[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Questão de Cardinalidade

[Anderson Torres]

Eu na verdade pensei ao contrário:

Começamos com o conjunto de todos os subconjuntos de N. Cada conjunto
será representado por uma string infinita de zeros e unzes, da
seguinte forma: Se o conjunto contiver o natural x, o x-ésimo
caractere desta string será 1; caso contrário, será 0.

Botando zero-vírgula na frente, obtemos um número real escrito em base
2, contido no intervalo [0,1] (para efeito de completude do argumento,
admitiremos strings infinitas de 1zes).

Para cada real em [0,1], bastaria escrever na base 2 e criar um
conjunto a partir daí, seguindo os passos acima (se o X-esimo dígito é
1, escolhe X, caso contrário, despreza X).

Isso prova que existe uma bijeção entre o conjunto das partes de N e o
intervalo [0,1].

Agora, provar que [0,1] tem a mesma cardinalidade que R é mais
chatinho. Dá para pensar geometricamente:

Primeiro, [0,1] tem a mesma cardinalidade de [-1,+1], basta dobrar e
tirar 1 (f(x)=2x-1).

Agora, como demonstrar que [-1,+1] bijeta com todos os reais? Bem,
isso não me parece complicado: se pensarmos na inversão de centro zero
e raio um, o elemento X<1 vai ser levado em 1/X>1. Assim, todo número
fora de [-1,+1] é bijetado com um dentro de [-1,+1] - podemos
convencionar que -1,0,+1 vão neles mesmos.

Para sermos mais precisos, o intervalo [0,1] é bijetado em [1,+inf], e
o intervalo [-1,0] em [-inf,-1]

Agora vem o toque final: acrescente 1 em cada elemento do intervalo
[-inf,-1], diminua 1 em cada elemento de [1,+inf] e una os resultados.
Com isso, obtemos uma bijeção de [-inf,-1] união [1,+inf] com toda a
reta!

E acabou!
Em 15 de janeiro de 2018 17:11, Igor Caetano Diniz
 escreveu:
> Olá Sávio,
> Muito obrigado. Tava pensando em algo parecido mas agora voce esclareceu
> bastante.
> Abraços
>
> On Jan 15, 2018 16:55, "Sávio Ribas"  wrote:
>>
>> Boa tarde!
>> A primeira parte servirá para mostrar que a cardinalidade de IR é igual à
>> cardinalidade de [0,1].
>> Não é difícil mostrar que a reta tem a mesma cardinalidade que, por
>> exemplo, o intervalo (-1,1) -- basta tomar a bijeção f: (-1,1) -> IR dada
>> por f(x) = tg(pi*x/2).
>> O passo seguinte seria mostrar que (-1,1) tem a mesma cardinalidade que o
>> intervalo (fechado) [0,1], e para isso vamos tomar a bijeção g: (0,1) ->
>> (-1,1) dada por g(x) = 2x-1. Mas note que "faltam o pontos 0 e 1" no domínio
>> de g. Vamos acrescentar esses pontos, tomando um conjunto enumerável A =
>> {a_1, a_2, a_3,...} contido em (0,1) e fazendo o seguinte: Seja B = {0, 1,
>> a_1, a_2, a_3, ...}. A função h: (0,1) -> [0,1] dada por h(x) = x se x não
>> está em A, h(a_1) = 0, h(a_2) = 1, h(a_n) = a_{n-2} se n>2 é uma bijeção
>> (verifique).
>> Assim, a função [ h o g^(-1) o f^(-1) ]: IR -> [0,1] é uma bijeção. Daí,
>> concluímos que IR e [0,1] possuem a mesma cardinalidade.
>>
>> Vamos agora mostrar que as cardinalidades de [0,1] e IN são iguais. Seja
>> 0,b_1b_2b_3... a representação binária de um número em [0,1] com infinitas
>> casas (por exemplo, 1 será representado por 0,1...). Essa escrita
>> binária dos elementos de [0,1] gera uma bijeção com as partes de IN da
>> seguinte forma: k perntence a um subconjunto M dos naturais se e somente se
>> b_k = 1 (por exemplo, o vazio corresponde ao 0 = 0,..., IN corresponde
>> ao 1 = 0,... e {2,3,5,7} corresponde a 0,01101010...). Dessa forma,
>> construímos uma bijeção entre P(IN) e [0,1].
>>
>> Concluímos que P(IN) e IR possuem mesma cardinalidade, pois ambos estão em
>> bijeção com [0,1].
>>
>> Sávio
>>
>>
>> Em 15 de jan de 2018 13:43, "Igor Caetano Diniz" 
>> escreveu:
>>>
>>> Olá a todos, estou com uma dúvida para provar uma questão(Sem usar
>>> hipótese do contínuo)
>>>
>>> Prove que a cardinalidade do conjunto das partes dos números naturais é
>>> igual à cardinalidade dos reais, i.e., |P(N)| = |R|
>>>
>>>
>>> quem puder ajudar, agradeço.
>>>
>>> Abraços
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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Enviado do Yahoo Mail para iPhone
 
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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Questão de Cardinalidade

[Igor Caetano Diniz]

Olá Sávio,
Muito obrigado. Tava pensando em algo parecido mas agora voce esclareceu
bastante.
Abraços

On Jan 15, 2018 16:55, "Sávio Ribas"  wrote:

> Boa tarde!
> A primeira parte servirá para mostrar que a cardinalidade de IR é igual à
> cardinalidade de [0,1].
> Não é difícil mostrar que a reta tem a mesma cardinalidade que, por
> exemplo, o intervalo (-1,1) -- basta tomar a bijeção f: (-1,1) -> IR dada
> por f(x) = tg(pi*x/2).
> O passo seguinte seria mostrar que (-1,1) tem a mesma cardinalidade que o
> intervalo (fechado) [0,1], e para isso vamos tomar a bijeção g: (0,1) ->
> (-1,1) dada por g(x) = 2x-1. Mas note que "faltam o pontos 0 e 1" no
> domínio de g. Vamos acrescentar esses pontos, tomando um conjunto
> enumerável A = {a_1, a_2, a_3,...} contido em (0,1) e fazendo o seguinte:
> Seja B = {0, 1, a_1, a_2, a_3, ...}. A função h: (0,1) -> [0,1] dada por
> h(x) = x se x não está em A, h(a_1) = 0, h(a_2) = 1, h(a_n) = a_{n-2} se
> n>2 é uma bijeção (verifique).
> Assim, a função [ h o g^(-1) o f^(-1) ]: IR -> [0,1] é uma bijeção. Daí,
> concluímos que IR e [0,1] possuem a mesma cardinalidade.
>
> Vamos agora mostrar que as cardinalidades de [0,1] e IN são iguais. Seja
> 0,b_1b_2b_3... a representação binária de um número em [0,1] com infinitas
> casas (por exemplo, 1 será representado por 0,1...). Essa escrita
> binária dos elementos de [0,1] gera uma bijeção com as partes de IN da
> seguinte forma: k perntence a um subconjunto M dos naturais se e somente se
> b_k = 1 (por exemplo, o vazio corresponde ao 0 = 0,..., IN corresponde
> ao 1 = 0,... e {2,3,5,7} corresponde a 0,01101010...). Dessa forma,
> construímos uma bijeção entre P(IN) e [0,1].
>
> Concluímos que P(IN) e IR possuem mesma cardinalidade, pois ambos estão em
> bijeção com [0,1].
>
> Sávio
>
>
> Em 15 de jan de 2018 13:43, "Igor Caetano Diniz" 
> escreveu:
>
>> Olá a todos, estou com uma dúvida para provar uma questão(Sem usar
>> hipótese do contínuo)
>>
>> Prove que a cardinalidade do conjunto das partes dos números naturais é
>> igual à cardinalidade dos reais, i.e., |P(N)| = |R|
>>
>>
>> quem puder ajudar, agradeço.
>>
>> Abraços
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Questão de Cardinalidade

[Sávio Ribas]

Boa tarde!
A primeira parte servirá para mostrar que a cardinalidade de IR é igual à
cardinalidade de [0,1].
Não é difícil mostrar que a reta tem a mesma cardinalidade que, por
exemplo, o intervalo (-1,1) -- basta tomar a bijeção f: (-1,1) -> IR dada
por f(x) = tg(pi*x/2).
O passo seguinte seria mostrar que (-1,1) tem a mesma cardinalidade que o
intervalo (fechado) [0,1], e para isso vamos tomar a bijeção g: (0,1) ->
(-1,1) dada por g(x) = 2x-1. Mas note que "faltam o pontos 0 e 1" no
domínio de g. Vamos acrescentar esses pontos, tomando um conjunto
enumerável A = {a_1, a_2, a_3,...} contido em (0,1) e fazendo o seguinte:
Seja B = {0, 1, a_1, a_2, a_3, ...}. A função h: (0,1) -> [0,1] dada por
h(x) = x se x não está em A, h(a_1) = 0, h(a_2) = 1, h(a_n) = a_{n-2} se
n>2 é uma bijeção (verifique).
Assim, a função [ h o g^(-1) o f^(-1) ]: IR -> [0,1] é uma bijeção. Daí,
concluímos que IR e [0,1] possuem a mesma cardinalidade.

Vamos agora mostrar que as cardinalidades de [0,1] e IN são iguais. Seja
0,b_1b_2b_3... a representação binária de um número em [0,1] com infinitas
casas (por exemplo, 1 será representado por 0,1...). Essa escrita
binária dos elementos de [0,1] gera uma bijeção com as partes de IN da
seguinte forma: k perntence a um subconjunto M dos naturais se e somente se
b_k = 1 (por exemplo, o vazio corresponde ao 0 = 0,..., IN corresponde
ao 1 = 0,... e {2,3,5,7} corresponde a 0,01101010...). Dessa forma,
construímos uma bijeção entre P(IN) e [0,1].

Concluímos que P(IN) e IR possuem mesma cardinalidade, pois ambos estão em
bijeção com [0,1].

Sávio


Em 15 de jan de 2018 13:43, "Igor Caetano Diniz" 
escreveu:

> Olá a todos, estou com uma dúvida para provar uma questão(Sem usar
> hipótese do contínuo)
>
> Prove que a cardinalidade do conjunto das partes dos números naturais é
> igual à cardinalidade dos reais, i.e., |P(N)| = |R|
>
>
> quem puder ajudar, agradeço.
>
> Abraços
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Questão de Cardinalidade

[Igor Caetano Diniz]

Olá a todos, estou com uma dúvida para provar uma questão(Sem usar hipótese
do contínuo)

Prove que a cardinalidade do conjunto das partes dos números naturais é
igual à cardinalidade dos reais, i.e., |P(N)| = |R|


quem puder ajudar, agradeço.

Abraços

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
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