Re: [obm-l] Mais uma de Geometria do IME
Com auxílio do que foi discutido anteriormente acredito ter uma solução Tome os ângulos ABC=y e BCA=z Após marcar alguns ângulos, temos: Teorema da bicetriz interna genaralizado nos triângulos AHC e AHB, respectivamente: EC/EA=HC.cosz/AH.senz DA/DB=AH.seny/HB.cosy Menelaus em ABC com P, D e E colineares PB/PC*EC/EA*DA/DB=1 Substituindo as relações acima obtemos: PB/PC=BH/HC*cosy/seny*senz/cosz Assim o mesmo pode ser feito para achar QC/QA e RA/RB Os fatores trigonométricos se cancelarão e o teorema de Ceva para os pés das alturas termina de resolver o problema Em qui, 19 de jul de 2018 às 13:29, Vanderlei Nemitz escreveu: > Obrigado, Claudio! > Vou usar suas valiosas dicas para tentar resolver o problema! > > Em qua, 18 de jul de 2018 11:51, Claudio Buffara < > claudio.buff...@gmail.com> escreveu: > >> Mais uma observação... >> >> As três razões que entram na aplicação final do teorema de Menelaus >> recíproco ( AR/RB * BP/PC * CQ/QA = 1 ) devem ser expressas em termos de >> comprimentos de segmentos do triângulo ABC que, de alguma forma, terão que >> se cancelar (pro produto ser igual a 1). >> >> Assim, por exemplo, a expressão final de BP/PC não poderá ser em termos >> de DH e EH, pois estes dois segmentos só são relevantes em relação ao lado >> BC e à altura AH, mas não em relação ao lado AC e a correspondente altura >> BK (K em AC), e nem ao lado AB e altura CJ (J em AB). >> >> No entanto, o teorema de Ceva aplicado às alturas (que são concorrentes), >> implica que: >> AJ/JB * BH/HC * CK*KA = 1. >> >> Isso significa que talvez devêssemos procurar expressar a razão BP/PC em >> termos de BH e HC. >> >> []s, >> Claudio. >> >> >> >> 2018-07-18 10:59 GMT-03:00 Claudio Buffara : >> >>> A figura completa é chatinha de fazer e fica muito "entulhada". >>> >>> Mas também acho que Menelaus é o caminho. >>> >>> Nesse tipo de problema, eu diria que primeiro você precisa aplicar o >>> teorema de Menelaus direto (pontos colineares ==> produto das razões = -1) >>> a fim de achar as razões adequadas a partir de pontos que são sabidamente >>> colineares e, no final, pra provar que P, Q e R são colineares, você aplica >>> o recíproco (produto das razões = -1 ==> pontos colineares). >>> >>> Assim, começando pelo final, eu diria que o objetivo é provar que: AR/RB >>> * BP/PC * CQ/QA = -1 (ou, como não me parece que a orientação dos segmentos >>> é relevante nesse problema, basta trabalhar com os comprimentos sem sinal: >>> AR/RB >>> * BP/PC * CQ/QA = 1) >>> >>> Como o enunciado fala em alturas e perpendiculares, vão aparecer vários >>> triângulos retângulos. >>> Isso significa que talvez seja necessário usar Pitágoras e também >>> semelhança (já que, por exemplo, os triângulos AHB, HDB e ADH são >>> semelhantes - com pontos correspondentes e, portanto, segmentos homólogos, >>> escritos na mesma ordem em cada um dos triângulos: sempre um bom hábito que >>> evita erros bobos). >>> >>> Por exemplo, os pontos mencionados no enunciado mostram o triângulo ABC >>> cortado pela reta PDE. >>> Menelaus aplicado a este triângulo e esta reta implica que: AD/DB * >>> BP/PC * CE/EA = 1 ==> BP/PC = DB/AD * EA/CE. >>> >>> Agora, DB e AD são lados dos triângulos semelhantes que eu mencionei >>> acima. Idem para EA e CE (neste caso, os triângulos semelhantes são AHC, >>> AEH e HEC). >>> >>> A semelhança de HDB e ADH implica que: DB/DH = DH/AD. >>> A semelhança de AEH e HEC implica que: EA/EH = EH/CE. >>> Infelizmente, isso resulta no produto DB*AD ao invés da razão AD/DB >>> (idem para EA*CE). >>> >>> E neste ponto eu empaquei... >>> >>> Mas acho que, como ainda não foram usados os triângulos AHB (semelhante >>> a HDB e ADH) e AHC (semelhante a AEH e HEC), que têm o lado AH comum, de >>> alguma forma (talvez usando Pitágoras) estes podem ajudar a encontrar >>> expressões úteis para as razões DB/AD e EA/CE, o que, por sua vez, nos >>> daria a razão BP/PC, a ser usada na aplicação final do recíproco do teorema >>> de Menelaus. >>> >>> Ou então, é claro, este caminho pode não levar a nada e será preciso >>> recomeçar do zero...matemática é assim mesmo... >>> >>> []s, >>> Claudio. >>> >>> >>> 2018-07-17 22:22 GMT-03:00 Vanderlei Nemitz : >>> A questão a seguir é da prova do IME de 1991. Tentei utilizar o teorema de Menelaus, mas não conseguir demonstrar. Como eu poderia fazer? Obrigado! Num triângulo ABC traçamos a altura AH e do pé H desta altura construímos as perpendiculares HD e HE sobre os lados AB e AC. Seja P o ponto da interseção de DE com BC. Construindo as alturas relativas aos vértices B e C determinam-se também, de modo análogo Q e R sobre os lados AC e AB. Demonstre que os pontos P, Q, R são colineares. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem
[obm-l] Re: [obm-l] RES: [obm-l] ensino de matemática
Opa! Mantenham-me informado!
Em seg, 16 de jul de 2018 às 12:39, Manoel Cesar Valente Lopes
escreveu:
>
> Me inclua nesta discussão!
>
>
>
> De: owner-ob...@mat.puc-rio.br Em nome de
> Claudio Buffara
> Enviada em: Wednesday, July 11, 2018 12:30 PM
> Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> Assunto: [obm-l] ensino de matemática
>
>
>
> Prezados colegas da lista:
>
>
>
> Entendo que o tema pode ser off-topic pois não trata especificamente de
> problemas olímpicos, mas aqui vai de qualquer forma...
>
>
>
> Algum de vocês se interessa pelo ensino de matemática (escolar ou
> universitário)?
>
>
>
> Pergunto porque há anos tenho pensado na melhor forma de ensinar matemática
> (principalmente em termos de composição do currículo e de apresentação dos
> tópicos nos livros didáticos), estou convencido de que não estamos fazendo
> certo, nem na escola e nem na universidade, e gostaria de ter gente
> interessada pra debater idéias e, quem sabe, elaborar algum projeto mais
> concreto.
>
>
>
> Em linhas gerais, discordo da ordem em que os assuntos são abordados, na
> maioria dos livros.
>
> O foco é muito mais na ordem lógica (seguindo o rigor do método axiomático,
> mesmo em livros pra ensino médio) sem nenhuma preocupação:
>
> - com a motivação para os resultados que são apresentados (e, nos ensinos
> fundamental e médio, quase nunca demonstrados);
>
> - com tornar estes resultados intuitivos para o estudante.
>
>
>
> Também acho que certos assuntos deveriam ser incluídos e outros excluídos do
> currículo, mas este, pra mim, é um problema menor. Pois, qualquer que seja o
> tópico, se for bem ensinado e incentivar o aluno a pensar, já tá valendo.
>
>
>
> A meu ver, seria ideal se cada tópico do currículo de matemática fosse
> apresentado seguindo a sequência:
>
> identificação de padrões ("patterns") ==> formulação de conjecturas ==>
> demonstração destas conjecturas.
>
> Pois esta é a maneira como a matemática é criada.
>
> Mas acho que muito poucos professores estão capacitados pra ensinar
> matemática deste jeito.
>
>
>
> Em particular, no Ensino Médio, a ênfase nos últimos anos tem sido na tal
> contextualização, que pode ser vista em todo o seu esplendor nas provas do
> Enem.
>
> O resultado disso me parece ser um retrocesso na formação matemática dos
> alunos e também a disseminação da mentalidade de que a única matemática que
> deve ser estudada é aquela que é usada no dia-a-dia dos cidadãos comuns.
>
>
>
> E, na universidade, a coisa não é muito melhor, mesmo num assunto que só é
> visto na graduação em matemática. a análise real.
>
> Vejam só:
>
> Os livros tratam da topologia da reta antes de conceitos tais como
> compacidade e conexidade se mostrarem realmente necessários (o que, de fato,
> só ocorre em dimensão > 1; na reta, quase tudo pode ser demonstrado com base
> em sequências e no método da bisseção, que são coisas bastante intuitivas,
> mas que quase nunca são usadas).
>
>
>
> Limites e continuidade podem ser introduzidos também com base em sequências,
> interpretando-se os epsilons como margens de erro em aproximação.
>
>
>
> Aliás, a noção de que análise nada mais é do que uma teoria de aproximações
> quase nunca é mencionada.
>
> Por exemplo, foi só estudando a análise do R^n é que eu me dei conta de que a
> derivada é uma aproximação de uma função arbitrária por uma função afim.
>
> Antes disso, eu só sabia que "derivada = inclinação da reta tangente".
>
>
>
> Os livros também mencionam critérios de convergência de séries (Dirichlet,
> Abel, etc.) que vêm do nada (pois foram inventados para o estudo de séries de
> Fourier, que estes liros não abordam).
>
>
>
> E o principal resultado sobre convergência de séries de potências decorre
> quase trivialmente do estudo das PGs infinitas (assunto de Ensino Médio). Mas
> qual livro deixa isso explícito?
>
>
>
> E, pra terminar, poucos têm uma figura para ilustrar o teorema fundamental do
> cálculo que, com uma figura bem feita, fica bem intuitivo. No entanto, a
> análise na reta em geral é apresentada com um caráter aritmético/algébrico,
> mas quase nunca geométrico.
>
>
>
> Obrigado pela atenção.
>
>
>
> []s,
>
> Claudio.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Paradoxo probabilístico/psicológico
Em seg, 16 de jul de 2018 às 12:17, Claudio Buffara escreveu: > > Dadas as regras dos jogos de dados usuais, se alguém for usar um dado > viciado, e se o único vício tecnicamente factível for "dar sempre o mesmo > número", então é de se esperar que um dado viciado vá produzir somente o > resultado 6 e, assim, se observarmos uma sequência de 10 x 6, nossa suspeita > será justificada. > > Mas podemos imaginar um jogo mais complexo e pouco ortodoxo, possivelmente > com dados virtuais (ou seja, em computador), no qual a sequência > (6,1,5,2,6,3,1,4,2,5) seja a mais desejável. Neste caso, se esta sequência > sair em 10 lançamentos, a suspeita de dado viciado será justificável. > O dado terá que ser virtual pois é difícil (mas não impossível) imaginar um > dado físico "programado" para dar aquela sequência. Nem tanto. É só fazer um dado oco, em que o "buraco" está mais próximo de um número que de outro. Ou também lixar algumas arestas levemente, de forma a deixar o dado imperceptivelmente irregular. Agora, para gerar esse dado específico, isso depende de muito mais ajuste fino do que eu posso imaginar. Mas a ideia é essa, hehe! > > Ou seja, a ocorrência ou não do (pseudo)-paradoxo psicológico depende das > regras do jogo. > > []s, > Claudio. > > > 2018-07-14 23:21 GMT-03:00 Artur Steiner : >> >> Se jogarmos n vezes de forma aleatória um dado equilibrado, a probabilidade >> de qualquer sequência de resultados é de (1/6)^n. Assim, se jogarmos um >> dado, digamos, 10 vezes e sempre obtivermos 6, não há matematicamente >> nenhuma evidência de que o dado seja viciado. Mas se isso acontecer, quase >> todo mundo vai suspeitar - e muitos vão afirmar - que o dado é viciado. Eu, >> por exemplo, embora sabendo que todas as possíveis sequências são >> equiprováveis, vou ter sérias dúvidas sobre a honestidade do dado. >> >> Mas se der 6 1 5 2 6 3 1 4 2 5, ningúem vai se chocar. >> >> Como explicar este paradoxo probabilístico/psicológico? >> >> Artur Costa Steiner >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] União de Dois Conjuntos
Nem sempre.
Em qua, 4 de jul de 2018 às 18:03, Luiz Antonio Rodrigues
escreveu:
>
> Também pensei nisso, mas quando dizemos "pertence a A ou a B" já não estamos
> considerando a intersecção também?
> É essa a minha dúvida...
>
> On Wed, Jul 4, 2018, 5:30 PM Olson wrote:
>>
>> Acredito que a intersecção seja somente os termos em comum, enquanto a união
>> também considera os termos que não estão em comum.
>>
>> Em qua, 4 de jul de 2018 17:14, Luiz Antonio Rodrigues
>> escreveu:
>>>
>>> Olá, boa tarde!
>>> Eu achei a definição abaixo na Wikipedia.
>>> Não entendi porque tenho que considerar a intersecção também...
>>> Alguém pode me ajudar?
>>> Muito obrigado!
>>> Luiz
>>>
>>> The union of two sets A and B is the set of elements which are in A, in B,
>>> or in both A and B. For example, if A = {1, 3, 5, 7} and B = {1, 2, 4, 6}
>>> then A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
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>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
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acredita-se estar livre de perigo.
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http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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Re: [obm-l] Mais uma de Geometria do IME
Obrigado, Claudio! Vou usar suas valiosas dicas para tentar resolver o problema! Em qua, 18 de jul de 2018 11:51, Claudio Buffara escreveu: > Mais uma observação... > > As três razões que entram na aplicação final do teorema de Menelaus > recíproco ( AR/RB * BP/PC * CQ/QA = 1 ) devem ser expressas em termos de > comprimentos de segmentos do triângulo ABC que, de alguma forma, terão que > se cancelar (pro produto ser igual a 1). > > Assim, por exemplo, a expressão final de BP/PC não poderá ser em termos de > DH e EH, pois estes dois segmentos só são relevantes em relação ao lado BC > e à altura AH, mas não em relação ao lado AC e a correspondente altura BK > (K em AC), e nem ao lado AB e altura CJ (J em AB). > > No entanto, o teorema de Ceva aplicado às alturas (que são concorrentes), > implica que: > AJ/JB * BH/HC * CK*KA = 1. > > Isso significa que talvez devêssemos procurar expressar a razão BP/PC em > termos de BH e HC. > > []s, > Claudio. > > > > 2018-07-18 10:59 GMT-03:00 Claudio Buffara : > >> A figura completa é chatinha de fazer e fica muito "entulhada". >> >> Mas também acho que Menelaus é o caminho. >> >> Nesse tipo de problema, eu diria que primeiro você precisa aplicar o >> teorema de Menelaus direto (pontos colineares ==> produto das razões = -1) >> a fim de achar as razões adequadas a partir de pontos que são sabidamente >> colineares e, no final, pra provar que P, Q e R são colineares, você aplica >> o recíproco (produto das razões = -1 ==> pontos colineares). >> >> Assim, começando pelo final, eu diria que o objetivo é provar que: AR/RB >> * BP/PC * CQ/QA = -1 (ou, como não me parece que a orientação dos segmentos >> é relevante nesse problema, basta trabalhar com os comprimentos sem sinal: >> AR/RB >> * BP/PC * CQ/QA = 1) >> >> Como o enunciado fala em alturas e perpendiculares, vão aparecer vários >> triângulos retângulos. >> Isso significa que talvez seja necessário usar Pitágoras e também >> semelhança (já que, por exemplo, os triângulos AHB, HDB e ADH são >> semelhantes - com pontos correspondentes e, portanto, segmentos homólogos, >> escritos na mesma ordem em cada um dos triângulos: sempre um bom hábito que >> evita erros bobos). >> >> Por exemplo, os pontos mencionados no enunciado mostram o triângulo ABC >> cortado pela reta PDE. >> Menelaus aplicado a este triângulo e esta reta implica que: AD/DB * BP/PC >> * CE/EA = 1 ==> BP/PC = DB/AD * EA/CE. >> >> Agora, DB e AD são lados dos triângulos semelhantes que eu mencionei >> acima. Idem para EA e CE (neste caso, os triângulos semelhantes são AHC, >> AEH e HEC). >> >> A semelhança de HDB e ADH implica que: DB/DH = DH/AD. >> A semelhança de AEH e HEC implica que: EA/EH = EH/CE. >> Infelizmente, isso resulta no produto DB*AD ao invés da razão AD/DB (idem >> para EA*CE). >> >> E neste ponto eu empaquei... >> >> Mas acho que, como ainda não foram usados os triângulos AHB (semelhante a >> HDB e ADH) e AHC (semelhante a AEH e HEC), que têm o lado AH comum, de >> alguma forma (talvez usando Pitágoras) estes podem ajudar a encontrar >> expressões úteis para as razões DB/AD e EA/CE, o que, por sua vez, nos >> daria a razão BP/PC, a ser usada na aplicação final do recíproco do teorema >> de Menelaus. >> >> Ou então, é claro, este caminho pode não levar a nada e será preciso >> recomeçar do zero...matemática é assim mesmo... >> >> []s, >> Claudio. >> >> >> 2018-07-17 22:22 GMT-03:00 Vanderlei Nemitz : >> >>> A questão a seguir é da prova do IME de 1991. Tentei utilizar o teorema >>> de Menelaus, mas não conseguir demonstrar. Como eu poderia fazer? >>> >>> Obrigado! >>> >>> >>> >>> Num triângulo ABC traçamos a altura AH e do pé H desta altura >>> construímos as perpendiculares HD e HE sobre os lados AB e AC. Seja P o >>> ponto da interseção de DE com BC. Construindo as alturas relativas aos >>> vértices B e C determinam-se também, de modo análogo Q e R sobre os lados >>> AC e AB. Demonstre que os pontos P, Q, R são colineares. >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
