Re: [obm-l] Planos e Cubos Perpendiculares

[Claudio Buffara]

Sim. E nem precisam ser perpendiculares.
Pense mais abstratamente, num espaço vetorial V de dimensão n, e em dois
subespaços dele, U1 e U2, de dimensões r e s, respectivamente, e tais que
U1 inter U2 tem dimensão k, onde k <= min(r,s).
Mais concretamente, pense em R^n, com a base canônica {e(1), e(2), ...,
e(n)} e com U1 gerado por {e(1), ..., e(r)} e U2 gerado por {e(n), e(n-1),
..., e(n-s+1)}.

Assim, no R^4, com a base {(1,0,0,0), (0,1,0,0), (0,0,1,0), (0,0,0,1)}, os
dois hiper-espaços tri-dimensionais U1, gerado por {(1,0,0,0), (0,1,0,0),
(0,0,1,0)} e U2, gerado por {(0,1,0,0), (0,0,1,0), (0,0,0,1)} são tais que
a intersecção U1 inter U2 é um subespaço 2-D (logo, um plano) gerado por
{(0,1,0,0), (0,0,1,0)}

[]s,
Claudio.


On Mon, Apr 29, 2019 at 11:43 AM Falnésio Borges <
falnesio.ghan...@economia.ufjf.br> wrote:

> Bom dia! Tudo bem galera?
>
> Gostaria de saber se a pergunta abaixo faz sentido. Se sim, qual é a
> resposta?
>
> Considerando que interseções de duas linhas (uma dimensão) num plano (duas
> dimensões) se encontram num ponto (zero dimensões) e interseções
> perpendiculares de dois planos (duas dimensões) em um espaço tridimensional
> se encontram numa linha (uma dimensão), poderia uma intercessão
> perpendicular de dois cubos (três dimensões) em um espaço quadridimensional
> se encontrar em um plano (duas dimensões)? Quando essa sequencia (sendo d
> algum valor para uma dimensão, (d, d+1, d-1)) deixa de ser verdadeira?
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números

[Pedro José]

Boa tarde!
Pelo menos consegui descobrir que se um inteiro z >= não puder ser escrito
da forma z=4^k (8m+7), com m,k >=0 e m,k inteiros então ele pode ser
representado por uma soma de três parcelas, todas quadrados perfeitos.
Já a demonstração, não consegui compreender.

Saudações,
PJMS

Em seg, 29 de abr de 2019 às 14:14,  escreveu:

>
> Em 29 de abr de 2019 11:37, Pedro José  escreveu:
>
> Bom dia!
>
> Gostei desse problema. Fiz um montão de exemplos com números que não podem
> ser escritos como 4^n(8n+7) e todos puderam ser escritos como a soma de
> três quadrados.
> Vale para todos? Se sim, alguém poderia indicar uma demonstração?
>
> Saudações,
> PJMS
>
> Em dom, 7 de abr de 2019 às 16:16, Pedro José 
> escreveu:
>
> Boa tarde!
> Fiquei na dúvida se algoritmo valia para demonstração. Mas salvo engano
> para demonstração de quais números aceitam raízes primitivas usa-se
> algoritmo.
> Mas, agora com mais calma, poderia ter usado indução.
> 1) Foi provado que não vale para n=0.
> 2) Supondo que não vale para n, não valeria para n+1, por absurdo. Pois,
> se valesse, teria que valer para n.
> Creio que teria ficado mais elegante.
>
> Saudações,
> PJMS
>
>
> Em dom, 7 de abr de 2019 às 07:41, matematica10complicada <
> profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:
>
> Obrigado irmão. Está correto sim.
> Douglas O.
>
> Em qui, 4 de abr de 2019 às 19:44, Pedro José 
> escreveu:
>
> Boa noite!
> Estou mal, mesmo. Ao invés de nenhum li qualquer. Tinha simulado dois,
> três, quatro e deram fora, já iria questionar.
> Mas vamos lá:
> 0^2 = 0 mod8; 1^2 = 1 mod8; 2^2 = 4 mod8 3^2= 1 mod8; 4^2 = 0 mod 8; 5^2 =
> 1 mod 8 6^2 = 4 mod 8 e 7^2 = 1 mod8;
> Portanto o quadrado de um número, ou dá 0 ou da 1 ou 4 na equivalência
> mod8.
>
> Caso n=0 ==> x=8k+7= 7 mod8. Como mod conserva a soma, não há como somar 3
> parcelas do conjunto, mesmo com repetição, {0,1,4} e obter 7. Então n>0
>
> Para n>0
> x = 4^n*(8K+7) ==> x pertence a 2 |N seja x = a^2 + b^2 + c^2 com a, b, c
> pertencentes a |N - {0}. teríamos que ter a,b,c pares ou um deles par e
> dois ímpares.
> mas 4 | x ==> x= 0 mod4. Mas se w pertence a 2|N + 1 ==> w^2 = 1 mod4. e
> se y pertence a 2 |N ==> y^2 = 0 mod 4. Como temos dois ímpares e um par e
> como a soma se conserva temos que x = 2 mod4, absurdo. Portanto só sobra a,
> b, c pares Se a,b,c pares podemos escrevê-los como a= 2s; b=2t e c=2u com
> s,t,u naturais.
> x = a^2+b^2+c^2= 4(s^2+t^2+u^2) ==> x1 = 4^(n-1) * (8m+7) = s^2+t^2+u^2 e
> vale o mesmo raciocínio de que s,t,u são pares e poderão ser escritos como
> s=2f; t=2g; u= 2h, com f, g, h naturais e seguir nesse algoritmo até que
> tenhamos xj=4^0(8m+7)= p^2+q^2+r^2, absurdo. Pois, já vimos que n= 0 não
> atende.
>
> Espero estar correto.
>
> Saudações.
>
>
>
>
>
> Em qua, 3 de abr de 2019 às 15:36, matematica10complicada <
> profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:
>
> Mostre que nenhum número da forma (4^n)(8k+7) , com n e k naturais pode
> ser escrito como soma de 3 tres quadrados
>
> Douglas Oliveira
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números

[prmanso]

Em 29 de abr de 2019 11:37, Pedro José  escreveu:Bom dia!Gostei desse problema. Fiz um montão de exemplos com números que não podem ser escritos como 4^n(8n+7) e todos puderam ser escritos como a soma de três quadrados.Vale para todos? Se sim, alguém poderia indicar uma demonstração?Saudações,PJMSEm dom, 7 de abr de 2019 às 16:16, Pedro José  escreveu:Boa tarde!Fiquei na dúvida se algoritmo valia para demonstração. Mas salvo engano para demonstração de quais números aceitam raízes primitivas usa-se algoritmo.Mas, agora com mais calma, poderia ter usado indução.1) Foi provado que não vale para n=0.2) Supondo que não vale para n, não valeria para n+1, por absurdo. Pois, se valesse, teria que valer para n.Creio que teria ficado mais elegante.Saudações,PJMSEm dom, 7 de abr de 2019 às 07:41, matematica10complicada  escreveu:Obrigado irmão. Está correto sim. Douglas O.Em qui, 4 de abr de 2019 às 19:44, Pedro José  escreveu:Boa noite!Estou mal, mesmo. Ao invés de nenhum li qualquer. Tinha simulado dois, três, quatro e deram fora, já iria questionar.Mas vamos lá:0^2 = 0 mod8; 1^2 = 1 mod8; 2^2 = 4 mod8 3^2= 1 mod8; 4^2 = 0 mod 8; 5^2 = 1 mod 8 6^2 = 4 mod 8 e 7^2 = 1 mod8;Portanto o quadrado de um número, ou dá 0 ou da 1 ou 4 na equivalência  mod8.Caso n=0 ==> x=8k+7= 7 mod8. Como mod conserva a soma, não há como somar 3 parcelas do conjunto, mesmo com repetição, {0,1,4} e obter 7. Então n>0Para n>0x = 4^n*(8K+7) ==> x pertence a 2 |N seja x = a^2 + b^2 + c^2 com a, b, c pertencentes a |N - {0}. teríamos que ter a,b,c pares ou um deles par e dois ímpares.mas 4 | x ==> x= 0 mod4. Mas se w pertence a 2|N + 1 ==> w^2 = 1 mod4. e se y pertence a 2 |N ==> y^2 = 0 mod 4. Como temos dois ímpares e um par e como a soma se conserva temos que x = 2 mod4, absurdo. Portanto só sobra a, b, c pares Se a,b,c pares podemos escrevê-los como a= 2s; b=2t e c=2u com s,t,u naturais.x = a^2+b^2+c^2= 4(s^2+t^2+u^2) ==> x1 = 4^(n-1) * (8m+7) = s^2+t^2+u^2 e vale o mesmo raciocínio de que s,t,u são pares e poderão ser escritos como s=2f; t=2g; u= 2h, com f, g, h naturais e seguir nesse algoritmo até que tenhamos xj=4^0(8m+7)= p^2+q^2+r^2, absurdo. Pois, já vimos que n= 0 não atende.Espero estar correto.Saudações. Em qua, 3 de abr de 2019 às 15:36, matematica10complicada  escreveu:Mostre que nenhum número da forma (4^n)(8k+7) , com n e k naturais pode ser escrito como soma de 3 tres quadradosDouglas Oliveira
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 acredita-se estar livre de perigo.


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 acredita-se estar livre de perigo.


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 acredita-se estar livre de perigo.



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 acredita-se estar livre de perigo.

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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números

[Pedro José]

Bom dia!

Gostei desse problema. Fiz um montão de exemplos com números que não podem
ser escritos como 4^n(8n+7) e todos puderam ser escritos como a soma de
três quadrados.
Vale para todos? Se sim, alguém poderia indicar uma demonstração?

Saudações,
PJMS

Em dom, 7 de abr de 2019 às 16:16, Pedro José 
escreveu:

> Boa tarde!
> Fiquei na dúvida se algoritmo valia para demonstração. Mas salvo engano
> para demonstração de quais números aceitam raízes primitivas usa-se
> algoritmo.
> Mas, agora com mais calma, poderia ter usado indução.
> 1) Foi provado que não vale para n=0.
> 2) Supondo que não vale para n, não valeria para n+1, por absurdo. Pois,
> se valesse, teria que valer para n.
> Creio que teria ficado mais elegante.
>
> Saudações,
> PJMS
>
>
> Em dom, 7 de abr de 2019 às 07:41, matematica10complicada <
> profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:
>
>> Obrigado irmão. Está correto sim.
>> Douglas O.
>>
>> Em qui, 4 de abr de 2019 às 19:44, Pedro José 
>> escreveu:
>>
>>> Boa noite!
>>> Estou mal, mesmo. Ao invés de nenhum li qualquer. Tinha simulado dois,
>>> três, quatro e deram fora, já iria questionar.
>>> Mas vamos lá:
>>> 0^2 = 0 mod8; 1^2 = 1 mod8; 2^2 = 4 mod8 3^2= 1 mod8; 4^2 = 0 mod 8; 5^2
>>> = 1 mod 8 6^2 = 4 mod 8 e 7^2 = 1 mod8;
>>> Portanto o quadrado de um número, ou dá 0 ou da 1 ou 4 na equivalência
>>> mod8.
>>>
>>> Caso n=0 ==> x=8k+7= 7 mod8. Como mod conserva a soma, não há como somar
>>> 3 parcelas do conjunto, mesmo com repetição, {0,1,4} e obter 7. Então n>0
>>>
>>> Para n>0
>>> x = 4^n*(8K+7) ==> x pertence a 2 |N seja x = a^2 + b^2 + c^2 com a, b,
>>> c pertencentes a |N - {0}. teríamos que ter a,b,c pares ou um deles par e
>>> dois ímpares.
>>> mas 4 | x ==> x= 0 mod4. Mas se w pertence a 2|N + 1 ==> w^2 = 1 mod4. e
>>> se y pertence a 2 |N ==> y^2 = 0 mod 4. Como temos dois ímpares e um par e
>>> como a soma se conserva temos que x = 2 mod4, absurdo. Portanto só sobra a,
>>> b, c pares Se a,b,c pares podemos escrevê-los como a= 2s; b=2t e c=2u com
>>> s,t,u naturais.
>>> x = a^2+b^2+c^2= 4(s^2+t^2+u^2) ==> x1 = 4^(n-1) * (8m+7) = s^2+t^2+u^2
>>> e vale o mesmo raciocínio de que s,t,u são pares e poderão ser escritos
>>> como s=2f; t=2g; u= 2h, com f, g, h naturais e seguir nesse algoritmo até
>>> que tenhamos xj=4^0(8m+7)= p^2+q^2+r^2, absurdo. Pois, já vimos que n= 0
>>> não atende.
>>>
>>> Espero estar correto.
>>>
>>> Saudações.
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>> Em qua, 3 de abr de 2019 às 15:36, matematica10complicada <
>>> profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:
>>>
 Mostre que nenhum número da forma (4^n)(8k+7) , com n e k naturais pode
 ser escrito como soma de 3 tres quadrados

 Douglas Oliveira

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 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.
>>>
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>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Planos e Cubos Perpendiculares

[Falnésio Borges]

Bom dia! Tudo bem galera?

Gostaria de saber se a pergunta abaixo faz sentido. Se sim, qual é a
resposta?

Considerando que interseções de duas linhas (uma dimensão) num plano (duas
dimensões) se encontram num ponto (zero dimensões) e interseções
perpendiculares de dois planos (duas dimensões) em um espaço tridimensional
se encontram numa linha (uma dimensão), poderia uma intercessão
perpendicular de dois cubos (três dimensões) em um espaço quadridimensional
se encontrar em um plano (duas dimensões)? Quando essa sequencia (sendo d
algum valor para uma dimensão, (d, d+1, d-1)) deixa de ser verdadeira?

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.