Re: [obm-l] Problema 6 - IMO 2001

[Claudio Buffara]

Ou olhe aqui: https://mks.mff.cuni.cz/kalva/imo/isoln/isoln016.html

On Fri, Nov 9, 2018 at 12:11 AM Bruno Visnadi 
wrote:

> Não entendi. Se a, b, c e d são inteiros, ac e bd certamente são racionais.
>
> Em qui, 8 de nov de 2018 às 22:27, Jeferson Almir <
> jefersonram...@gmail.com> escreveu:
>
>> Pessoal peço ajuda  no problema :
>>
>> Sejam a, b , c , d inteiros e a > b > c > d > 0 .
>> Suponha que
>> ac + bd = ( b+ d + a - c )( b+ d -a + c )
>>
>> Mostre que ab + cd não é primo .
>>
>>
>> A minha ideia foi:
>>
>> Abrindo a relação de cima temos
>>
>> a^2 -ac + c^2 = b^2 + bd + d^2
>>
>> Então motivado pela ideia de usar geometria que um amigo falou fiz a
>> suposição que temos um quadrilátero de lados a, d,b e c respectivamente e
>>  nessa ultima relação usando lei dos cossenos teríamos A = 60° e C = 120°
>> concluindo então que ABCD é inscritível . Aplicando Ptolomeu temos que ACxBD=
>> ab + cd e usando desigualdade triangular podemos afirmar que AC e BD não
>> podem ser 1 . Mas ainda tem a possibilidade AC e BD  serem racionais !!
>> Como provar que não podem ser ???
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Transformação

[Claudio Buffara]

Chame a transposta de S de S^t.
S anti-simétrica ==> S^t = -S

A ortogonal ==> A^t = A^(-1) <==> A*A^t = I

A = (I + S)*(I - S)^(-1) ==>
A^(-1) = (I - S)*(I + S)^(-1)   (inversa da inversa = matriz original;
inversa do produto = produto das inversas na ordem oposta)

A^t = ((I - S)^(-1))^t * (I + S)^t   (transposta do produto = produto das
transpostas na ordem inversa)
= ((I - S)^(t))^(-1) * (I + S^t)  (transposição e inversão se comutam)
= (I - S^t)^(-1) * (I + S^t)(transposta da soma = soma das transpostas)
= (I + S)^(-1) * (I - S)   (S é anti-simétrica)
= A^(-1)

Logo, A é ortogonal

[]s,
Claudio.


On Thu, Nov 8, 2018 at 7:23 PM Vanderlei Nemitz 
wrote:

> Mostre que se S é uma matriz antissimétrica e A = (I + S).(I - S)^-1, com
> (I - S) não singular, então A é ortogonal.
>
> É possível provar usando conceitos elementares de matrizes?
>
> Muito obrigado!
>
> (I - S)^-1 é a inversa de I - S.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.