[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Outra de função composta

[Claudio Buffara]

Supondo que f tem pelo menos um ponto fixo e é diferenciável, eu cheguei a
uma desigualdade mais forte:
b(b-2) <= 4ac.

Seja p um ponto fixo de f ==>
f(p) = p ==>
ap^2 + bp + c = f(f(p)) = f(p) = p ==>
ap^2 + (b-1)p + c = 0 ==>
f tem no máximo 2 pontos fixos.
Seja q o menor deles.
Então: 2aq = -(b-1) - raiz((b-1)^2 - 4ac)   (*)

A diferenciabilidade de f implica que f'(f(x))*f'(x) = 2ax + b ==>
f'(q)^2 = 2aq + b >= 0 ==>
2aq >= -b  (**)

(*) e (**) ==> -(b-1) - raiz((b-1)^2 - 4ac) >= -b ==>
-raiz((b-1)^2 - 4ac) >= -1 ==>
raiz((b-1)^2 - 4ac) <= 1 ==>
(b-1)^2 - 4ac <= 1 ==>
(b-1)^2 -1 <= 4ac ==>
b(b-2) <= 4ac

Esta última desigualdade implica que b(b-2) - 3  <= 4ac ==>
b^2 - 2b - 3 = (b+1)(b-3) <= 4ac.

Mas foi o máximo que consegui.

[]s,
Claudio.



2018-08-14 19:03 GMT-03:00 Lucas Colucci :

> Olá, você poderia enivar a solução desse problema?
>
> Obrigado
>
> Lucas Colucci
>
>
> On Sat, May 12, 2018 at 9:25 PM Artur Costa Steiner <
> artur.costa.stei...@gmail.com> wrote:
>
>> Suponhamos que f: R—> R satisfaça a f(f(x)) = ax^2 + bx + c, onde a <>
>> 0, b e c são coeficientes reais. Mostre que
>>
>> (b + 1)(b - 3) <= 4ac
>>
>> Artur
>>
>> Enviado do meu iPad
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>  acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> =
>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =
>>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Mostrar que f é identicamente nulo.

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2018-08-14 17:03 GMT-03:00 Artur Steiner :
> Suponhamos que f: [0, 1] ---> R seja contínua e que, para todo n = 0, 1,
> 2.., Integral [0, 1] f(x) x^n dx = 0. Mostre que f é identicamente nula.
>
> Isso parece um tanto intuitivo, mas será que há uma prova imediata ou quase?

Não sei exatamente o que você espera.  A demonstração "abstrata" é que
a sua condição diz que f é ortogonal aos polinômios no intervalo [0,1]
(usando a métrica  = int f(x)g(x) dx).  Mas daí f também é
ortogonal ao limite uniforme de polinômios: basta tomar o limite P_n
-> g e multiplicar por f; sendo contínua, a convergência f*P_n -> f*g
também é uniforme, e portanto 0 = int(f*P_n) -> int(f*g).  Como os
polinômios são densos nas funções contínuas, isso mostra que f é
ortogonal a qualquer função g.  Em particular, ela é ortogonal a ela
mesma, e portanto f = 0.

Tendo feito isso, dá para simplificar um pouco a demonstração.  Por
exemplo, basta aproximar f = lim P_n (limite uniforme de polinômios) e
calcular int f(x)^2 = int f(x)*[f(x) - P(x) + P(x)] = int f(x)*[f(x) -
P(x)] + 0.  A integral restante é menor (em módulo) do que eps *
max(|f|) (já que aproximamos f por P_n com erro uniforme menor do que
eps).  Tomando n -> infinito, temos que int f(x)^2 -> 0 e daí f deve
ser identicamente nula.

Tive uma idéia agora de como fazer sem usar que dá para aproximar f
por polinômios, mas também aproximando.  Acho inevitável aproximar.
Tome uma aproximação linear por partes de f.  Como f é uniformemente
contínua, basta escolher pontos espaçados de delta para garantir um
erro uniforme < eps.  Agora, mostre que uma função g linear por partes
satisfazendo int g(x) x^n = 0 para todo n implica que g == 0.  Daí
conclua como antes.  Dá inclusive para fazer com aproximações
*constantes* por partes, o que possivelmente simplifica a demonstração
int g(x)x^n =0 => g == 0.

Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Outra de função composta

[Lucas Colucci]

Olá, você poderia enivar a solução desse problema?

Obrigado

Lucas Colucci


On Sat, May 12, 2018 at 9:25 PM Artur Costa Steiner <
artur.costa.stei...@gmail.com> wrote:

> Suponhamos que f: R—> R satisfaça a f(f(x)) = ax^2 + bx + c, onde a <>
> 0, b e c são coeficientes reais. Mostre que
>
> (b + 1)(b - 3) <= 4ac
>
> Artur
>
> Enviado do meu iPad
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
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[obm-l] Re: Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Distribuição binomial, probabilidade de resultado par

[Claudio Buffara]

Mas legal mesmo deve ser uma demonstração direta, com argumentos puramente
combinatórios, sem álgebra, de que a probabilidade desejada é  (1 +
(1-2p)^n)/2.
Não faço ideia de como obtê-la.

[]s,
Claudio.

2018-08-14 16:52 GMT-03:00 steinerar...@gmail.com :

> É isso aí.
>
> Aplicando o teorema do binômio a (1 + i)^n e a (1 - i)^n, i a unidade
> imaginária, também obtemos resultados interessantes
>
> Artur
>
> Enviado do Yahoo Mail no Android
> 
>
> Em sáb, 11 11e ago 11e 2018 às 20:04, Claudio Buffara<
> claudio.buff...@gmail.com> escreveu:
> Em termos concretos, dados n lançamentos independentes de uma moeda cuja
> probabilidade de cara é p, você quer a probabilidade de obtermos um número
> par de caras.
>
> A probabilidade é:
> C(n,0)*(1-p)^n + C(n,2)*p^2*(1-p)^(n-2) + C(n,4)*p^4*(1-p)^(n-4) + ... ,
> certo?
>
> Ou tem uma fórmula bonitinha pra esta soma?
>
> Eu sei que se p = 1/2, então a probabilidade desejada também é 1/2, pois:
> C(n,0) + C(n,2) + C(n,4) + ... = C(n,1) + C(n,3) + C(n,5) + ... = 2^(n-1).
> Tem uma demonstração bijetiva disso e outra que usa o teorema do binômio
> com (1 - 1)^n = 0.
>
> Opa! Peraí que eu tive uma idéia...
>
> Sabemos que:
> C(n,0)*(1-p)^n + C(n,1)*p*(1-p)^(n-1) + C(n,2)*p^2*(1-p)^(n-2) +
> C(n,3)*p^3*(1-p)^(n-3) +  ... = 1
>
> Agora, expandindo ((1-p) - p) = (1-2p)^n, obteremos:
> C(n,0)*(1-p)^n - C(n,1)*p*(1-p)^(n-1) + C(n,2)*p^2*(1-p)^(n-2) -
> C(n,3)*p^3*(1-p)^(n-3) +  ... = (1-2p)^n
>
> Somando as duas expressões e dividindo a soma por 2, obtemos a
> probabilidade desejada:
> C(n,0)*(1-p)^n + C(n,2)*p^2*(1-p)^(n-2) + C(n,4)*p^4*(1-p)^(n-4) + ... =
> (1 + (1-2p)^n)/2
>
>
> []s,
> Claudio.
>
>
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Mostrar que f é identicamente nulo.

[Artur Steiner]

Suponhamos que f: [0, 1] ---> R seja contínua e que, para todo n = 0, 1,
2.., Integral [0, 1] f(x) x^n dx = 0. Mostre que f é identicamente
nula.

Isso parece um tanto intuitivo, mas será que há uma prova imediata ou quase?

Artur Costa Steiner

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Distribuição binomial, probabilidade de resultado par

[steinerar...@gmail.com]

É isso aí. 
Aplicando o teorema do binômio a (1 + i)^n e a (1 - i)^n, i a unidade 
imaginária, também obtemos resultados interessantes
Artur
Enviado do Yahoo Mail no Android 
 
  Em sáb, 11 11e ago 11e 2018 às 20:04, Claudio 
Buffara escreveu:   Em termos 
concretos, dados n lançamentos independentes de uma moeda cuja probabilidade de 
cara é p, você quer a probabilidade de obtermos um número par de caras. A 
probabilidade é:C(n,0)*(1-p)^n + C(n,2)*p^2*(1-p)^(n-2) + 
C(n,4)*p^4*(1-p)^(n-4) + ... , certo?

Ou tem uma fórmula bonitinha pra esta soma?
Eu sei que se p = 1/2, então a probabilidade desejada também é 1/2, pois:C(n,0) 
+ C(n,2) + C(n,4) + ... = C(n,1) + C(n,3) + C(n,5) + ... = 2^(n-1).Tem uma 
demonstração bijetiva disso e outra que usa o teorema do binômio com (1 - 1)^n 
= 0.
Opa! Peraí que eu tive uma idéia...
Sabemos que:C(n,0)*(1-p)^n + C(n,1)*p*(1-p)^(n-1) + C(n,2)*p^2*(1-p)^(n-2) + 
C(n,3)*p^3*(1-p)^(n-3) +  ... = 1
Agora, expandindo ((1-p) - p) = (1-2p)^n, obteremos:C(n,0)*(1-p)^n - 
C(n,1)*p*(1-p)^(n-1) + C(n,2)*p^2*(1-p)^(n-2) - C(n,3)*p^3*(1-p)^(n-3) +  ... = 
(1-2p)^n
Somando as duas expressões e dividindo a soma por 2, obtemos a probabilidade 
desejada:C(n,0)*(1-p)^n + C(n,2)*p^2*(1-p)^(n-2) + C(n,4)*p^4*(1-p)^(n-4) + ... 
= (1 + (1-2p)^n)/2

[]s,Claudio.




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[obm-l] Re: [obm-l] Construir uma circunferência

[Claudio Buffara]

Chame os pontos de A e B e a reta de t.
Basta encontrar o centro P da circunferência.

Tem dois casos:
1) t é paralela à reta por A e B:
Neste caso, trace a mediatriz de AB, intersectando t em C.
A mediatriz de AC intersecta a mediatriz de AB em P, centro da
circunferência.

2) caso contrário:
O prolongamento de AB intersecta t no ponto D (suponha que A está entre D e
B. Se não estiver troque os nomes dos pontos A e B)..
Chame o ponto de tangência de t com a circunferência de E (E ainda não foi
construído).
Sabemos que DE^2 = DA*DB, ou seja, DE = média geométrica de DA e DB.
Construindo a média geométrica de DA e DB, você achou E e acabou (basta
construir a circunferência circunscrita a ABE)

[]s,
Claudio.



2018-08-14 11:55 GMT-03:00 luciano rodrigues :

> Como construir uma circunferência dado dois pontos pertencentes a ela e
> uma reta tangente?
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
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[obm-l] Construir uma circunferência

[luciano rodrigues]

Como construir uma circunferência dado dois pontos pertencentes a ela e uma 
reta tangente?

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 acredita-se estar livre de perigo.


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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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