Re: [obm-l] mathematica
Saulo escreveu: Alguem sabe como faço para encontrar o valor depois que eu digito o programa no mathematica?ou seja, como faço para mandar achar o valor? Depois de digitar uma expressão, pressione Shift+Enter -- ou simplesmente Enter no teclado numérico. (Essas teclas podem variar com o sistema operacional). A expressão contida na célula será AVALIADA e o resultado surgirá numa nova célula logo abaixo. Este é o modo padrão de trabalho no Mathematica (e em quase todos os sistemas do gênero): o usuário digita uma expressão, pressiona uma tecla e o resultado surge logo após. Entretanto, é possível programar o Mathematica para modos mais sofisticados de avaliação (via paletas, botões, etc.) Carlos César de Araújo Gregos Troianos Educacional www.gregosetroianos.mat.br Belo Horizonte, MG, Brasil (31) 3283-1122 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] GEOMETRIA ANALITICA
É dada uma circunferência (C) de centro na mesma origem e raio R Tenho certeza de que você saberá resolver esses problemas quando vir alguns semelhantes detalhadamente discutidos. Para um exemplo, visite a página http://www.gregosetroianos.mat.br/pr_4/index.html A propósito: dei uma olhada rápida no primeiro problema e verifiquei que o lugar é mesmo uma elipse, mas não com a equação mencionada em sua resposta. Mais ainda: estritamente falando, o lugar não é uma elipe, mas um ARCO de elipse. Posso lhe enviar arquivos feitos no Winplot para conferir e visualizar melhor a natureza do problema. Problemas de lugares repousam sobre a belíssima teoria da eliminação, que conta com nomes célebres como os de Bézout, Cramer e Gauss. No século XX, o processo de eliminação (para sistemas de polinômios) foi sistematizado por Büchberger com a introdução do conceito de base de Gröbner (cujo algoritmo básico se encontra implementado nos principais sistemas de álgebra por computador). Carlos César de Araújo Gregos Troianos Educacional www.gregosetroianos.mat.br Belo Horizonte, MG, Brasil (31) 3283-1122 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] criterio de Eisenstein
Eu poderia usar este dual para mostrar que f(X) é irredutível ou não em Z[X] ? Irredutível? Sim. Em primeiro lugar, se f(X) é um polinômio não-constante, então a proposição (onde Q(D) é o corpo de frações de D) (1) f(X) não é o produto de dois fatores de grau (ou igual) 1 em D[X] equivale a (2) f(X) é irredutível em Q(D)[X]. Esta equivalência (atribuída a Gauss) é provada no livro livro Álgebra: um curso de introdução, dos mesmos autores. (A propósito, considero esse livro pouco lúcido e mal escrito.) Em segundo lugar, é fácil provar que (3) f(X) irredutível em Q(D)[X] = f(X) irredutível em D[X]. (A recíproca é falsa! Exemplos?) Portanto, se vale (1), então f(X) é Irredutível em D[X]. Segue-se de (3) que o dual nos dá uma condição suficiente para provar que f(X) é Irredutível em D[X]. Aliás, decorre de (3) que o mesmo se aplica ao próprio Critério de Eisenstein. Carlos César de Araújo Gregos Troianos Educacional www.gregosetroianos.mat.br Belo Horizonte, MG, Brasil (31) 3283-1122 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Dom�nio fun��o (parte II)
A minha dúvida está em relação as definiçoes esse é o problema Ora, as definições foram dadas no meu primeiro e-mail, onde falei sobre as convenções real e complexa. Nada poderia ser mais claro e elementar. Carlos César de Araújo Gregos Troianos Educacional www.gregosetroianos.mat.br Belo Horizonte, MG, Brasil (31) 3283-1122 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Dom�nio fun��o (parte II)
Eu testei no excel e ele plotou... Sim, o que está de acordo com o meu último e-mail. Eu disse que o Excel adota a convenção real, segundo a qual raízes de índice ímpar de números reais negativos são números reais. Nesses softwares, portanto, o gráfico de y=x^(1/3) é a cúbica inteira. Isto não acontece no Mathematica, que utiliza a convenção complexa, em virtude da qual x^(1/n) é um número complexo não-real se x0 e n é ímpar. É necessário carregar um pacote no Mathematica (RealOnly) para forçá-lo a empregar a convenção real. Carlos César de Araújo Gregos Troianos Educacional www.gregosetroianos.mat.br Belo Horizonte, MG, Brasil (31) 3283-1122 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Dom�nio fun��o (parte II)
Perguntaram qual é o domínio da função x^(1/3). O domínio deveria ser IR, mas
foi notado que alguns softwares não produzem o gráfico completo da forma
esperada. De fato, os softwares Winplot (gratuito) e Mathematica são dois
exemplos desse comportamento aparentemente estranho: nesses programas, o
gráfico de y=x^(1/3) é uma curva sobre o semi-eixo não-negativo dos x -- dando
a entender que x^(1/3) não é um número real se x0. Mas não parece razoável
dizer que, por exemplo, (-1)^(1/3)=-1?
Tudo depende da DEFINIÇÃO geral de raiz adotada nesses softwares. Dados x em
IR e n em IN-{0}, temos DUAS definições de x^(1/3), as quais, para fins
didáticos, chamo de convenção real e convenção complexa. De acordo com a
convenção real, x^(1/n) é sempre um número real quando x=0 ou (x0 e n é
ímpar). A convenção complexa coincide com a real para x=0; para x0, x^(1/n) é
sempre um número complexo não-real. Nestes termos, podemos dizer que o Winplot
e o Mathematica utilizam a convenção complexa. Exemplos de softwares que
utilizam a convenção real: Excel, GrafEq e DPGraph.
As definições são as seguintes:
Definição 1 (convenção real) se x=0, então x^(1/n) é o y em IR tal que y=0 e
y^n=x; se x0 e n é ímpar, então x^(1/n) é o y (0) em IR tal que y^n=x.
Definição 2 (convenção complexa) se z é um número complexo qualquer, então
z^(1/n) é o número complexo w de menor argumento no intervalo ]-pi,pi] tal que
w^n=x. Uma versão do Teorema de De Moivre fornece a seguinte expressão
trigonométrica para a raiz: z^(1/n)=abs(z)^(1/n)[cos(Arg z/n)+i*sen(Arg z/n)].
Esta definição requer uma discussão cuidadosa de certos casos preliminares. Em
essência, está-se lidando aqui com um problema de EXTENSÃO de funções ao plano
complexo. Para que a definição não pareça circular, devemos especificar o
significado de (z)^(1/n) quando z=0 (que é o tradicional) e definir
(-1)^(1/2)=i.
Nesta última definição, tem-se ainda uma outra convenção: a escolha do
argumento (principal). Uma escolha alternativa para o intervalo do argumento é
[0, 2pi). Uma discussão mais aprofundada dessas escolhas -- visando
eliminá-las ou uniformizá-las -- leva ao estudo das superfícies de Riemann
(assunto que normalmente é tratado num segundo curso de variáveis complexas
em muitas universidades).
Exemplo 1 Pela convenção real, (-1)^(1/3)=-1. Se usarmos a convenção complexa,
então (-1)^(1/3)=1/2+i*3^(1/2)/2.
Exemplo 2. O Mathematica utiliza a convenção complexa por padrão. Neste
software, obtemos a igualdade (-1)^(1/3)=1/2+i*3^(1/2)/2 com o comando
ComplexExpand[(-1)^(1/3)].
Exemplo 3. Em softwares que utilizam a convenção real, o gráfico de y=x^(1/n),
para n ímpar, é uma curva contínua sobre a reta inteira (ou, mais precisamente,
sobre qualquer intervalo limitado da reta -- já que não é possível visualizar o
gráfico por inteiro).
Exemplo 4. Em softwares que utilizam a convenção complexa, o gráfico de
y=x^(1/n), para n ímpar, apresenta apenas o ramo direito da curva do Exemplo 2.
Para obter a curva inteira (como na convenção real), pode-se fazer o gráfico
de y= sgn(x)*abs(x)^(1/n).
Carlos César de Araújo
Gregos Troianos Educacional
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Belo Horizonte, MG, Brasil
(31) 3283-1122
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[obm-l] Espa�o Vetorial
Conforme lembrou Bernardo Freitas, a demonstração de que um espaço vetorial possui uma base é normalmente feita utilizando-se uma forma equivalente do Axioma da Escolha (AE). Eis alguns fatos relacionados que talvez sejam pouco conhecidos: (1) A demonstração de que AE == Teorema da Base remonta a um argumento do matemático alemão Georg Hamel, que em 1905 provou, utilizando efetivamente o AE (e não sua versão maximal à la Mr. Zorn), a existência de uma base para IR como Q-espaço vetorial. Uma década depois o resultado seria generalizado por Hausdorff (que de certa forma antecipou Zorn no uso habilidoso de Princípios Extremais na teoria dos conjuntos). (2) Como estudioso de Lógica Matemática, sempre me perguntava: seria possível provar o Teorema da Base SEM o Axioma da Escolha? Dada a natureza visivelmente não-construtiva da existência de uma base em geral, eu suspeitava que não, não seria possível -- até o dia em que tomei conhecimento de que Andreas Blass (http://www.math.lsa.umich.edu/~ablass/) havia provado a recíproca na década de 1980. Portanto, o AE não é apenas suficiente, mas NECESSÁRIO para garantir a existência de bases de espaços vetoriais. Carlos César de Araújo Gregos Troianos Educacional www.gregosetroianos.mat.br Belo Horizonte, MG, Brasil = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Um problema de racioc�nio l�gico
Um problema de raciocínio lógico (parte IV) Infelizmente, até o momento apenas cinco (5) membros da lista se interessaram em descobrir onde está o erro na questão de Raciocínio Lógico do Teste ANPAD que apresentei. Nenhum dos cinco chegou ao resultado por mim esperado, mas saibam que estão em boa companhia: os elaboradores do Teste ANPAD também erraram. Pior do que isso: esses últimos se recusam a enxergar o erro cometido. É curioso que os coordenadores de um teste de Lógica teimem em ignorar precisamente aquilo que é o conceito mais importante de toda a Lógica, a saber, o de conseqüência lógica. Conforme veremos, esta é a raiz da questão. É a dificuldade com este conceito o que mais me interessa neste problema. Nenhum treinamento formal em Lógica Matemática deveria ser necessário para um bom entendimento intuitivo de uma idéia tão fundamental. Contudo, a intuição tem sérios limites, de modo que não vejo como esclarecer o problema senão fazendo uma breve incursão preliminar pelo conceito de conseqüência lógica. D! eixarei para o próximo e-mail minha análise definitiva da questão original (juntamente com as respostas dos organizadores do Teste ANPAD). **O CONCEITO DE CONSEQÜÊNCIA Por consenso universal -- até que me provem o contrário --, a frase pode-se concluir que, quando empregada em testes de múltipla escolha, significa: das opções abaixo, aquela que é conseqüência lógica das afirmações anteriores é. Este é o significado pretendido (ainda que possivelmente inconsciente) de pode-se concluir que em todos os testes que conheço, incluindo o Teste ANPAD (ver adiante). Em toda parte, concluir significa extrair uma conseqüência lógica. O conceito de conseqüência lógica possui uma história longa e fascinante, tendo merecido a atenção de matemáticos e lógicos ilústres, um dos dos quais foi Alfred Tarski (1902-1983). Na década de 1930, esse formidável lógico-matemático polonês publicou um artigo, hoje famoso, no qual o conceito de conseqüência lógica recebeu sua primeira formulação matemática explícita e rigorosa. Entretanto, não é preciso conhecer os detalhes técnicos da formulação de Tarski (linguagens formais, constantes lógicas, sentença, proposição, modelos, verdade, etc.) para vislumbrar a idéia básica, que é a seguinte: Definição. Seja S um conjunto de sentenças. Uma sentença P é CONSEQÜÊNCIA LÓGICA de S quando P é verdadeira em toda situação na qual (todas) as sentenças de S são verdadeiras. Equivalentemente: P é CONSEQÜÊNCIA LÓGICA de S se não existe situação (ou mundo possível) na qual as sentenças de S são verdadeiras e P é falsa. **UM EXEMPLO A definição acima pressupõe uma explicação precisa dos conceitos de situação e verdade. Isto também foi feito por Tarski. Não posso fazer o mesmo aqui, mas darei um exemplo simples a partir de uma questão da própria ANPAD. Ei-la: (ANPAD/Raciocínio Analítico/junho/2003/questão 3) O produto A vende mais que o produto B. O produto C vende menos que o produto D. O produto B e o produto E vendem a mesma quantidade. O produto E vende mais que o produto C. O que se conclui do enunciado acima? A) O produto B vende menos que o produto C. B) O produto A vende mais que o produto C. C) O produto B vende menos que o produto D. D) O produto D vende mais que o produto A. E) O produto D vende mais que o produto E. Este problema é certamente trivial, mas servirá para ilustrar o significado de concluir. Na questão acima, devemos descobrir qual das opções é uma conseqüência lógica das premissas contidas no enunciado. Sem maiores delongas, podemos formular as premissas como segue: p1:AB p2:CD p3:B=E p4:EC Agora, apenas como ilustração, pergunto: é a opção A) a resposta? Podemos CONCLUIR BC das premissas acima? É evidente que não. Há várias maneiras de REFUTAR BC a partir das premissas, isto é, de encontrar (pelo menos) UMA situação na qual as premissas são verdadeiras e BC é falsa. Por exemplo, na situação abaixo A=3, B=2, C=1, D=2, E=2 as 4 premissas p1-p4 são verdadeiras, mas BC é falsa. Em vez de atribuir valores numéricos às letras A, B, C, D e E, poderíamos apresentar um diagrama como o seguinte: C B D A E no qual nos aproveitamos do familiar isomorfismo entre o conjunto dos reais e a reta numérica. Como quer que imaginemos uma situação, é fácil refutar as opções C), D) e E) por este método. Por eliminação, um candidato concluiria que a resposta é a opção B). **O CONCEITO DE DEMONSTRAÇÃO A opção B) é realmente a resposta: o produto A vende mais que o produto C. Seria possível estabelecer este fato sem o método de refutação por modelos ou situações? Como concluir efetivamente que AC a partir das premissas? De acordo com a nossa definição (intuitiva) de conseqüência lógica, teríamos que investigar TODAS as situações possíveis nas quais as premissas são verdadeiras e verificar, em cada uma delas, que AC é também verdadeira. Sem dúvida, uma tarefa impossível, visto que o número de situações é
[obm-l] sistemas lineares
Acabo de notar na lista o e-mail de Michele Calefe indagando sobre a confusa relação entre a Regra de Cramer e a classificação de sistemas lineares. À Michele e demais interessados, informo que em 2002 publiquei no site Matemática para Gregos Troianos um extenso e detalhado artigo sobre este assunto. Decidi fazê-lo na época motivado pela revisão técnica, que me fora incumbida por uma editora, de uma enciclopédia de matemática (na qual o erro era gritante). O endereço é http://www.gregosetroianos.mat.br/erros.asp link Uma Aplicação Errônea da Regra de Cramer. Carlos César de Araújo Gregos Troianos Educacional = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Um problema de racioc�nio l�gico
Denisson, Primeiro, uma observação terminológica: o problema diz concluir e não inferir. Na Lógica, o termo inferência tem um significado mais abrangente do que o de deduzir ou concluir, mas podemos deixar esta questão de lado por enquanto. Segundo: na Lógica DEDUTIVA -- e isto se aplica também à Matemática clássica ou ortodoxa --, concluir significar extrair uma conclusão NECESSÁRIA (e não meramente POSSÍVEL ou compatível com as premissas). Na Matemática, normalmente estabelecemos uma conclusão DEMONSTRANDO-A com base em regras de dedução. Você é capaz de DEMONSTRAR que, partindo das premissas do problema, pode-se chegar à conclusão de que o Renault é azul? Eu lhe darei um PRÊMIO se conseguir isto!!! Como preparação para o meu próximo e-mail, considere o seguinte problema, que acabo de formular por analogia com o que está sob discussão: início problema Seja x um número real. Das seguintes informações I. x é um inteiro no intervalo [1,10]; II. x é par; pode-se concluir que: (A) x=2. (B) x=3. (C) x=5. (D) x=7. (E) x=9. fim problema O que você responderia? Imagino (pelo menos) duas respostas possíveis: (1) O problema está mal-colocado, pois as condições I e II não são SUFICIENTES para CONCLUIR que x=2. Afinal, os números 4,6 e 8 também satisfazem as condições do problema. (2) O problema está bem-colocado e a resposta é (A). De fato, o enunciado não implica que a solução é única. Você concordaria com a resposta (2)? Carlos César de Araújo Gregos Troianos Educacional LTDA = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Um problema de racioc�nio l�gico
Denisson, Você concluiu que o Renaul é azul? Como? Você poderia FORMALIZAR seu argumento e efetivamente DEMONSTRAR que o Renaul é azul? O que significa concluir? Imagine que você tenha que PROVAR sua conclusão para um computador. Como o faria? Isto posto, observe a situação abaixo: Lótus Ferrari [ ] MacLarenRenault Brabham [ ] vermelho azul[ ]preto cinza 1 234 5 6 Verifique que TODAS as premissas (condições) da questão são satisfeitas. Certo? Contudo, na situação acima, o Renault não é azul: é preto! Examine o enunciado da questão novamente. O que você me diz? Afinal, o que é uma conclusão lógica? Para ilustrar melhor o que estou insinuando, diga-me se você consegue concluir: (1) a marca do carro que está na quinta posição; (2) a cor do carro que está na primeira posição (o Lótus); (3) a cor do carro que está na quarta posição (o MacLaren); (4) a cor do carro que está na sexta posição (o Brabham); Carlos César de Araújo = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Um problema de racioc�nio l�gico
Caros amigos, A questão que transcrevo abaixo apareceu na prova de Raciocínio Lógico do teste ANPAD (Associação Nacional de Programas de Pós-Graduação em Administração) de fevereiro de 2004. Trata-se de um gênero de problema bastante simples. Entretanto, neste caso específico, percebi certos detalhes que, conforme penso, invalidam a questão. Minhas observações foram relatadas aos elaboradores do teste, os quais, apesar de terem reconhecido a procedência das minhas críticas, tentaram defender o problema de uma forma que considero falaz e, ao mesmo tempo, instrutiva -- visto que todo bom erro é uma oportunidade para um bom aprendizado. Portanto, nada mais justo do que submeter o problema a um tribunal mais vasto, a fim de que a verdade se apresente objetivamente (como preferem os matemáticos). Voltarei a falar sobre a questão após apreciar um número suficiente de ataques à mesma. Evidentemente, ou o problema admite solução ou não. (Isto é uma tautologia!). No último caso, gostaria que! os interessados apresentassem suas justificativas para um confronto posterior. questão (ANPAD/Raciocínio Lógico/Fevereiro/2004/questão 10) Seis carros de marcas e cores diferentes, estão alinhados, lado a lado, para uma corrida. Eles estão ordenados da esquerda para a direita, da primeira à sexta posição, respectivamente. Das seguintes informações, I. O Lótus não tem carro algum à esquerda e está ao lado do carro vermelho. II. O Brabham não tem carro à sua direita e está logo depois do carro preto. III. O MacLaren está entre os carros azul e preto. IV. O Carro azul está à direita do Ferrari. V. O Renault está entre o carro cinza e o Ferrari. Pode-se concluir que a cor e a marca do carro que está na terceira posição é A) azul e Renault. B) cinza e McLaren. C) vermelha e Ferrari. D) preta e Renault. E) azul e McLaren. /questão Carlos César de Araújo www.gregosetroianos.mat.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
