Re: [obm-l] Problema de Trigonometria
Eles disseram que a expressão eh uma identidade **em x**. Abrindo a expressão da direita e organizando, o que foi dado eh que: sinx+2cosx=(Asiny)sinx+(Acosy)cosx vale para todo x real. Como A e y sao NUMEROS (nao dependem de x), o unico jeito de isso acontecer eh se os coeficientes de sinx e cosx de um lado coincidirem com os coeficientes do outro lado, respectivamente (se você ainda não acredita nisso, explico no "Mais Embaixo"). Então devemos ter: Asiny=1 Acosy=2 Elevando ao quadrado e somando, vem A^2=5, ou seja, A=raiz(5) (pois eles falaram que A>0). Abraco, Ralph. M.E.: a afirmacao que eu fiz equivale a dizer que sinx e cosx sao funcoes linearmente independentes... em suma, estou dizendo que Bsinx+Ccosx=0 (para todo x) se, e somente se, B=C=0. De fato, se B fosse nao nulo, teriamos rearrumando que tanx=-C/B PARA TODO x REAL!! Isso eh claramente absurdo, tanx nao eh uma funcao constante que nao depende de x! Entao a conclusao eh que B=0, e portanto Ccosx=0 para todo x real, e dali C=0 tambem. Para conectar o problema original com este papo do paragrafo anterior, pegue aquela identidade em x em cima e escreva-a assim: (Asiny-2) sinx + (Acosy-2) cosx = 0 Como os caras entre parenteses sao numeros, nao dependem de x, voce pode chama-los de B e C... e entao recai no que eu falei sobre linearmente independentes ali, ou seja, devemos ter B=C=0, e entao Asiny=1 e Acosy=2, como falamos antes. On Tue, Nov 6, 2018 at 9:59 PM Luiz Antonio Rodrigues wrote: > Olá, boa noite! > Transcrevi abaixo uma questão da Fuvest (SP). Já vi a resolução em vários > sites, mas achei tudo muito estranho... > Alguém pode me ajudar? > Muito obrigado e um abraço! > Luiz > > Sabe-se que existem números reais A e y, sendo A > 0, tais que: > > senx + 2cosx=Acos(x-y) > > para todo x real. Qual o valor de A? > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Questão de probabilidade
Bela solução, Bruno! Muito obrigado! Em ter, 6 de nov de 2018 15:38, Bruno Visnadi Seja Pa a probabilidade de ocorrência de a. Defina Pb e Pc analogamente. > a = Pa(1-Pb)(1-Pc) > b = Pb(1-Pa)(1-Pc) > c = Pc(1-Pa)(1-Pb) > p = (1-Pa)(1-Pb)(1-Pc) > Queremos achar a razão Pa/Pc > Da equação (a - 2b)p = ab, obtemos: > (1-Pa)(1-Pb)(1-Pc)²(Pa(1-Pb) - 2Pb(1-Pa)) = PaPb(1-Pa)(1-Pb)(1-Pc)² > Pa(1-Pb) - 2Pb(1-Pa) = PaPb > Pa - 2Pb + PaPb = PaPb > Pa = 2Pb -> Pb = Pa/2 > Da equação (b - 3c)p = 2bc, obtemos: > (1-Pa)²(1-Pb)(1-Pc)(Pb(1-Pc) - 3Pc(1-Pb)) = 2PbPc(1-Pa)²(1-Pb)(1-Pc) > Pb(1-Pc) - 3Pc(1-Pb) = 2PbPc > Pb - 3Pc + 2PcPb = 2PbPc > Pb = 3Pc > Logo: Pa/2 = 3Pc > Pa/Pc = 6 > > > > > > Em ter, 6 de nov de 2018 às 12:43, Vanderlei Nemitz > escreveu: > >> Pessoal, alguém tem um ideia de como resolver a seguinte questão? Já >> tentei muita coisa, sem sucesso. >> Muito obrigado! >> >> Vanderlei >> >> Sejam três eventos independentes A, B e C. A probabilidade de que ocorra >> apenas o evento A é a, apenas o evento B é b e apenas o evento C é c. Seja >> p a probabilidade de que nenhum dos eventos A, B ou C ocorra. Sabendo que >> todas as probabilidades citadas são números no intervalo ]0, 1[ e que p >> satisfaz as equações (a - 2b).p = ab e (b - 3c).p = 2bc, a razão entre a >> probabilidade de ocorrência de A e a probabilidade de ocorrência de C é: >> a) 12 >> b) 3 >> c) 10 >> d) 5 >> e) 6 >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Problema de Trigonometria
Olá, boa noite! Transcrevi abaixo uma questão da Fuvest (SP). Já vi a resolução em vários sites, mas achei tudo muito estranho... Alguém pode me ajudar? Muito obrigado e um abraço! Luiz Sabe-se que existem números reais A e y, sendo A > 0, tais que: senx + 2cosx=Acos(x-y) para todo x real. Qual o valor de A? -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Probabilidade
O número de casos possíveis é C(60,15)*C(45,15)*C(30,15)*C(15,15) = 60!/(15!)^4 (das 60 posições da sequencia, escolhe 15 para colocar os As; das 45 restantes, escolhe mais 15 pra colocar os Bs; etc...) O número de casos favoráveis é mais chatinho. Eu sugiro olhar prum caso menor pra ver se aparece algum padrão. Por exemplo, 8 questões, com 2 respostas A, 2 B, 2 C e 2 D. Esse sai por inclusão-exclusão, mas com uma expressão meio feia e que não me parece o melhor caminho pro caso do problema. Talvez dê pra achar alguma recorrência ou função geradora. []s, Claudio. On Tue, Nov 6, 2018 at 1:04 PM Paulo Rodrigues wrote: > Pessoal, alguém pode dar uma mão na seguinte situação: > > Um gabarito é formado por uma sequência de 60 letras A, B, C e D sendo 15 > de cada tipo. > Qual a probabilidade de não existirem duas letras iguais vizinhas? > > Paulo Rodrigues > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Questão de probabilidade
Seja Pa a probabilidade de ocorrência de a. Defina Pb e Pc analogamente. a = Pa(1-Pb)(1-Pc) b = Pb(1-Pa)(1-Pc) c = Pc(1-Pa)(1-Pb) p = (1-Pa)(1-Pb)(1-Pc) Queremos achar a razão Pa/Pc Da equação (a - 2b)p = ab, obtemos: (1-Pa)(1-Pb)(1-Pc)²(Pa(1-Pb) - 2Pb(1-Pa)) = PaPb(1-Pa)(1-Pb)(1-Pc)² Pa(1-Pb) - 2Pb(1-Pa) = PaPb Pa - 2Pb + PaPb = PaPb Pa = 2Pb -> Pb = Pa/2 Da equação (b - 3c)p = 2bc, obtemos: (1-Pa)²(1-Pb)(1-Pc)(Pb(1-Pc) - 3Pc(1-Pb)) = 2PbPc(1-Pa)²(1-Pb)(1-Pc) Pb(1-Pc) - 3Pc(1-Pb) = 2PbPc Pb - 3Pc + 2PcPb = 2PbPc Pb = 3Pc Logo: Pa/2 = 3Pc Pa/Pc = 6 Em ter, 6 de nov de 2018 às 12:43, Vanderlei Nemitz escreveu: > Pessoal, alguém tem um ideia de como resolver a seguinte questão? Já > tentei muita coisa, sem sucesso. > Muito obrigado! > > Vanderlei > > Sejam três eventos independentes A, B e C. A probabilidade de que ocorra > apenas o evento A é a, apenas o evento B é b e apenas o evento C é c. Seja > p a probabilidade de que nenhum dos eventos A, B ou C ocorra. Sabendo que > todas as probabilidades citadas são números no intervalo ]0, 1[ e que p > satisfaz as equações (a - 2b).p = ab e (b - 3c).p = 2bc, a razão entre a > probabilidade de ocorrência de A e a probabilidade de ocorrência de C é: > a) 12 > b) 3 > c) 10 > d) 5 > e) 6 > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Questão de probabilidade
Pessoal, alguém tem um ideia de como resolver a seguinte questão? Já tentei muita coisa, sem sucesso. Muito obrigado! Vanderlei Sejam três eventos independentes A, B e C. A probabilidade de que ocorra apenas o evento A é a, apenas o evento B é b e apenas o evento C é c. Seja p a probabilidade de que nenhum dos eventos A, B ou C ocorra. Sabendo que todas as probabilidades citadas são números no intervalo ]0, 1[ e que p satisfaz as equações (a - 2b).p = ab e (b - 3c).p = 2bc, a razão entre a probabilidade de ocorrência de A e a probabilidade de ocorrência de C é: a) 12 b) 3 c) 10 d) 5 e) 6 -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Probabilidade
Pessoal, alguém pode dar uma mão na seguinte situação: Um gabarito é formado por uma sequência de 60 letras A, B, C e D sendo 15 de cada tipo. Qual a probabilidade de não existirem duas letras iguais vizinhas? Paulo Rodrigues -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
