Boa noite!
As retas são cônicas degeneradas. Mas são cônicas.
Definição de cônica : Dada duas retas g,l concorrentes (cuja interseção é
{V} no |R3 que não sejam perpendiculares e um plano Pi. A interseção desse
plano com o cone K, reto de vértice V e eixo l , obtido pela rotação da
reta g ao redor do ponto V é uma cônica. Podemos ter uma reta, duas retas
ou um ponto como cônicas degeneradas.
Você poderia até ter mencionado o conjunto vazio que não é uma cônica.
x^2+y^2=-1.
Mas na verdade, eu não me expressei com rigor, o que queria dizer é que se
escrevermos a função quadrática F(x,y)= 0, que represente a cônica
(degenerada ou não) F(x,y) é suave? Ou as cônicas suaves devem ser não
degeneradas apenas?
Outrossim, discordo do seu argumento "...geralmente é mais útil que as
definições dos objetos importantes não excluam os casos particulares.."
Geralmente não é o balizador e sim a definição.
1 não é primo. Pois define-se que um primo deve ter dois divisores
positivos e 1 só possui um. Poderia argumentar, na sua linha, os dois
divisores coincidentes (os que afirmam é divisível por si e pela unidade)
O quadrado por definição está claro que é retângulo.
A definição da elipse é de que a soma das distâncias a dois pontos fixos (e
não um) é constante. Aí tem a forçação de se considerar dois como um só.
Não existe dois pontos coincidentes. Se são dois são distintos. Podemos
representar algo de várias maneiras mas se são iguais é só um, representado
de várias maneiras. Qual o cardinal do conjunto de focos de uma elipse, no
caso de você aceitar a elipse com um único foco?
Como é a prova que só existe um vazio. Por hipótese há mais de um vazio,
vazio1 e vazio2 e no fim chega-se a conclusão que vazio1 = vazio2 e
portanto absurdo.Ora, podemos ter vazios coincidentes.
Amigo, você afirma: "*Nunca vi ninguém definir elipse de uma forma que
exclua os círculos*."
Você nem se deu ao trabalho de ler a minha nota, antes de comentar, ou
então me corrija se o círculo atende à:
Lugar geométrico do plano em que a razão entre a distância de um ponto ao
foco direito e a distância entre esse ponto e uma reta (diretriz direita) é
constante e menor que 1 e igual a excentricidade da cônica.
Como a excentricidade da circunferência é zero, teríamos que ter um ponto
fixo em que a distância de cada ponto da circunferência até esse ponto
fosse zero. E se na definição tem foco direito está implícito que há um
esquerdo. Vale a definição para foco esquerdo. Só atenderia se
considerarmos o ponto como uma circunferência de raio zero. E só para esse
caso e ainda aceitarmos que quando há só um foco ele tanto é direito quanto
esquerdo. Grato pelos comentários. Mas as dúvida persistem.
Saudações,
PJMS
Em qua., 4 de dez. de 2019 às 19:59, Pedro Angelo
escreveu:
> Em matemática, geralmente é mais útil que as definições dos objetos
> importantes não excluam os casos particulares. Um quadrado é um
> retângulo? Se vc quiser que a definição de "retângulo" inclua somente
> quadriláteros com ângulos retos que não sejam quadrados, vc tem que
> explicitar a parte do "não sejam quadrados" na definição. A definição
> mais simples, "retângulo é um quadrilátero cujos ângulos são todos
> retos" (como o nome já diz!) inclui o quadrado como caso especial. Uma
> coisa parecida ocorre com a elipse. Se vc quiser excluir o círculo, vc
> teria que especificar na definição que vc quer focos distintos. A
> definição mais simples, que cita os focos como sendo "dois pontos", ao
> invés de "dois pontos distintos", inclui o círculo como caso especial.
> E é útill que inclua mesmo. Por exemplo, se vc pensar o círculo como
> sendo um tipo especial de elipse, vc pode enunciar o seguinte teorema:
> "A imagem de uma elipse por uma transformação afim é outra elipse."
> Mas se vc achar que um círculo não é uma elipse, então o teorema (da
> forma que foi enunciado) não vale mais. A questão é que praticamente
> qualquer propriedade interessante apresentada por "elipses
> não-circulares" também será compartilhada pelos círculos. É raro em
> matemática vc precisar de uma elipse que seja proibida de ser um
> círculo. Nunca vi ninguém definir elipse de uma forma que exclua os
> círculos.
>
> Sobre a suavidade: da forma que vc escreveu, eu diria que está um
> pouco ruim. Por exemplo, a função
> F(x,y)=x^2-y^2
> é uma função suave (vc consegue calcular dF/dx e dF/dy, por exemplo).
> Mas vc diria que a equação F(x,y)=0 é uma "cônica suave"? Repare que
> essa equação descreve duas retas que se cruzam na origem. Outras
> funções problemáticas são F(x,y)=x^2+y^2 e F(x,y)=0.
>
> Se F(x,y) é um polinômio de segundo grau em x e y, então F(x,y)=0 é
> uma cônica, e eu diria que essa cônica é "suave" se nenhum dos pontos
> dela (pontos (x,y) tais que F(x,y)=0) satisfaz ao mesmo tempo dF/dx=0
> e dF/dy=0. O fato de pelo menos uma das derivadas parciais de F ser
> não-nula garante que não encontraremos problemas como os do parágrafo
> acima.
>
> abraços!
>
>
> Le mer. 4 déc. 2019 à 19:10,
