo 023 tem o lado 23 do tipo m.
Acontece que o triangulo formado por 123 (lados 12,13,23) tem que ter um
lado do tipo M, fazendo com que um desses segmentos seja do tipo M+m, o
que seria uma contradicao ('a nossa hipotese inicial de nao haver segmento
desse tipo).
Logo, partindo de um mesmo ponto, tem que haver menos que 3 segmentos do
tipo M.
Similarmente, partindo de um mesmo ponto, tem que haver menos que 3
segmentos do tipo m.
_
3) Portanto, com as duas conclusoes anteriores, vemos que partindo de um
mesmo ponto tem que haver exatamente um segmento do tipo x , dois
segmentos do tipo M , e dois segmentos do tipo m.
Assim, considerando os 5 segmentos que partem do ponto 0, seja o segmento
01 do tipo x , 02 e 03 do tipo M , 04 e 05 do tipo m.
Entao, o lado 12 do triangulo 012 tem que ser do tipo m , pois 01 e' do
tipo x e 03 e' do tipo M.
Da mesma forma, o lado 13 do triangulo 013 tem que ser do tipo m , pois
01 e' do tipo x e 02 e' do tipo M.
E o lado 23 do triangulo 023 tem que ser do tipo m , pois 02 e 03 sao do
tipo M.
Portanto, o triangulo 123 e' formado por segmentos do tipo m.
Como um deles e' o maior dos tres, entao esse segmento tambem e' do tipo
M, ou seja, e' do tipo M+m , o que e' uma contradicao 'a hipotese
inicial (de que nao haveria segmentos M+m).
Logo, nossa hipotese inicial e' falsa, e portanto existe algum segmento que
e' simultaneamente o maior lado de algum triangulo e o menor lado de algum
triangulo.
[]'s
Rogerio Ponce
2015-05-08 20:25 GMT-03:00 Mariana Groff bigolingroff.mari...@gmail.com:
Boa Noite,
Alguém poderia ajudar-me no seguinte problema:
Temos seis pontos de maneira que não haja três pontos colineares e que os
comprimentos dos segmentos determinados por estes pontos sejam todos
distintos. Consideramos todos os triângulos que têm seus vértices nesses
pontos. Demonstre que um dos segmentos é, ao mesmo tempo, o menor lado de
um desses triângulos e o maior lado de outro.
Obrigada,
Mariana
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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
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