Ola' Mariana, Pedro e colegas da lista,
digamos que um segmento seja do tipo "M" ou "m" caso ele
seja,respectivamente, o maior lado ou o menor lado de algum triangulo.
Eventualmente um segmento pode ser simultaneamente dos 2 tipos, "M" e "m",
(tipo "M+m") e cuja existencia e' o que queremos demonstrar.
E vamos chamar de tipo "x" ao segmento que nao seja nem do tipo "M" e nem
do tipo "m".
Sejam os 6 pontos 0,1,2,3,4,5.
Suponhamos (por absurdo) que nao haja qualquer segmento do tipo "M+m".
Consideremos o ponto "0", por exemplo, de onde partem 5 segmentos.
Podemos fazer algumas afirmacoes:
1) Suponhamos que 2 dos segmentos, 01 e 02 por exemplo, fossem do tipo "x".
Entao, no triangulo 012, o lado 12 teria que ser o menor e tambem o maior
entre os 3 lados, o que e' absurdo.
Logo, partindo de um mesmo ponto, tem que haver menos que 2 segmentos do
tipo "x".
_____
2) Suponhamos que 3 dos segmentos, 01, 02 e 03, por exemplo, fossem somente
do tipo "M".
Entao, podemos afirmar que
o triangulo 012 tem o lado 12 do tipo "m".
o triangulo 013 tem o lado 13 do tipo "m".
o triangulo 023 tem o lado 23 do tipo "m".
Acontece que o triangulo formado por 123 (lados 12,13,23) tem que ter um
lado do tipo "M", fazendo com que um desses segmentos seja do tipo "M+m", o
que seria uma contradicao ('a nossa hipotese inicial de nao haver segmento
desse tipo).
Logo, partindo de um mesmo ponto, tem que haver menos que 3 segmentos do
tipo "M".
Similarmente, partindo de um mesmo ponto, tem que haver menos que 3
segmentos do tipo "m".
_____
3) Portanto, com as duas conclusoes anteriores, vemos que partindo de um
mesmo ponto tem que haver exatamente um segmento do tipo "x" , dois
segmentos do tipo "M" , e dois segmentos do tipo "m".
Assim, considerando os 5 segmentos que partem do ponto "0", seja o segmento
01 do tipo "x" , 02 e 03 do tipo "M" , 04 e 05 do tipo "m".
Entao, o lado 12 do triangulo 012 tem que ser do tipo "m" , pois 01 e' do
tipo "x" e 03 e' do tipo "M".
Da mesma forma, o lado 13 do triangulo 013 tem que ser do tipo "m" , pois
01 e' do tipo "x" e 02 e' do tipo "M".
E o lado 23 do triangulo 023 tem que ser do tipo "m" , pois 02 e 03 sao do
tipo "M".
Portanto, o triangulo 123 e' formado por segmentos do tipo "m".
Como um deles e' o maior dos tres, entao esse segmento tambem e' do tipo
"M", ou seja, e' do tipo "M+m" , o que e' uma contradicao 'a hipotese
inicial (de que nao haveria segmentos "M+m").
Logo, nossa hipotese inicial e' falsa, e portanto existe algum segmento que
e' simultaneamente o maior lado de algum triangulo e o menor lado de algum
triangulo.
[]'s
Rogerio Ponce
2015-05-08 20:25 GMT-03:00 Mariana Groff <bigolingroff.mari...@gmail.com>:
> Boa Noite,
> Alguém poderia ajudar-me no seguinte problema:
> Temos seis pontos de maneira que não haja três pontos colineares e que os
> comprimentos dos segmentos determinados por estes pontos sejam todos
> distintos. Consideramos todos os triângulos que têm seus vértices nesses
> pontos. Demonstre que um dos segmentos é, ao mesmo tempo, o menor lado de
> um desses triângulos e o maior lado de outro.
> Obrigada,
> Mariana
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
