Re: [obm-l] Questão de olimpiadas
O modo SP consome em uma hora meia fita e, portanto em T horas consumirá T/2 fita. O modo EP consome em uma hora 1/6 de fita e, portanto, em (3-T) horas consumurá (3-T)/6 de fita. o cosumo total eh de uma fita inteira e, portanto: T/2 + (3-T)/6 = 1 3T - T = 3 T = 1,5 hora. []'s MP = De:aryqueirozq [EMAIL PROTECTED] Para:[EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Assunto:[obm-l] Questão de olimpiadas Uma fita grava em SP em 2horas e EP em 6 horas , pretende-se gravar um filme de 3h com maior tempo possível em SP e depois em EP , quanto tempo é utilizado em EP ? Agradeço __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.h tml = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Geometria Plana
= De:[EMAIL PROTECTED] Para:[EMAIL PROTECTED] Assunto:[obm-l] Geometria Plana Caros participantes, Três exercícios de Geometria Plana seguem abaixo. Minha dúvida é somente com relação à letra (b) do primeiro, a qual: Essa figura (lugar geométrico) é tal chamada cardióide? Sua equação é Y = (sent + cost), com ?90t +90, cujo vértice de tal ângulo t é o simétrico de B em relação a O, centro do círculo? O próprio ponto B não pertence a esse LG, correto? Os demais exercícios foram lançados, pois que, pode haver interessados nos mesmos. 1) Dado um círculo de centro O, seja BC uma corda fixa desse círculo, tal que BC = 90 graus. Para cada A pertencente ao círculo, constrói-se o quadrado ABMN, exterior ao triângulo ABC. a) Mostre que a reta AN passa por um ponto fixo. AN é perpendicular a AB e portanto a reta AN intersecta o círculo no ponto B´ diametralmente oposto a B. Como B é fixo B' também é fixo. b) Determine o lugar geométrico de N. Tome o ponto C' diametralmente oposto a C. Os triângulos C'AB e C'AN são congruentes (caso LAL no ângulo A) e, portanto C'B = C'N. Como C'B é fixo igual ao raio do círculo original vezes metade de sqrt(2), o LG de N é um círculo de centro C' e raio igual ao raio docírculo dado vezes sqrt(2). 2) AB é uma corda móvel de um círculo dado C, e D é um ponto fixo sobre AB (DA diferente de DB). Dois círculos variáveis tangentes interiormente ao círculo C e contendo respectivamente as cordas AD e DB se interceptam em Q. Determinar o lugar geométrico do ponto Q. Eu não entendi muito bem o enunciado... 1) A corda móvel tem comprimento fixo? 2) D está sobre a corda AB ou sobre o arco AB? 3) Dois círculos de centro O e O´e de raios R e R´se interceptam nos pontos A e B. Uma reta r contendo A intercepta o círculo O em C e o círculo O´em D. a) Provar que a soma dos arcos CA + AD permanece constante quando a reta r varia; O ângulo OAO' nunca se altera. OAO'+ OAC + O'AD = 180 graus. OAC é metade do suplemento do arco AC e O'AD é metade do suplemento do arco AD,portanto: OAO' + 90 - 0,5*arco(AC) + 90 - 0,5*Arco AD = 180 0,5*[arco(AC) + arco(AD)] = OAO' Arco (AC) + Arco(AD)= 2*OAO' que é constante. b) Considerar uma segunda posição da reta r que determine no círculo de centro O um ponto E, e no círculo de centro O´um ponto F, tais que P seja a interseção de EC e DF. Prove que os ângulos CPD e CBD são suplementares. São suplementares e alem disso são constantes. NOte que o ângulo PEF mede metade do arco AC; O ângulo AFD é metade do replemento do arco AD. Usandoo teorema do ângulo esxterno, PEF+CPD = AFD 0,5*Arco(AC) + CPD = 180 - 0,5*Arco(AD) 0,5*[Arco(AC) + arco(AD)]= 180 - CPD É extremamente simples verificar que CBD é igual a 0,5*[Arco(AC) + arco(AD)] e portanto CPD e CBD são suplementares. []'s MP = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] CONTRAPOSITIVA
Que regra de inferencia essa? as que eu conheo so modus ponens, modus tollens, conjuno, simplificao e adio e nenhuma delas diz que p -q = ~(p ^~q) uma definio. Gostaria ainda de expressar minha opinio a respeito do ensino de lgica proposicional. realmente estranho que se ensine lgica de proposies com a desculpa de demonstrar os teoremas da teoria de conjuntos (isso feito no ensino mdio). Em geral o que se faz citar que os teoremas da teoria de conjuntos poderiam (demonstraes esto em falta mesmo...) ser demonstrados usando a lgica de proposies, entretanto a ligao entre esses assuntos no feita (conforme consta no livro Exame de Textos j citado nessa lista algumas vezes). No caso da contrapositiva eu acho bastante razoavel dizer que A um subconjunto de B somente se B' um subconjunto de A' (onde X' o complementar de X em relao ao universo) isso pode ser visualizado com os diagramas de Venn-Euler. A proposio p-q equivalente a dizer que o conjunto dos elementos que tm a propriedade p um subconjunto do conjunto dos elementos que tm a propriedade q e isso o mesmo que dizer que o conjunto dos elementos que no tm a propriedade q est contido no conjunto dos elementos que no tm a propriedade p, isto ~q -~p []'s MP P.S. Fiquem a vontade para discordar e/ou corrigir minhas besteiras. Em Seg, 2004-05-10 s 21:01, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Todo matematico sabe que a contrapositiva de p=q = ~q=~p, porem tenho algumas perguntas sobre conceitos logicos!!! Aprendi por tabelas de verdade a demonstracao da contrapositiva.. Poderia usar regras de inferencia na demontracao??? Por exemplo p=q e equivalente a ~(p^~q) por definicao??? Grato. Douglas A. Rodrigues -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] álgebra
Acho que esse somatório está escrito errado ... veja se o último termo não é 1/sqrt(100) + sqrt(99) ou então 1/sqrt(101) + sqrt(100) []'s MP = De:seanjr [EMAIL PROTECTED] Para:[EMAIL PROTECTED] Assunto:[obm-l] álgebra Calcule a soma S= ( 1/sqrt ( 2 ) + sqrt ( 1 ) ) + ( 1/sqrt ( 3 ) + sqrt ( 2 ) ) + ( 1/sqrt ( 4 ) + sqrt ( 3 ) ) + ... + ( 1/sqrt ( 99 ) + sqrt ( 100 ) ) --- Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.h tml = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re[2]: [obm-l] Variavel Complexa
1 + w + w^2 + w^3 + ... + w^(n-1) = =[(w-1)(1 + w + w^2+... +w^(n-1)]/(w-1) = =[w^n -1]/(w-1]= =0/(w-1) = 0 no enunciado diz q w é uma raíz n-ésima da unidade e, portanto w^n - 1 = 0 mas w - 1 != 0 porque está explícito q w!=1 []'s MP = De:Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet [EMAIL PROTECTED] Para:[EMAIL PROTECTED] Assunto:Re: [obm-l] Variavel Complexa Tente ver isso como soma de PG.Marcus Alexandre Nunes [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi Lista!Podem me ajudar neste exercicio?!= significa diferente** significa expoenteSeja w != 1 uma raiz enesima da unidade. Prove quepara qualquer inteiro nao-negativo (n !=1 )1 + w + w**2 + ... +w**(n-1) = 0Obrigado=-M arcus Alexandre [EMAIL PROTECTED] 114153703___ ___Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora! http://br.download.yahoo.com/messenger/= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l .html=== == TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRI CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields)Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: Re[2]: [obm-l] Geometria Plana - Desafio (?)
Acho que no enunciado está claro que as figuras obtidas (os quadriláteros ABMN e NMDC) DEVEM ser trapézios e, portanto devem ter exatamente um par de lados paralelos. Se MN não é paralelo à s bases as figuras encontradas não são trapézios. []'s MP Em Seg, 2004-05-03 à s 17:07, Rogério Moraes de Carvalho escreveu: Eu já havia resolvido este problema e, se não me engano, ele caiu em uma das provas do Colégio Naval. Porém, ao ler o enunciado fornecido pelo Victor, eu estranhei a omissão da informação de que o segmento MN que divide o trapézio em dois outros trapézios equivalentes é paralelo à s bases AB e CD. A fim de garantir que a ausência desta informação não garante a unicidade do cálculo da medida do segmento MN em função de a e b, eu formulei uma outra questão para utilizá-la como um contra-exemplo. Vamos ao enunciado da questão que eu formulei baseando-me no problema fornecido pelo Victor: Seja ABCD um trapézio retângulo de bases AB = 1 e CD = 3 e cujo ângulo interno formado entre o lado BC e a base CD é igual a 60°. Dados os pontos M e N, pertencentes aos lados não-paralelos, tais que o segmento MN divide esse trapézio em dois outros trapézios equivalentes, calcule MN para cada um dos dois casos apresentados abaixo. Primeiro caso: MN é perpendicular ao lado BC. (Resposta: sqr(5)) Segundo caso: MN forma um ângulo de 30° com o prolongamento da base AB no sentido de B para A. (Resposta: sqr(10)) A fim de tentar garantir que as respostas apresentadas estão corretas, eu desenvolvi mais de uma solução para cada caso, sendo que uma delas foi por Geometria AnalÃtica. A resolução apresentada pelo Boromir corresponde a uma das soluções que eu havia desenvolvido para o problema original, porém ela somente tem validade se no enunciado for informado que o segmento MN é paralelo à s bases AB e CD, o que não foi o caso do problema proposto pelo Victor. Vamos reformular o enunciado para que a resolução do Boromir seja válida e, na seqüência, eu apresentarei uma resolução alternativa. ENUNCIADO MODIFICADO: Dado um trapézio ABCD de bases AB = a e CD = b e os pontos M e N pertencentes aos lados não-paralelos. Se o segmento MN é paralelo à s bases e divide esse trapézio em dois outros trapézios equivalentes, calcule MN em função dos lados AB = a e CD = b. RESOLUÃÃO ALTERNATIVA: Considere CD = b como a base maior e AB = a como a base menor, logo b a, MN = x, H a distância entre a AB e MN e h a distância entre MN e CD. Também considere que o ponto M pertence ao lado DA e o ponto N ao lado BC. Trace uma paralela ao lado DA passando pelo vértice B do trapézio, de modo a interceptar o segmento MN no ponto E e a base CD no ponto F. Deste modo, ABEM e MEFD são paralelogramos, conseqüentemente tem os lados opostos congruentes. Portanto: ME = AB = a e DF = ME = a. MN = ME + EN = x = a + EN = EN = x - a DC = DF + FC = b = a + FC = FC = b - a Triângulo BEN ~ Triângulo BFC (Critério AA~): FC/EN = (H + h)/ H = (b - a)/(x - a) = 1 + h/H = = (b - x)/(x - a) = h/H (i) De acordo com os dados, os trapézios ABNM e MNCD são equivalentes, logo: S[ABNM] = S[MNCD] = (1/2).(x + a).H = (1/2).(b + x).h = = (x + a)/(b + x) = h/H (ii) Aplicando a propriedade transitiva nas igualdades (i) e (ii): (b - x)/(x - a) = (x + a)/(b + x) = x^2 - a^2 = b^2 - x^2 = = 2x^2 = a^2 + b^2 = x = sqr[(a^2 + b^2)/2] Resposta: MN = sqr[(a^2 + b^2)/2] Aplicando a fórmula encontrada para resolver o problema do trapézio retângulo com bases AB = 1 e CD = 3 e BCD = 60°, apresentado acima, teremos: MN = sqr[(1^2 + 3^2)/2] = sqr(10/2) = sqr(5) Observe que o valor encontrado na aplicação da fórmula coincide com o valor encontrado no primeiro caso, mas difere do valor encontrado no segundo caso. Portanto, a informação de que MN é paralelo à s bases é necessária para garantir a unicidade do comprimento de MN em função de a e b, uma vez que com diferentes inclinações podemos encontrar um valor diferente de sqr[(a^2 + b^2)/2] para o comprimento do segmento MN. Atenciosamente, Rogério Moraes de Carvalho Consultor e Instrutor de Tecnologias da Informação [EMAIL PROTECTED] -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of boromir Sent: sexta-feira, 30 de abril de 2004 01:09 To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re[2]: [obm-l] Geometria Plana - Desafio (?) Ajeitei o texto (embora não tenha usado nenhum caracter especial) eu tb recebi a mensagem truncada. []'s MP = De:Fellipe Rossi [EMAIL PROTECTED] Para:[EMAIL PROTECTED] Assunto:Re: [obm-l] Geometria Plana - Desafio (?) Boromir não consigo entender nada da mensagem Talvez voce esteja usando mtos caracteres especiais... MEnsagem alterada: Vamos considerar a b. Seja ainda P o ponto de encontro dos prolongamentos dos lados não
Re[2]: [obm-l] Geometria Plana - Desafio (?)
Ajeitei o texto (embora não tenha usado nenhum caracter especial) eu tb recebi a
mensagem truncada.
[]'s MP
=
De:Fellipe Rossi [EMAIL PROTECTED]
Para:[EMAIL PROTECTED]
Assunto:Re: [obm-l] Geometria Plana - Desafio (?)
Boromir não consigo entender nada da mensagem
Talvez voce esteja usando mtos caracteres
especiais...
MEnsagem alterada:
Vamos considerar a b. Seja ainda P o ponto
de encontro dos
prolongamentos dos lados não paralelos DA e
CB. Conforme o enunciado,
[ABNM]=[NMDB] = S. ([figura] = área do
figura) Vamos considerar [APB]=K.
APB ~ MPN (razão a/x, onde MN = x). A razão
entre as áreas é o
quadrado
da razão de semelhança, portanto (K+S)/K =
(x/a)^2. Ainda temos que
APB~DPC (razão a/b), portanto (K+2S)/K =
(b/a)^2.
Escrevendo melhor as equações acima, temos:
1 + S/K = x²/a² - S/K = (x²-a²)/a²
1 +2S/K = b²/a² - 2S/K = (b²-a²)/a²
Dividindo a segunda pela primeira equação
temos:
2(x²-a²) = b²-a²
2x²=b²+a²
x = SQRT{(a²+b²)/2}
Se eu não errei as contas acho que é isso.
[]'s MP
Em Ter, 2004-04-27 Ã s 18:42, Victor Machado
escreveu:
Bom, esta questão foi um desafio para mim,
não sei para os senhores :
Dado um trapézio ABCD de bases AB= a e CD=b
e os pontos M e N
pertencentes aos lados NÃfO-paralelos. Se o
segmento MN divide esse
trapézio em dois outros trapézios
equivalentes, calcule MN em função
dos lados AB=a e CD=b.
Victor.
=
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e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.h
tml
=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e
usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.h
tml
=
=
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Geometria Plana - Desafio (?)
Vamos considerar a b. Seja ainda P o ponto de encontro dos
prolongamentos dos lados não paralelos DA e CB. Conforme o enunciado,
[ABNM]=[NMDB] = S. ([figura] = área do figura) Vamos considerar [APB]=K.
APB ~ MPN (razão a/x, onde MN = x). A razão entre as áreas é o quadrado
da razão de semelhança, portanto (K+S)/K = (x/a)². Ainda temos que
APB~DPC (razão a/b), portanto (K+2S)/K = (b/a)².
Escrevendo melhor as equações acima, temos:
1 + S/K = x²/a² - S/K = (x²-a²)/a²
1 +2S/K = b²/a² - 2S/K = (b²-a²)/a²
Dividindo a segunda pela primeira equação temos:
2(x²-a²) = b²-a²
2x²=b²+a²
x = SQRT{(a²+b²)/2}
Se eu não errei as contas acho que é isso.
[]'s MP
Em Ter, 2004-04-27 Ã s 18:42, Victor Machado escreveu:
Bom, esta questão foi um desafio para mim, não sei para os senhores :
Dado um trapézio ABCD de bases AB= a e CD=b e os pontos M e N
pertencentes aos lados NÃO-paralelos. Se o segmento MN divide esse
trapézio em dois outros trapézios equivalentes, calcule MN em função
dos lados AB=a e CD=b.
Victor.
=
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Re: [obm-l] trigonometria
Quando o arco estiver sob a forma A*pi/B vc pode encontrar a principal determinação dividindo A por 2B. Vc encontrará um quociente Q e um resto R. A principal determinação será R*pi/B Dessa forma, 5pi/2 = pi/2 e 63pi/5 = 3pi/5 []'s MP P.S. Acho que vc deveria prestar um pouco mais de atenção nas suas aulas de trigonometria... é bastante provável que seu professor tenha ensinado um método equivalente para a resolução do problema. Caso vc estude sozinho é aconselhável vc rever (ou reler) sua bibliografia. = De:Guilherme Teles [EMAIL PROTECTED] Para:[EMAIL PROTECTED] Assunto:[obm-l] trigonometria alguem pode me dar uma ajuda sobre arcos congruentes. Como achar a imagem no ciclo de 5pi/2 e 63pi/5 existem formulas ? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] trigonometria
Seja ABC um triângulo retângulo em A e M o ponto médio de AC. BC = 2sqrt(13), AB = c e AM = MC = b. Seu problema consiste em encontrar c e 2b sabendo que BM = 5. Usando o teorema de pitagoras nos triângulos ABC e ABM, temos: 4b²+c²=52 b²+c²=25 Subtraindo as equações vc tem b = 3, e c = 4. A resposta é tan B = 3/2 e tan C = 2/3 []'s MP P.S. Eu tive que me inscrever novamente para a lista com outro e-mail. O e-mail que eu usava anteriormente era [EMAIL PROTECTED] (que continua comigo mas não sei porque não recebe mais os e-mails da lista embora eu tenha enviado o e-mail que o Nicolau havia pedido há algum tempo) = De:Guilherme Teles [EMAIL PROTECTED] Para:[EMAIL PROTECTED] Assunto:[obm-l] trigonometria Alguem pode me ajudar nesta. A hipotenusa de um triangulo retangulo mede 2raiz13 cm, e a mediana relativa a um dos cateros mede 5cm. Calcule as tangentes dos angulos agudos do triangulo = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problema de PG com logarítmos
Não sei se é só comigo mas seu enunciado está um tanto confuso. 1) a razão A referida é igual ao primeiro termo a da PG? 2) logax = a logarítmo de x na base a ou é logaritmo de x vezes a na base dez (ou e)? Para que nao seja totalmente inútil minha resposta aih vai uma tentativa: fazendo A = a e pensando que logax = log x na base a: 1/(logax) = logaa/logax = logxa dessa forma sua expressão fica: logxa + logxb + logxc + logxd + logxe = = logx(abcde) = 5/2 e portanto SQRT(x^5)=abcde mas abcde = aa²a³a^4a^5 = a^15 x = a^6 usando a relação da soma vc encontra o valor de a. Claro que é só uma interpretação.. []'s MP = De:Maurizio [EMAIL PROTECTED] Para:[EMAIL PROTECTED] Assunto:[obm-l] Problema de PG com logarítmos Olá, Estou tentando resolver este problema mas travo após algumas linhas... Seja (a,b,c,d,e) termos de uma PG de razão A com a0 e diferente de 1, Se a soma dos termos é 13a+12 e x é um número real positivo diferente de 1 tal que: 1/logax + 1/logbx + 1/logcx + 1/logdx + 1/logex = 5/2 Ache X. Obrigado = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
