Re: [obm-l] quadrados perfeitos

[Claudio Buffara]

2n + 1 = a^2 ==>
a é ímpar ==>
2n = a^2 - 1 é múltiplo de 8 ==>
2n = 8m ==> n = 4m

3n + 1 = b^2 ==>
12m + 1 = b^2 ==>
b é ímpar ==>
12m = b^2 - 1 é múltiplo de 8 ==>
12m = 8k ==> 3m = 2k ==> m é par ==> n = 4m  é múltiplo de 8  (i)


Agora, precisamos provar que n é múltiplo de 5.

2n + 1 = a^2
3n + 1 = b^2 ==>

Somando e subtraindo estas duas equações, obtemos:
5n + 2 = a^2 + b^2 == 2 (mod 5)
n = b^2 - a^2

Mas os quadrados mod 5 são 0, 1 e 4.
Logo, uma soma de dois quadrados só será congruente a 2 mod 5 se ambos
forem congruentes a 1.
Ou seja a^2 == b^2 == 1 (mod 5) ==> n = b^2 - a^2 == 0 (mod 5) ==> n é
divisível por 5  (ii)

(i) e (ii) ==> n é múltiplo de 40.

***

Além da solução n = 40, eu achei n = 3960 ==> 2n + 1 = 7921 = 89^2  e  3n +
1 = 11881 = 109^2

[]s,
Claudio.


2018-02-14 21:57 GMT-02:00 marcone augusto araújo borges <
marconeborge...@hotmail.com>:

> Se 2n+1 e 3n+1 são quadrados perfeitos, então 40 divide n.
> Não é dificil mostrar.
> Para n = 40, temos 81= 9^2 e 121 = 11^2
> Há outros valores de n tais que 2n +1 e 3n+1 são ambos quadrados?
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] quadrados perfeitos

[Bianca Gagli]

 blockquote, div.yahoo_quoted { margin-left: 0 !important; border-left:1px 
#715FFA solid !important; padding-left:1ex !important; background-color:white 
!important; }  Não quero mais receber essas mensagens.


Enviado do Yahoo Mail para iPhone


Em quarta-feira, fevereiro 14, 2018, 9:32 PM, marcone augusto araújo borges 
 escreveu:

 #yiv2809240828 P {margin-top:0;margin-bottom:0;}Se 2n+1 e 3n+1 são quadrados 
perfeitos, então 40 divide n.Não é dificil mostrar.Para n = 40, temos 81= 9^2 e 
121 = 11^2Há outros valores de n tais que 2n +1 e 3n+1 são ambos quadrados?
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
 acredita-se estar livre de perigo.
 


-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] quadrados perfeitos

[marcone augusto araújo borges]

Se 2n+1 e 3n+1 são quadrados perfeitos, então 40 divide n.
Não é dificil mostrar.
Para n = 40, temos 81= 9^2 e 121 = 11^2
Há outros valores de n tais que 2n +1 e 3n+1 são ambos quadrados?

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Revista para olímpicos (gratuita, online)

[gabriel araujo guedes]

Aqui na UFRPE,
também desenvolvemos um jornal para OLímpicos.
O nome é: É matemática,oxente!
Segue o link www.ematematicaoxente.com.br/
Abraços,
GG

Em 5 de fevereiro de 2018 09:44, Tássio Naia  escreveu:

> Salve,
>
> Gostaria de sugerir aos colegas a leitura do Archimede Mathematical
> Journal, um periódico voltado para olímpicos.
>
> http://amj-math.com/
>
> Até,
> Tássio
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.