[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Alguém pode ajudar?

[Ralph Teixeira]

Hmmm... Acho que eles permitem que usemos m e n negativos...

Por exemplo, podia ser m=2000 e n=-1. Então a fração seria 0/(2000^2-1),
que pode ser simplificada para 0/1 dividindo por
d=2000^2-1=400-1=399...
...cuja soma dos algarismos eh 57, como eles parecem querer.

Para provar que esse d eh maximo, note que d|m+2000n e d|n+2000m, portanto
d|2001(m+n).

Mas se d tivesse fator comum com m+n, ele apareceria tambem em
(2000m+n)-(m+n)=1999m. Mas d nao poderia ter fator comum com m (pois, tendo
com m+n, teria com n tambem, e (m,n)=1), entao o unico fator possivel de d
em m+n eh aquele 1999.

Mas, como d|2001(m+n) e o unico fator possivel de d em m+n eh 1999, entao
d|1999.2001=(2000)^2-1... E portanto d<=2000^2-1.

Abraco, Ralph.

2018-05-15 23:18 GMT-03:00 Anderson Torres :

> > 2) os inteiros m e n são primos entre si. Sabendo que a fração (m +
> > 2000n)/(n +2000m) pode ser simplificado cancelando o divisor comum d. A
> soma
> > dos algarismos do maior valor que d pode assumir é igual a:
> > R: 57
>
> d|m+2000n
> d|n+2000m
> d|1999(m-n)
>
> 1999 é primo
>
> Se d=1999, 1999|m+2000n, 1999|m+n, basta escolher m=1, n=1998, que
> funciona.
>
> A soma dos dígitos de 1999 na base 10 é 28
>
> P.S.: para deixar a lista mais organizada, envie apenas um problema
> por e-mail. A não ser que você queira enviar a prova toda.
>
> Em outras palavras: se quiser enviar problemas soltos, envie um por vez.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Alguém pode ajudar?

[Anderson Torres]

> 2) os inteiros m e n são primos entre si. Sabendo que a fração (m +
> 2000n)/(n +2000m) pode ser simplificado cancelando o divisor comum d. A soma
> dos algarismos do maior valor que d pode assumir é igual a:
> R: 57

d|m+2000n
d|n+2000m
d|1999(m-n)

1999 é primo

Se d=1999, 1999|m+2000n, 1999|m+n, basta escolher m=1, n=1998, que funciona.

A soma dos dígitos de 1999 na base 10 é 28

P.S.: para deixar a lista mais organizada, envie apenas um problema
por e-mail. A não ser que você queira enviar a prova toda.

Em outras palavras: se quiser enviar problemas soltos, envie um por vez.

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=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Alguém pode ajudar?

[Daniel Quevedo]

1)(olimpíada d maio) o número de valores inteiros de M para os quais as
raízes da equação x^2 - (M +M^2)d + M^3 - 1= 0 são inteiras é igual a:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4

2) os inteiros m e n são primos entre si. Sabendo que a fração (m +
2000n)/(n +2000m) pode ser simplificado cancelando o divisor comum d. A
soma dos algarismos do maior valor que d pode assumir é igual a:
R: 57
-- 
Fiscal: Daniel Quevedo

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[obm-l] Re: área de triângulo( compartilhando)

[marcone augusto araújo borges]

tenho uma solução: (a^2+b^2) /4 = 1/2absenC => a^2 - 2bsenC.(a) + b^2 = 0; 
delta = -4b^2.cos^2(C)

=>cosC = 0, então C = 90.Como senC = 1, temos (a-b)^2 = 0 => a = b.O triângulo 
é retângulo e isósceles.

Se alguém puder resolver de um modo diferente eu agradeço.





De: owner-ob...@mat.puc-rio.br  em nome de marcone 
augusto araújo borges 
Enviado: segunda-feira, 14 de maio de 2018 02:52
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] área de triângulo( compartilhando)


As medidas de dois lados de um triângulo são a e b e sua área é igual a 
(a^2+b^2)/4

Determine os ângulos do triângulo

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Re: [obm-l] olimpiada de maio

[morian santos]

3) a) pegue o numero 240240240240

Em segunda-feira, 14 de maio de 2018, Pedro José 
escreveu:

> Boa noite!
> Alguém poderia postar a resposta do exercício 3.
> Saudações,
> PJMS.
>
> Em Sáb, 12 de mai de 2018 20:20, Pedro José 
> escreveu:
>
>> Boa noite!
>>
>> Corrigindo a=2, n=4. d=1 não é opção.
>> A propósito, se for obrigado a dar o número de trás para frente, ou seja,
>> dcba, a solução é única
>> 1089  e n=9.
>> Saudações,
>> PJMS
>>
>> Em Sáb, 12 de mai de 2018 17:19, Pedro José 
>> escreveu:
>>
>>> Boa noite!
>>> na< 10 então a<=4
>>> n.d = a mod10 (i)
>>> Começando com maior a, 4.
>>> d=8 ou d=9 e n=2.
>>> Não atende (i).
>>> a=3 n=2 ou n=3.
>>> n=2. d=6 ou d=7. Não atende.
>>> n=3. d=9 Não atende.
>>> a = 2 n=2 ou n=3 ou n=4
>>> n=2 . d=4 ou d=5. Não atende
>>> n=3. d = 6 ou d=7 ou d=8 Não atende.
>>> n=4. d=8 ou d=9 ou d= 1.Atende para d=8.
>>> n=4 e d=8 ==> b<=2. Para o máximo b=2.
>>> n=4, d=8 E a=2 ==> 4.c+3<20.
>>> Então c máximo é 4.
>>> 2248 eu creio.
>>>
>>> Saudações,
>>> PJMS.
>>>
>>>
>>>
>>> Em Sex, 11 de mai de 2018 14:57, Arthur Vieira 
>>> escreveu:
>>>
 *Para o problema 2 consegui chegar no resultado 7 mas não sei como
 provar.*


 PROBLEMA 1

 Dizemos que um número de quatro dígitos abcd , que começa com a e
 termina com d, é intercambiável se existe um inteiro n > 1 tal que n
 * abcd é um número de quatro dígitos que começa com d e termina
 com a. Por exemplo, 1009 é intercambiável já que 1009*9=9081.
 Determine o maior número intercambiável.

 PROBLEMA 3

 Dizemos que um número inteiro positivo é qua-divi se é divisível
 pela soma dos quadrados de seus dígitos, e além disso nenhum de seus
 dígitos é igual a zero.
 a) Encontre um número qua-divi tal que a soma de seus dígitos seja 24.
 b) Encontre um número qua-divi tal que a soma de seus dígitos seja
 1001.

 PROBLEMA 2

 Quantas casas devem ser pintadas no mínimo em um tabuleiro 5 × 5 de
 tal modo que em cada linha, em cada coluna e em cada quadrado 2 × 2 haja
 pelo menos uma casa pintada?

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