[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Obm Nível 2 2017

[Gabriel Lopes]

Obrigado, achei meio nebuloso mas vou tentar entender " Então tiraremos n^2
cores idênticas a iniciais e (n-1) as cores da primeira coluna " esse
processo nao consegui entender , tirar n^2 cores e nao ter cor alguma
nao? "(n-1)
conjuntos iguais ao iniciais." E aqui nao seriam n conjuntos? Logo depois
vc fala 2n-1 conjuntos identicos, desculpa mas eu nao consegui
compreender.vou me esforçar para absorver.

Tinha pensando no seguinte , tentar provar  q em um tabuleiro n par, se as
colunas  e linhas tivesse o msm numero de elementos entao a malha seria
xadrez, quem sabe por indução, mas seria uma indução para ordem pares
somente, mas nao ta saindo 

Em Sex, 5 de abr de 2019 17:23, Pedro José  escreveu:

> Boa tarde!
> Caso n seja par está resolvido. Pois, sobrará uma quantidade ímpar de
> casas e portanto não há como serem iguais em quantidade.
>
> Caso n ímpar. Uma das cores prevalecerá. Suponhamos que tenhamos X de uma
> cor e X + k da outra com 2X+k=n^2 e k>0
> Nós temos n^2 formas de tirar uma linha e uma coluna.
> Cada vez que tiramos uma linha e uma coluna, tiramos 2n-1 casas. Para que
> fique igual temos que tirar x da que tem menor quantidade e x+K da que tem
> mais, e 2x+k = 2n-1.
> Vamos fazer a seguinte varredura.
> Para cada coluna vamos varrer todas as n linhasEntão tiraremos n^2 cores
> idênticas a iniciais e (n-1) as cores da primeira coluna , depois n^2
> cores idênticas a iniciais e (n-1) as cores da segunda coluna... Ao final
> tiraremos n conjuntos de cores iguais as n^2 iniciais + (n-1) conjuntos
> iguais ao iniciais.
> Ou seja: (2n-1) conjuntos idênticos ao inicial. O que acarreta em (2n-1) X
> de uma cor e (2n-1) (X+k) de outra apresentando uma diferença de (2n-1)K.
> Para que em todas essas retiradas (uma linha e uma coluna) sobrem cores
> idênticas é necessário se retirar de cada vez x da cor em menor quantidade
> e x + k da maior, onde
> 2x+k = 2n-1, todas as vezes. Há n^2 possibilidades de tirar uma linha e
> uma coluna portanto serão retiradas n^2(2n-1), como já visto, só que n^2*
> (x+k) e n^2(x), o que dá uma diferença de n^2k. Mas pelo outro método dava
> (2n-1)k ==> n^2 =2n-1 ==> n= 1  absurdo, pois n>1.
> Portanto, em alguma retirada sobrarão mais de uma cor que de outra.
>
> Saudações,
> PJMS.
>
> Em qui, 4 de abr de 2019 às 01:06, Gabriel Lopes 
> escreveu:
>
>> Seja *n>1* um inteiro e considere um tabuleiro *nxn*, em que algumas das
>> *n²* casas foram pintadas de pretos, e as restantes foram pintadas de
>> branco. Prove que é possível escolhermos uma das *n²* casas do
>> tabuleiro, de modo que, ao removermos completamente a linha e a coluna que
>> a contém, haja um número diferente de casas pretas e de casas brancas,
>> dentre as *(n-1)².*
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Obm Nível 2 2017

[Pedro José]

Boa tarde!
Caso n seja par está resolvido. Pois, sobrará uma quantidade ímpar de casas
e portanto não há como serem iguais em quantidade.

Caso n ímpar. Uma das cores prevalecerá. Suponhamos que tenhamos X de uma
cor e X + k da outra com 2X+k=n^2 e k>0
Nós temos n^2 formas de tirar uma linha e uma coluna.
Cada vez que tiramos uma linha e uma coluna, tiramos 2n-1 casas. Para que
fique igual temos que tirar x da que tem menor quantidade e x+K da que tem
mais, e 2x+k = 2n-1.
Vamos fazer a seguinte varredura.
Para cada coluna vamos varrer todas as n linhas. Então tiraremos n^2 cores
idênticas a iniciais e (n-1) as cores da primeira coluna, depois n^2 cores
idênticas a iniciais e (n-1) as cores da segunda coluna... Ao final
tiraremos n conjuntos de cores iguais as n^2 iniciais + (n-1) conjuntos
iguais ao iniciais.
Ou seja: (2n-1) conjuntos idênticos ao inicial. O que acarreta em (2n-1) X
de uma cor e (2n-1) (X+k) de outra apresentando uma diferença de (2n-1)K.
Para que em todas essas retiradas (uma linha e uma coluna) sobrem cores
idênticas é necessário se retirar de cada vez x da cor em menor quantidade
e x + k da maior, onde
2x+k = 2n-1, todas as vezes. Há n^2 possibilidades de tirar uma linha e uma
coluna portanto serão retiradas n^2(2n-1), como já visto, só que n^2* (x+k)
e n^2(x), o que dá uma diferença de n^2k. Mas pelo outro método dava
(2n-1)k ==> n^2 =2n-1 ==> n= 1  absurdo, pois n>1.
Portanto, em alguma retirada sobrarão mais de uma cor que de outra.

Saudações,
PJMS.

Em qui, 4 de abr de 2019 às 01:06, Gabriel Lopes 
escreveu:

> Seja *n>1* um inteiro e considere um tabuleiro *nxn*, em que algumas das
> *n²* casas foram pintadas de pretos, e as restantes foram pintadas de
> branco. Prove que é possível escolhermos uma das *n²* casas do tabuleiro,
> de modo que, ao removermos completamente a linha e a coluna que a contém,
> haja um número diferente de casas pretas e de casas brancas, dentre as
> *(n-1)².*
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Geometria triangulo

[Julio César Saldaña Pumarica]

Trace DP perpendicular a BE com P em BC, logo BP=BD. Seja Q o ponto comum a
DP e BE
Calculando os ângulos (os que dá para calcular), obtemos ) escribió:

> Alguem temnuma construcao esperta pra essa?
>
> Num triangulo retangulo ABC , retangulo em A , o angulo ABC=20 graus, traca-se
> a bissetriz deste  angulo que toca o lado AC em E. Em seguida, traca-se a
> reta CD com D em AB tal que ACD=30, determinar o angulo CDE.
>
> Douglas Oliveira.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números

[Claudio Buffara]

Ou seja, existem m e n inteiros positivos tais que:
8a + 1 = mb
e
8b + 1 = na

De cara, dá pra ver que a e b precisam ser ímpares (caso contrário, não
dividiriam 8b+1 e 8a+1, respectivamente).

Além disso...
b = (8a+1)/m ==>
8(8a+1)/m + 1 = na ==>
64a + 8 + m = mna ==>
a = (m+8)/(mn-64) (A)

Analogamente, b = (n+8)/(mn-64)   (B)

Isso significa que mn > 64  e que  mn-64 divide m+8 e n+8 ==>
mn - 64 <= m + 8   e   mn - 64 <= n + 8 ==>
64 < mn <= 72 + m   e   64 < mn <= 72 + n ==>
64/m < n < 72/m + 1   e   64/n < m <= 72/n + 1

Agora, m e n não podem ser ambos <= 8, caso contrário seria mn <= 64.

Suponhamos que m > 8. Então  n < 72/m + 1 < 72/8 + 1 = 9 + 1 = 10.
Mas m não pode ser muito grande, pois mn - 64 <= n + 8 < 18 ==>
mn < 82 ==>
m < 82/n <= 82

Ou seja...
Se m > 8, então m < 82 (ou seja, m >= 9 ==> m <= 81).
Neste caso, 64/81 <= 64/m < n < 72/m + 1 <= 72/9 + 1 = 8 + 1 = 9.
Ou seja 1 <= n <= 8.
E sempre mn > 64, ou seja mn >= 65.

Resumindo: se m >= 9  então  m <= 81  e  65/m <= n <= 8.

Analogamente, se n >= 9  então  n <= 81  e  65/n <= m <= 8.

Agora, é só plugar estes valores de m e n nas fórmulas (A) e (B) acima (de
preferência, com um computador) e ver quais resultam em a e b inteiros.

Com uma planilha Excel, eu achei as seguintes 11 soluções:
 ab
 11
 13
 19
 31
 3   25
 91
 9   73
13  21
21  13
25   3
73   9

[]s,
Claudio.


On Thu, Apr 4, 2019 at 8:30 PM Daniel Quevedo  wrote:

> O número de pares ordenados  de inteiros positivos (*a, b*) tais que 8*b*
> + 1 é múltiplo de *a* e 8*a* + 1 é múltiplo de *b* é igual a:
>
> R: 11
>
> --
> Daniel
>
>
> 
>  Livre
> de vírus. www.avast.com
> .
>
> <#m_137718337439888202_m_2719591652256721004_m_5267545371236784792_m_8044354502181798805_DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Algebra solucoes reais.

[Pedro José]

Bom dia!
Assim como tinha a prenda de pagar flexão quando o comportamento era
inadequado nos exercícios físicos, paguei a transformação da cônica.

Deu uma elipse, com eixos y =x e y = -x e com os seguintes pontos notáveis.
(1,1), (-1,-1) (raiz(3),-raiz(3)) (-raiz(3),raiz(3)) (raiz(3),0)
(-raiz(3),0) (0, raiz(3) (0,-raiz(3)) e realmente o disco aberto x^2+y^2<1
estará dentro da elipse.
Quem não pensa usa os braços.
O ponto positivo foi relembrar da diagonalização e achando uma Matriz
ortogonal P, e aí fica fácil aplicar a transformação de similaridade
D=P^-1AP=PtAP. Só não acchei literatura se os autovalores forem repetidos.
Alguém poderia ajudar?
Saudações,
PJMS


Em qui, 4 de abr de 2019 às 15:44, Pedro José 
escreveu:

> Boa tarde!
> Cláudio,
> meu erro foi pensar numa cônica degenerada em que não valesse para muitos
> pares (x,y). Só que usando todos os reais. E eu já tinha a restrição que
> tanto x quanto y tinham módulos menor que 1.
> Tava na mão, mas deixei escorrsgar..
> Pelo menos despertou a vontade de diagonalizar a matriz usando
> autovetores. E transformar as cônicas em amigáveis.
>
> Sds,
> PJMS
>
> Em qui, 4 de abr de 2019 14:14, Claudio Buffara  escreveu:
>
>> E é pra isso que servem as desigualdades: pra fazer estimativas,
>> especialmente antes de (no caso, ao invés de) se embarcar numa jornada de
>> álgebra braçal.
>> Que bem que temos o Ralph nessa lista!
>>
>>
>> On Thu, Apr 4, 2019 at 1:09 PM Pedro José  wrote:
>>
>>> Boa Ralph!
>>> E eu procurei subterfúgios para provar que a desigualdade não existia,
>>> mas sem usar a restrição. Aí cheguei na conclusão da cônica.
>>> Mas usando a restrição fica fácil.
>>> O estudo sobre diagonalização de matrizes vai ter esperar mais um pouco.
>>> O raciocínio está fraco, mas a intuição está boa.
>>> Sabia que era algo por aí.
>>>
>>> Saudações,
>>> PJMS.
>>>
>>>
>>> Em qui, 4 de abr de 2019 às 12:55, Ralph Teixeira 
>>> escreveu:
>>>
 Vou completar a ideia do Pedro Jose.

 Se fosse x^1980+y^1980=1, como ele disse, claramente deveriamos ter
 |x|,|y|<=1.

 Mas entao |x^2|<=1, |xy|<=1 e |y^2|<=1. Entao |x^2+xy+y^2|<=3, e a
 igualdade soh valeria se fossem |x^2|=|y^2|=|xy|=1, que rapidamente ve-se
 que nao presta.

 Abraco, Ralph.

 On Thu, Apr 4, 2019 at 11:01 AM Pedro José  wrote:

> Bom dia!
> No momento bastante atarefado.
> Se x=y ==> 2x^1980=1 ==> x=y= (1/2)^(1/1980) ou x=y=(-1/2)^(1/1980)
> Se x<>y
> (x^3-y^3) = 3(x-y)
> (x-y)(x^2+xy+y^2)= 3(x-y)  ==> (x^2+xy+y^2) = 3.
> Agora creio que seja achar a matriz diagonal. muda as coordenadas e
> identificar a cônica e mostrar que essa cônica não intercepta o disco
> aberto x^2+y^2 < 1; pois para atender
> x^1980 + y^1980 = 1 ==> |x| e |y| no intervalo ]0,1[
>
> Se sobrar um tempo faço a transformação, até seria bom para relembrar.
>
> Sds,
> PJMS
>
>
> Em qua, 3 de abr de 2019 às 15:36, matematica10complicada <
> profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:
>
>> Encontre  todas as soluções reais do sistema abaixo.
>>
>> x^3-3x=y^3-3y e x^1980+y^1980=1.
>>
>> Douglas Oliveira.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.


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>>>
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>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>

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 acredita-se estar livre de perigo.