Boa tarde!
A primeira parte servirá para mostrar que a cardinalidade de IR é igual à
cardinalidade de [0,1].
Não é difícil mostrar que a reta tem a mesma cardinalidade que, por
exemplo, o intervalo (-1,1) -- basta tomar a bijeção f: (-1,1) -> IR dada
por f(x) = tg(pi*x/2).
O passo seguinte seria mostrar que (-1,1) tem a mesma cardinalidade que o
intervalo (fechado) [0,1], e para isso vamos tomar a bijeção g: (0,1) ->
(-1,1) dada por g(x) = 2x-1. Mas note que "faltam o pontos 0 e 1" no
domínio de g. Vamos acrescentar esses pontos, tomando um conjunto
enumerável A = {a_1, a_2, a_3,...} contido em (0,1) e fazendo o seguinte:
Seja B = {0, 1, a_1, a_2, a_3, ...}. A função h: (0,1) -> [0,1] dada por
h(x) = x se x não está em A, h(a_1) = 0, h(a_2) = 1, h(a_n) = a_{n-2} se
n>2 é uma bijeção (verifique).
Assim, a função [ h o g^(-1) o f^(-1) ]: IR -> [0,1] é uma bijeção. Daí,
concluímos que IR e [0,1] possuem a mesma cardinalidade.
Vamos agora mostrar que as cardinalidades de [0,1] e IN são iguais. Seja
0,b_1b_2b_3... a representação binária de um número em [0,1] com infinitas
casas (por exemplo, 1 será representado por 0,11111...). Essa escrita
binária dos elementos de [0,1] gera uma bijeção com as partes de IN da
seguinte forma: k perntence a um subconjunto M dos naturais se e somente se
b_k = 1 (por exemplo, o vazio corresponde ao 0 = 0,0000..., IN corresponde
ao 1 = 0,1111... e {2,3,5,7} corresponde a 0,011010100000...). Dessa forma,
construímos uma bijeção entre P(IN) e [0,1].
Concluímos que P(IN) e IR possuem mesma cardinalidade, pois ambos estão em
bijeção com [0,1].
Sávio
Em 15 de jan de 2018 13:43, "Igor Caetano Diniz" <icaetanodi...@gmail.com>
escreveu:
> Olá a todos, estou com uma dúvida para provar uma questão(Sem usar
> hipótese do contínuo)
>
> Prove que a cardinalidade do conjunto das partes dos números naturais é
> igual à cardinalidade dos reais, i.e., |P(N)| = |R|
>
>
> quem puder ajudar, agradeço.
>
> Abraços
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
