[obm-l] Re: [obm-l] área de triângulo( compartilhando)

[Esdras Muniz]

Se u é o ângulo entre os lados de comprimento a e b, temos:
S = a*b*sen(u)/2 = (a^2+b^2)/4.
Daí, pela condição de igualdade entre as médias geométrica e aritmética,
temos que
sen(u)=1 e a=b. Logo os ângulos do triângulo são 90°, 45°, 45°.

Em 13 de maio de 2018 23:52, marcone augusto araújo borges <
marconeborge...@hotmail.com> escreveu:

> As medidas de dois lados de um triângulo são a e b e sua área é igual a
> (a^2+b^2)/4
>
> Determine os ângulos do triângulo
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>



-- 
Esdras Muniz Mota
Mestrando em Matemática
Universidade Federal do Ceará

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Fwd: não sei como fazer, tentei desigualdades de médias e não saiu

[Esdras Muniz]

Existem 85 triplas (p, q, r) com p
> Em dom, 13 de mai de 2018 às 20:12, Pacini Bores 
> escreveu:
>
>> Desculpe-me esqueci d colocar um dado na questão na hora d escrever. Os
> números p, q é r são primos ímpares. Havia colocado apenas ímpares.
>
>> Oi Daniel,
>>
>> Estranho, pois p=999, q= 1001 e r =1; teremos  p+q+r=2001 , pqr+1=
>> 100= (1000)^2.
>>
>> Ou seja, k=1000 ?
>>
>> Pacini
>>
>> Em 13/05/2018 2:56, Daniel Quevedo escreveu:
>>
>>
>>
>> - Mensagem encaminhada -
>> De: Daniel Quevedo 
>> Data: dom, 13 de mai de 2018 às 02:54
>> Assunto:
>> Para: ob...@mat-puc.rio.br 
>>
>>
>> Sabendo que p, q e r são números impares distintos com p+q+r= 2001 e que
>> k é um inteiro positivo tal que pqr +1 =k^2, a soma dos algarismos do único
>> valor possível para k é igual a:
>> A) 20
>> B) 21
>> C) 22
>> D) 23
>> E) 24
>> --
>> Fiscal: Daniel Quevedo
>> --
>> Fiscal: Daniel Quevedo
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivrus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
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> Fiscal: Daniel Quevedo
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>



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Esdras Muniz Mota
Mestrando em Matemática
Universidade Federal do Ceará

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[obm-l] área de triângulo( compartilhando)

[marcone augusto araújo borges]

As medidas de dois lados de um triângulo são a e b e sua área é igual a 
(a^2+b^2)/4

Determine os ângulos do triângulo

-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Fwd: não sei como fazer, tentei desigualdades de médias e não saiu

[Ralph Teixeira]

Ah, assim fica bem melhor.

Temos pqr=(k+1)(k-1). Como p, q e r sao primos, entao (trocando a ordem de
p,q,r se necessario) {pq,r}={k+1,k-1}. Ou seja, pq-r=2 ou -2.

Entao p+q+(pq+-2)=2001, ou seja ((p+1)/2)((q+1)/2)=501 ou 500

As unicas fatoracoes de 501 em dois fatores sao 1.501 e 3.167, que
rapidamente verificam-se inuteis.
As unicas fatoracoes de 500 em dois fatores sao 1.500, 2.250, 4.125, 5.100,
10.50, 20.25. Verificando uma a uma para ver quais dao p, q primos,
encontramos apenas
(p,q)=(3,499), portanto r=2001-p-q=1499 (ok, tambem primo) e k=r-1=1498.
Entao 22 eh a resposta?

Abraco, Ralph.

2018-05-13 22:30 GMT-03:00 Daniel Quevedo :

>
> Em dom, 13 de mai de 2018 às 20:12, Pacini Bores 
> escreveu:
>
>> Desculpe-me esqueci d colocar um dado na questão na hora d escrever. Os
> números p, q é r são primos ímpares. Havia colocado apenas ímpares.
>
>> Oi Daniel,
>>
>> Estranho, pois p=999, q= 1001 e r =1; teremos  p+q+r=2001 , pqr+1=
>> 100= (1000)^2.
>>
>> Ou seja, k=1000 ?
>>
>> Pacini
>>
>> Em 13/05/2018 2:56, Daniel Quevedo escreveu:
>>
>>
>>
>> - Mensagem encaminhada -
>> De: Daniel Quevedo 
>> Data: dom, 13 de mai de 2018 às 02:54
>> Assunto:
>> Para: ob...@mat-puc.rio.br 
>>
>>
>> Sabendo que p, q e r são números impares distintos com p+q+r= 2001 e que
>> k é um inteiro positivo tal que pqr +1 =k^2, a soma dos algarismos do único
>> valor possível para k é igual a:
>> A) 20
>> B) 21
>> C) 22
>> D) 23
>> E) 24
>> --
>> Fiscal: Daniel Quevedo
>> --
>> Fiscal: Daniel Quevedo
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivrus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
> --
> Fiscal: Daniel Quevedo
>
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Fwd: não sei como fazer, tentei desigualdades de médias e não saiu

[Daniel Quevedo]

Em dom, 13 de mai de 2018 às 20:12, Pacini Bores 
escreveu:

> Desculpe-me esqueci d colocar um dado na questão na hora d escrever. Os
números p, q é r são primos ímpares. Havia colocado apenas ímpares.

> Oi Daniel,
>
> Estranho, pois p=999, q= 1001 e r =1; teremos  p+q+r=2001 , pqr+1=
> 100= (1000)^2.
>
> Ou seja, k=1000 ?
>
> Pacini
>
> Em 13/05/2018 2:56, Daniel Quevedo escreveu:
>
>
>
> - Mensagem encaminhada -
> De: Daniel Quevedo 
> Data: dom, 13 de mai de 2018 às 02:54
> Assunto:
> Para: ob...@mat-puc.rio.br 
>
>
> Sabendo que p, q e r são números impares distintos com p+q+r= 2001 e que k
> é um inteiro positivo tal que pqr +1 =k^2, a soma dos algarismos do único
> valor possível para k é igual a:
> A) 20
> B) 21
> C) 22
> D) 23
> E) 24
> --
> Fiscal: Daniel Quevedo
> --
> Fiscal: Daniel Quevedo
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivrus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
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Fiscal: Daniel Quevedo

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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função Composta

[Bruno Visnadi]

Realmente eu me expressei mal ali. Eu quis dizer que o menor N deve ser 1,
2 ou 5.

Em 13 de maio de 2018 21:22, Jeferson Almir 
escreveu:

> Boa noite.
> Eu só não entendi essa passagem
>  “ Para todo a, queremos que N seja igual a 1, 2 ou 5 (os divisores de 50
> menores ou iguais a 5).“
> Pois pra mim eu teria que levar em conta somente os divisores de 50
>
> Em dom, 13 de mai de 2018 às 19:43, Bruno Visnadi <
> brunovisnadida...@gmail.com> escreveu:
>
>> Não sei se ficou meio confuso:
>> De fato a função é injetiva, pois se f(a) = f(b) então f^50(a) = f^50(b)
>> e a = b. E claramente é sobrejetiva, portanto, é bijetiva. Existem 5! = 120
>> bijeções de S em S. Vamos descontar as que não tem a propriedade desejada.
>> Em cada bijeção de S em S, dado um a, existe um menor N tal que f^N(a) =
>> a. Para todo a, queremos que N seja igual a 1, 2 ou 5 (os divisores de 50
>> menores ou iguais a 5).
>> Se existem um a cujo N é igual a 3, temos um caso em que f(a) = b, f(b)
>> = c e f(c) = a . Existem 10 maneiras de escolher a, b, c de S, duas
>> maneiras de escolher o 'ciclo' entre eles (a->b->c ou a->c->b), e mais 2
>> maneiras de escolher a imagem dos outros 2 elementos (se forem x e y,
>> podemos ter f(x) = x e f(y) = y ou f(x) = y e f(y) = x). Então temos 10*2*2
>> = 40 funções deste tipo.
>> Se existe um a cujo N é igual a 4, temos um caso em que f(a) = b, f(b) =
>> c e f(c) = d e f(d) = a. Temos 5 maneiras de escolher estes 4 elementos de
>> S, e mais 6 maneiras de ordenar o 'ciclo' entre eles (basta fixar um deles
>> e vemos que são 3! maneiras). Então 6*5 = 30 funções deste tipo.
>> Logo a quantidade de funções com as propriedades que buscamos é 120-40-30
>> = 50.
>>
>> Em 13 de maio de 2018 18:03, Jeferson Almir 
>> escreveu:
>>
>>> Seja S = { 1,2,3,4,5 }, quantas são as funções de f: S -> S tais que
>>> f^50(x)= x para todo x pertencente a S ?? ( f^50(x) = fofofo...of(x)
>>> Eu provei que ela era injetiva e acho que provei também que ela era
>>> sobrejetiva mas minha resposta dar 45 . O gabarito diz que são 50. Desde já
>>> agradeço qualquer ajuda.
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função Composta

[Jeferson Almir]

Boa noite.
Eu só não entendi essa passagem
 “ Para todo a, queremos que N seja igual a 1, 2 ou 5 (os divisores de 50
menores ou iguais a 5).“
Pois pra mim eu teria que levar em conta somente os divisores de 50

Em dom, 13 de mai de 2018 às 19:43, Bruno Visnadi <
brunovisnadida...@gmail.com> escreveu:

> Não sei se ficou meio confuso:
> De fato a função é injetiva, pois se f(a) = f(b) então f^50(a) = f^50(b) e
> a = b. E claramente é sobrejetiva, portanto, é bijetiva. Existem 5! = 120
> bijeções de S em S. Vamos descontar as que não tem a propriedade desejada.
> Em cada bijeção de S em S, dado um a, existe um menor N tal que f^N(a) =
> a. Para todo a, queremos que N seja igual a 1, 2 ou 5 (os divisores de 50
> menores ou iguais a 5).
> Se existem um a cujo N é igual a 3, temos um caso em que f(a) = b, f(b) =
> c e f(c) = a . Existem 10 maneiras de escolher a, b, c de S, duas
> maneiras de escolher o 'ciclo' entre eles (a->b->c ou a->c->b), e mais 2
> maneiras de escolher a imagem dos outros 2 elementos (se forem x e y,
> podemos ter f(x) = x e f(y) = y ou f(x) = y e f(y) = x). Então temos 10*2*2
> = 40 funções deste tipo.
> Se existe um a cujo N é igual a 4, temos um caso em que f(a) = b, f(b) =
> c e f(c) = d e f(d) = a. Temos 5 maneiras de escolher estes 4 elementos de
> S, e mais 6 maneiras de ordenar o 'ciclo' entre eles (basta fixar um deles
> e vemos que são 3! maneiras). Então 6*5 = 30 funções deste tipo.
> Logo a quantidade de funções com as propriedades que buscamos é 120-40-30
> = 50.
>
> Em 13 de maio de 2018 18:03, Jeferson Almir 
> escreveu:
>
>> Seja S = { 1,2,3,4,5 }, quantas são as funções de f: S -> S tais que
>> f^50(x)= x para todo x pertencente a S ?? ( f^50(x) = fofofo...of(x)
>> Eu provei que ela era injetiva e acho que provei também que ela era
>> sobrejetiva mas minha resposta dar 45 . O gabarito diz que são 50. Desde já
>> agradeço qualquer ajuda.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Fwd: não sei como fazer, tentei desigualdades de médias e não saiu

[Pacini Bores]

 

Oi Daniel, 

Estranho, pois p=999, q= 1001 e r =1; teremos p+q+r=2001 , pqr+1=
100= (1000)^2. 

Ou seja, k=1000 ? 

Pacini 

Em 13/05/2018 2:56, Daniel Quevedo escreveu: 

> - Mensagem encaminhada -
> De: Daniel Quevedo 
> Data: dom, 13 de mai de 2018 às 02:54
> Assunto: 
> Para: ob...@mat-puc.rio.br  
> 
> Sabendo que p, q e r são números impares distintos com p+q+r= 2001 e que k é 
> um inteiro positivo tal que pqr +1 =k^2, a soma dos algarismos do único valor 
> possível para k é igual a: 
> A) 20 
> B) 21 
> C) 22 
> D) 23 
> E) 24 -- 
> 
> Fiscal: Daniel Quevedo -- 
> 
> Fiscal: Daniel Quevedo 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivrus e 
> acredita-se estar livre de perigo.

 
-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Função Composta

[Bruno Visnadi]

Não sei se ficou meio confuso:
De fato a função é injetiva, pois se f(a) = f(b) então f^50(a) = f^50(b) e
a = b. E claramente é sobrejetiva, portanto, é bijetiva. Existem 5! = 120
bijeções de S em S. Vamos descontar as que não tem a propriedade desejada.
Em cada bijeção de S em S, dado um a, existe um menor N tal que f^N(a) = a.
Para todo a, queremos que N seja igual a 1, 2 ou 5 (os divisores de 50
menores ou iguais a 5).
Se existem um a cujo N é igual a 3, temos um caso em que f(a) = b, f(b) = c
e f(c) = a . Existem 10 maneiras de escolher a, b, c de S, duas maneiras de
escolher o 'ciclo' entre eles (a->b->c ou a->c->b), e mais 2 maneiras de
escolher a imagem dos outros 2 elementos (se forem x e y, podemos ter f(x)
= x e f(y) = y ou f(x) = y e f(y) = x). Então temos 10*2*2 = 40 funções
deste tipo.
Se existe um a cujo N é igual a 4, temos um caso em que f(a) = b, f(b) = c
e f(c) = d e f(d) = a. Temos 5 maneiras de escolher estes 4 elementos de S,
e mais 6 maneiras de ordenar o 'ciclo' entre eles (basta fixar um deles e
vemos que são 3! maneiras). Então 6*5 = 30 funções deste tipo.
Logo a quantidade de funções com as propriedades que buscamos é 120-40-30 =
50.

Em 13 de maio de 2018 18:03, Jeferson Almir 
escreveu:

> Seja S = { 1,2,3,4,5 }, quantas são as funções de f: S -> S tais que
> f^50(x)= x para todo x pertencente a S ?? ( f^50(x) = fofofo...of(x)
> Eu provei que ela era injetiva e acho que provei também que ela era
> sobrejetiva mas minha resposta dar 45 . O gabarito diz que são 50. Desde já
> agradeço qualquer ajuda.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função Composta

[Jeferson Almir]

Valeu Raph e os demais. Aprendi muito com vcs!!

Em sáb, 12 de mai de 2018 às 20:25, Ralph Teixeira 
escreveu:

> Oops, eh verdade, esqueci de mostrar que f nao tem ponto fixo em Z_2005
> (obviamente f nao tem ponto fixo, pois f(f(a))<>a).
>
> Suponha por absurdo que f(a)=a+K.2005 para algum a em {0,1,...2004}, com K
> natural. Entao f(a+K.2005)=f(f(a))=a+2005. Agora, usando nossa
> propriedadezinha:
>
> f(a+K.2005)-f(a)=K.2005
> a+2005 - (a+K.2005) = K.2005
> K = 1/2 (absurdo).
>
> Abraco, Ralph.
>
>
>
> 2018-05-12 2:49 GMT-03:00 Bernardo Freitas Paulo da Costa <
> bernardo...@gmail.com>:
>
>> Oi Ralph,
>>
>> 2018-05-11 20:03 GMT-03:00 Ralph Teixeira :
>> > (Vou supor que 0 eh natural; se nao for, apenas troque 0 por 2005 ali
>> > embaixo e ajeite as coisas)
>> >
>> > Primeiro: f eh injetiva. De fato, f(a)=f(b) => f(f(a))=f(f(b)) =>
>> > a+2005=b+2005 => a=b.
>> >
>> > Segundo: para todo n natural, f(n+2005)=f(f(f(n)))=f(n)+2005. Portanto,
>> por
>> > indução, para qualquer K natural, tem-se
>> > f(n+K.2005)=f(n)+K.2005, ou seja, f(n+K.2005)-f(n)=K.2005.
>> >
>> > VERSÃO CURTA COM TERMINOLOGIA "MOD":
>> > Ou seja, mostramos que   a=b (mod 2005) => f(a)=f(b) (mod 2005).
>> > Agora, se f(m)=n (mod 2005), entao f(n)=f(f(m))=m+2005=m (mod 2005). Ou
>> > seja, f estah bem definida e eh sua propria inversa em Z_2005, o que eh
>> > absurdo, pois Z_2005 tem um numero impar de elementos.
>>
>> Peraí, não entendi direito... se f(n) == n (mod 2005), temos uma
>> função que é sua própria inversa mod 2005.  Temos que excluir este
>> caso...
>>
>> > 2018-05-11 10:42 GMT-03:00 Jeferson Almir :
>> >>
>> >> Como provar que nos naturais não existe a função f ( f(n) ) = n + 2005
>> ???
>> >>
>>
>> Abraços,
>> --
>> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>  acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> =
>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =
>>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
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[obm-l] Função Composta

[Jeferson Almir]

Seja S = { 1,2,3,4,5 }, quantas são as funções de f: S -> S tais que
f^50(x)= x para todo x pertencente a S ?? ( f^50(x) = fofofo...of(x)
Eu provei que ela era injetiva e acho que provei também que ela era
sobrejetiva mas minha resposta dar 45 . O gabarito diz que são 50. Desde já
agradeço qualquer ajuda.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Fwd: não sei como fazer, tentei desigualdades de médias e não saiu

[Daniel Quevedo]

- Mensagem encaminhada -
De: Daniel Quevedo 
Data: dom, 13 de mai de 2018 às 02:54
Assunto:
Para: ob...@mat-puc.rio.br 


Sabendo que p, q e r são números impares distintos com p+q+r= 2001 e que k
é um inteiro positivo tal que pqr +1 =k^2, a soma dos algarismos do único
valor possível para k é igual a:
A) 20
B) 21
C) 22
D) 23
E) 24
-- 
Fiscal: Daniel Quevedo
-- 
Fiscal: Daniel Quevedo

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.