[obm-l] Problema 5 ObmU 2018 segunda fase
Alguém tem alguma ideia? Sejam R+ o conjunto dos numeros reais positivos e f : R+ → R+ uma func¸ao infinitamente diferenciável tal que: 1. Para todo k inteiro positivo e para todo real positivo x, f(k)(x) > 0 . (f(k) representa como de costume a k-esima derivada). 2. Para todo m inteiro positivo, f(m) é inteiro positivo. Prove que para todo inteiro positivo n, f(n) ≥ 2^(n-1) -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Problema olimpíada de maio
Sim, nao vi porque que algum resto apareceria mais do que os outros... Achei que eu conseguiria uma funcao que levasse cada classe de restos numa outra, mas soh consegui pareamentos. Com os dois paremntos, deu. On Wed, Jan 23, 2019 at 10:27 AM Mauricio de Araujo < mauricio.de.ara...@gmail.com> wrote: > Bela solução!! mas qual foi o teu insight? Desconfiança de que havia uma > distribuição uniforme dos restos possíveis? > Att. > > Em qua, 23 de jan de 2019 às 00:47, Ralph Teixeira > escreveu: > >> Hm, tive uma ideia, confiram se funciona. >> >> Seja S o conjunto dos numeros obtidos pela permutacao dos digitos de 1 a >> 7, e seja x_i a quantidade de elementos de S que deixam resto i na divisao >> por 7 (i=0,1,2,3,4,5,6). >> >> Agora vamos fazer dois pareamentos. (Ou seja, vamos criar funcoes >> f,g:S->S tal que f(f(N))=N e g(g(N))=N para todo N em S). >> >> PRIMEIRO: No primeiro pareamento, troque cada digito x de N=abcdefg pelo >> digito 8-x obtendo o numero f(N) (por exemplo, o numero N=1574326 eh >> pareado com f(N)=7314562). Claramente, f(N) esta em S, e f(f(N))=N. Como a >> soma desses dois numeros eh N+f(N)=888, que deixa resto 1 na divisao >> por 7, temos automaticamente que: >> -- Se N mod 7 = 1, entao f(N) mod 7 = 0; em outras palavras para cada >> numero N que deixa resto 1, temos exatamente um numero f(N) que deixa resto >> 0, e vice-versa; portanto x_1=x_0. >> -- Se N mod 7 = 2, entao f(N) mod 7 = 6; portanto x_2=x_6. >> -- Analogamente, x_3=x_5. >> >> SEGUNDO: Agora, g(N) eh obtido a partir de N trocando cada digito x por >> 7-x, EXCETO O DIGITO 7 que eh mantido. Por exemplo, se N=1754326 entao >> g(N)=6723451. Claramente g(N) estah em S, e g(g(N))=N. Agora, N+g(N) mod 7 >> = 777 = 0 (pois aquele 7 extra pode ser jogado fora sem alterar o resto >> modulo 7). Assim, de maneira analoga ao pareamento anterior, concluimos que: >> -- x_1=x_6; x_2=x_5; x_3=x_4. >> >> Encadeando tudo, concluimos que x_0=x_1=x_2=...=x_6. Assim, o numero >> pedido eh x_0=#(S)/7=6!. >> >> Abraco, Ralph. >> >> On Tue, Jan 22, 2019 at 9:57 PM Heitor Gama Ribeiro < >> heitor...@hotmail.com> wrote: >> >>> Consideramos todos os números de 7 dígitos que se obtém permutando de >>> todas as maneiras possíveis os dígitos de 1234567. Quantos deles são >>> divisíveis por 7? >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > > -- > -- > Abraços, > Mauricio de Araujo > [oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ] > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
: [obm-l] Número mínimo de raízes de f
Se f for um polinômio, então, como f é periódica, f tem que ser constante. No caso, identicamente nula. Artur Enviado do meu Samsung Mobile da Claro Mensagem original De: Claudio Buffara Data: 22/01/2019 11:13 (GMT-03:00) Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Número mínimo de raízes de f Mas o enunciado fala em FUNÇÃO e não em POLINÔMIO.E, mesmo neste último caso, não é verdade, em geral, que f(2-x) = f(2) + f(-x) = f(2+x) = f(2) + f(x) []s,Claudio. On Tue, Jan 22, 2019 at 11:10 AM Olson wrote: Se f(x) for um polinômio qualquer e f(0) =0, então o termo independente é igual a 0 também. Por isso, f(2-x) = f(2) + f(-x) = f(2+x) = f(2) + f(x), o que nos dá f(x) = f(-x). Das soluções que o Cláudio mostrou, as -1000, -990, ..., 990, 1000 já obedecem isso. Se usarmos isso nas outras soluções, encontramos que 996, 986, 976, ..., -984, -994 também são soluções, o que nos dá 601 raízes ao todo. Em ter, 22 de jan de 2019 10:26, Claudio Buffara = 0. f(10(n+1)) = f(10n+10) = f(2+10n+8) = f(2-10n-8) = f(-6-10n) = f(4-10(n+1)) Mas f(10(n+1)) = f(10n+10) = f(7+10n+3) = f(7-10n-3) = f(4-10n) = 0, pela hipótese de indução. 0 = f(0) = f(7-7) = f(7+7) = f(14).f(14) = f(2+12) = f(2-12) = f(-10) f(-10) = f(7-17) = f(7+17) = f(24)f(24) = f(2+22) = f(2-22) = f(-20)f(-20) = f(7-27) = f(7+27) = f(34)f(34) = f(2+32) = f(2-32) = f(-30)...Da mesma forma, dá pra provar que f(-10n) = f(14+10n) = 0, para n >= 0. Ou seja, no intervalo [-1000,1000], temos as raízes:-1000, -990, -980, ..., -10, 0, 10, ..., 980, 990, 1000 ==> 201 raízese também:-996, -986, -976, ..., -16, -6, 4, 14, 24, ..., 994 ==> 200 raízes Assim, no intervalo [-1000,1000], f tem pelo menos 401 raízes. Mas, de fato, isso não prova que este é o número mínimo de raízes que f pode necessariamente ter.Pois é possível que as condições do enunciado forcem a existência de outras raízes. []s,Claudio. On Tue, Jan 22, 2019 at 8:09 AM Artur Steiner wrote: Acho esse interessante. Suponhamos que, para todo x, f de R em R satisfaça a f(2 - x) = f(2 + x)f(7 - x) = f(7 + x) e f(0) = 0 Determine o número mínimo de raízes que f pode ter em [-1000, 1000] Artur Costa Steiner -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Problema olimpíada de maio
Bela solução!! mas qual foi o teu insight? Desconfiança de que havia uma distribuição uniforme dos restos possíveis? Att. Em qua, 23 de jan de 2019 às 00:47, Ralph Teixeira escreveu: > Hm, tive uma ideia, confiram se funciona. > > Seja S o conjunto dos numeros obtidos pela permutacao dos digitos de 1 a > 7, e seja x_i a quantidade de elementos de S que deixam resto i na divisao > por 7 (i=0,1,2,3,4,5,6). > > Agora vamos fazer dois pareamentos. (Ou seja, vamos criar funcoes f,g:S->S > tal que f(f(N))=N e g(g(N))=N para todo N em S). > > PRIMEIRO: No primeiro pareamento, troque cada digito x de N=abcdefg pelo > digito 8-x obtendo o numero f(N) (por exemplo, o numero N=1574326 eh > pareado com f(N)=7314562). Claramente, f(N) esta em S, e f(f(N))=N. Como a > soma desses dois numeros eh N+f(N)=888, que deixa resto 1 na divisao > por 7, temos automaticamente que: > -- Se N mod 7 = 1, entao f(N) mod 7 = 0; em outras palavras para cada > numero N que deixa resto 1, temos exatamente um numero f(N) que deixa resto > 0, e vice-versa; portanto x_1=x_0. > -- Se N mod 7 = 2, entao f(N) mod 7 = 6; portanto x_2=x_6. > -- Analogamente, x_3=x_5. > > SEGUNDO: Agora, g(N) eh obtido a partir de N trocando cada digito x por > 7-x, EXCETO O DIGITO 7 que eh mantido. Por exemplo, se N=1754326 entao > g(N)=6723451. Claramente g(N) estah em S, e g(g(N))=N. Agora, N+g(N) mod 7 > = 777 = 0 (pois aquele 7 extra pode ser jogado fora sem alterar o resto > modulo 7). Assim, de maneira analoga ao pareamento anterior, concluimos que: > -- x_1=x_6; x_2=x_5; x_3=x_4. > > Encadeando tudo, concluimos que x_0=x_1=x_2=...=x_6. Assim, o numero > pedido eh x_0=#(S)/7=6!. > > Abraco, Ralph. > > On Tue, Jan 22, 2019 at 9:57 PM Heitor Gama Ribeiro > wrote: > >> Consideramos todos os números de 7 dígitos que se obtém permutando de >> todas as maneiras possíveis os dígitos de 1234567. Quantos deles são >> divisíveis por 7? >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- -- Abraços, Mauricio de Araujo [oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ] -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
