[obm-l] Re: [obm-l] Polinômio

[Ralph Teixeira]

Um jeito de fazer eh ir direto no polinomio interpolador de Lagrange e
fazer as contas.
(https://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange_polynomial)

Outro jeito que parece mais elegante (mas no final das contas eh a mesma
coisa): o polinomio xP(x)-1 tem grau n+1 e todos aqueles n+1 numeros sao
raizes dele. Entao:

xP(x)-1=a(x-1)(x-2)...(x-2^n)

Tomando x=0 ali em cima, descobre-se que a(-1)(-2)...(-2^n)=-1.

Portanto, P(x)=[a(x-1)...(x-2^n)+1] / x, o que pode parecer estranho, mas
lembre que o numerador vai ter um "x" para fatorar e cortar com o
denominador (o a que calculamos garante exatamente isso!). Entao P(0) eh o
termo indepenente do que sobra depois que cortar o x, isto eh, a soma dos
coeficientes em x do numerador... bom, para obter um termo em x, voce vai
ter que multiplicar todos a*(-1)*(-2)*...*(-2^n), EXCETO uma das potencias
(pois o x entra no lugar dela), isto eh, sao varios termos do tipo
(-1)/(-2^k).x. Portanto o que voce quer eh

P(0)=SOMA (1/2^k) = 2 - 1/2^n

pois a soma eh uma PG de razao 1/2 com n+1 termos.

Abraco, Ralph.




On Wed, Mar 20, 2019 at 11:08 PM Vanderlei Nemitz 
wrote:

> Alguém tem uma dica para esse problema?
> Muito obrigado!
>
> *Seja P(x) é um polinômio de grau n tal que P(k) = 1/k para k = 1, 2, 2^2,
> ..., 2^n. Determine o valor de P(0) em função de n.*
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Polinômio

[Claudio Buffara]

Considere Q(x) = x*P(x).

Então:
grau(Q) = n+1
e
Q(1) = Q(2) = ... = Q(2^n) = 1

Isso significa que Q(x) = a(x - 1)(x - 2)...(x - 2^n) + 1
Mas Q(0) = 0*P(0) = 0 ==> a*(-1)^(n+1)*2^(1+2+...+n) + 1 = 0 ==> a =
(-1)^n/2^(n(n+1)/2)

Derivando Q(x) = xP(x), obtemos  Q'(x) = xP'(x) + P(x) ==> P(0) = Q'(0) ==>

P(0) = Q'(0) = coeficiente de x em Q(x) ==>
P(0) = a*(-1)^n*2^(n(n+1)/2)*(-1/1 -1/2 - ... - 1/2^n) = -(1 + 1/2 + ... +
1/2^n) = -(2 - 1/2^n) = 1/2^n - 2.


On Wed, Mar 20, 2019 at 11:08 PM Vanderlei Nemitz 
wrote:

> Alguém tem uma dica para esse problema?
> Muito obrigado!
>
> *Seja P(x) é um polinômio de grau n tal que P(k) = 1/k para k = 1, 2, 2^2,
> ..., 2^n. Determine o valor de P(0) em função de n.*
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Polinômio

[Vanderlei Nemitz]

Alguém tem uma dica para esse problema?
Muito obrigado!

*Seja P(x) é um polinômio de grau n tal que P(k) = 1/k para k = 1, 2, 2^2,
..., 2^n. Determine o valor de P(0) em função de n.*

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.